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海南省海口市2024年高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.2.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.4.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.5.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí),,且對(duì)任意,都有,則()A.0 B.1 C.-1 D.8.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.9.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為()A. B. C. D.10.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.12.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點(diǎn),且,P為BE上一點(diǎn),且滿足,則的最小值為_(kāi)_____.14.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí),需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.15.已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,,,,則的面積為_(kāi)_________.16.某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布,質(zhì)檢部門(mén)的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團(tuán)游客共購(gòu)買(mǎi)這種牛肉干100袋,估計(jì)其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線與曲線的交點(diǎn)為,求的值.19.(12分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,,,平面,是線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)點(diǎn)在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱DC,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證:(1)直線平面EFG;(2)直線平面SDB.22.(10分)已知橢圓的上頂點(diǎn)為,圓與軸的正半軸交于點(diǎn),與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上,(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知點(diǎn),不過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),證明:直線與直線的斜率互為相反數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行;當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行.所以當(dāng)時(shí),推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時(shí),可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來(lái)考慮,后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.3、C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域,作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,結(jié)合圖象知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值.【詳解】解:作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,如下圖表示:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值,最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.4、B【解析】

由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用.5、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長(zhǎng)方體來(lái)實(shí)現(xiàn).6、A【解析】

由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn),求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長(zhǎng)為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn),.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).7、C【解析】

由題意可知,代入函數(shù)表達(dá)式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.9、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,由此求出四棱錐的體積.【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,畫(huà)出四棱錐的直觀圖,如圖所示:則該四棱錐的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】

化簡(jiǎn)集合,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡(jiǎn)集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】因?yàn)椋屎瘮?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.12、D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點(diǎn):向量的運(yùn)算,基本不等式.【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,屬于中檔題目,在解題的過(guò)程中,關(guān)鍵步驟在于對(duì)題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案.14、60【解析】分析:首先將選定第一個(gè)釘,總共有6種方法,假設(shè)選定1號(hào),之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計(jì)數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè),共有6種選擇方法,并且是機(jī)會(huì)相等的,若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候,第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,在解題的過(guò)程中,需要逐個(gè)的將對(duì)應(yīng)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái),所以利用列舉法將對(duì)應(yīng)的結(jié)果列出,而對(duì)于第一個(gè)選哪個(gè)是機(jī)會(huì)均等的,從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.15、【解析】

根據(jù)題意,利用余弦定理求得,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式,考查計(jì)算能力.16、1【解析】

根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性,求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計(jì)值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】

(1)對(duì)a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性;(2)對(duì)a分三種情況,先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值,再解不等式得解.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由(1)可知:當(dāng)時(shí),,∴成立.當(dāng)時(shí),,,∴.當(dāng)時(shí),,,∴,即.綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)(2)【解析】

(1)由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程是過(guò)定點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)形式,因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程,利用參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(1),則,∴,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為,即(2)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,易知.設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為將與聯(lián)立得【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,考查直線參數(shù)方程,解題時(shí)可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩點(diǎn)間距離問(wèn)題.19、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)由,故,所以四邊形為菱形,再通過(guò),證得,所以四邊形為正方形,得到.(2)根據(jù)(1)的論證,建立空間直角坐標(biāo),設(shè)平面的法向量為,由求得,再由,利用線面角的向量法公式求解.【詳解】(1)因?yàn)椋?,所以四邊形為菱形,而平面,?因?yàn)椋?,故,即四邊形為正方形,?(2)依題意,.在正方形中,,故以為原點(diǎn),所在直線分別為、、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;如圖所示:不紡設(shè),則,又因?yàn)?,所?所以.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則.于是.又因?yàn)椋O(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得底面,由此證得,結(jié)合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點(diǎn),∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,由已知,得,設(shè)平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),H為OC的中點(diǎn),由E、F為DC、BC的中點(diǎn),再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因?yàn)閭?cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以,因

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