24.3-正多邊形和圓(教案)

24.3正多邊形和圓【知識(shí)與技能】了解正多邊形和圓的關(guān)系，了解正多邊形半徑和邊長，邊心距，中心，中心角等概念.會(huì)應(yīng)用正多邊形的有關(guān)知識(shí)解決圓中的計(jì)算問題.會(huì)用圓規(guī)、量角器和直尺來作圓內(nèi)接正多邊形.【過程與方法】結(jié)合生活中的正多邊形形狀的圖案，發(fā)現(xiàn)正多邊形和圓的關(guān)系，然后學(xué)會(huì)用圓的有關(guān)知識(shí)，解決正多邊形的問題.【情感態(tài)度】學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、探究等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受到數(shù)學(xué)來源于生活、又服務(wù)于生活，體現(xiàn)事物之間是相互聯(lián)系，相互作用的.【教學(xué)重點(diǎn)】正多邊形與圓的相關(guān)概念及其之間的運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】探索正多邊形和圓的關(guān)系，正多邊形半徑，中心角、弦心距，邊長之間的關(guān)系.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)觀察這些美麗的圖案，都是在日常生活中，我們經(jīng)常能看到的利用正多邊形得到的物體.（1）你能從圖案中找出多邊形嗎？（2）你知道正多邊形和圓有什么關(guān)系嗎？怎樣就能作出一個(gè)正多邊形來？【教學(xué)說明】學(xué)生通過觀察美麗的圖案，欣賞生活中正多邊形形狀的物體.讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，并從中感受到數(shù)學(xué)美.問題（2）的提出是為了創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境，激起學(xué)生主動(dòng)將所學(xué)圓的知識(shí)與正多邊形聯(lián)系起來，激發(fā)學(xué)生積極探索、研究的熱情，并有意將注意力集中在正多邊形和圓的關(guān)系上.二、思考探究，獲取新知1.正多邊形和圓的關(guān)系問題1將一個(gè)圓分成5等份，依次連接各分點(diǎn)得到一個(gè)五邊形，這五邊形一定是正五邊形嗎？如果是，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫圖，并寫出已知和求證.已知：如圖，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分點(diǎn).依次連接ABCDE形成五邊形.問：五邊形ABCDE是正五邊形嗎？如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論.答案：五邊形ABCDE是正五邊形.證明：在⊙O中，∵，∴AB=BC=CD=DE=EA，，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五邊形ABCDE是正五邊形.【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生從正多邊形的定義入手證明，即證明多邊形各邊都相等，各角都相等；引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，教師帶領(lǐng)學(xué)生完成證明過程.問題2如果將圓n等分，依次連接各分點(diǎn)得到一個(gè)n邊形，這個(gè)n邊形一定是正n邊形嗎？答案：這個(gè)n邊形一定是正n邊形.【教學(xué)說明】在這個(gè)問題中，教師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生是否會(huì)仿照證明圓內(nèi)接正五邊形的方法證明圓內(nèi)接正n邊形.從問題1到問題2是將結(jié)論由特殊推廣到一般，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并教導(dǎo)學(xué)生一種研究問題的方法，由特殊到一般.問題3各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？如果是，說明理由；如果不是，舉出反例.答案：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.因?yàn)椋焊鬟呄嗟鹊膱A內(nèi)接多邊正六邊形的作法：方法一：如圖（2）任意作一條直徑AB，再分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑作弧，與⊙O交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D為⊙O的六等分點(diǎn)，順次連接各等分點(diǎn)，得到正六邊形ACEBFD.方法二：如圖（3）由于正六邊形的半徑等于邊長.所以在圓上依次截取等于半徑的弦，就將圓六等分，順次連接各等分點(diǎn)即可得到正六邊形.【教學(xué)說明】尺規(guī)作圖法是一種比較準(zhǔn)確的等分圓的方法，但有較大的局限性，它不能將圓任意等分.三、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)為_______.2.邊長為2/π的正方形的內(nèi)切圓與外接圓所組成的圓環(huán)的面積為_____.3.如果一個(gè)正六邊形的面積與一個(gè)正三角形的面積相等，求正六邊形與正三角形的內(nèi)切圓的半徑之比.4.如圖，點(diǎn)M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，……正n邊形的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連接OM、ON.（1）求圖1中的∠MON的度數(shù)；（2）在圖2中，∠MON的度數(shù)為_____，在圖3中，∠MON的度數(shù)為_____；（3）試探索∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n之間的關(guān)系.（直接寫出答案）【教學(xué)說明】題1、2可由學(xué)生自主探索完成，題3、4可先讓學(xué)生思考，然后教師加以提示，最后共同解答.完成教材第106頁、108頁的練習(xí).【答案】1.72°4.解：（1）連接OB、OC.∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法與（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道正多邊形和圓有怎樣的關(guān)系嗎？你知道正多邊形的半徑、邊心距、內(nèi)角、中心角等概念嗎？你能畫出正多邊形嗎？【教學(xué)說明】教師先提出問題，然后讓學(xué)生自主思考并回顧，教師再予以補(bǔ)充和點(diǎn)評(píng).1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.3”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課后作業(yè)”部分.1.本節(jié)課首先從復(fù)習(xí)正多邊形的定義入手，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，將正多邊形與圓緊密聯(lián)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間的密切關(guān)系，并將結(jié)論由特殊推廣到一般，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，通過學(xué)習(xí)正多邊形中的一些基本概念，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了化歸的思想.其次，在這一基礎(chǔ)上，又教給學(xué)生用等分圓周的方法作正多邊形，這可以發(fā)展學(xué)生的作圖能力.2.等分圓周法是一種作正多邊形的常見方法，通過作簡單的正三角形、正方