四川省德陽市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

德陽市高中2020級第三學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試卷（文科）說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效，考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12個小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知，若命題對應(yīng)的集合為，則對應(yīng)的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)命題的否定，結(jié)合集合性質(zhì)，即可得答案.【詳解】命題對應(yīng)集合為，則對應(yīng)的集合為,故選；A2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程確定的值，即可得答案,【詳解】對于雙曲線，其實(shí)半軸長為，虛半軸長為，故其漸近線方程為，故選：B3.在投擲一枚質(zhì)地均勻骰子試驗中，事件：向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；事件：向上的點(diǎn)數(shù)是6，則事件與事件（）A.既互斥又對立 B.互斥但不對立 C.對立但不互斥 D.既不互斥也不對立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件以及對立事件的概念，判斷事件M，N的關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意知事件：向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；事件：向上的點(diǎn)數(shù)是6，則事件與事件不會同時發(fā)生，故二者互斥，當(dāng)M不發(fā)生時，N也不一定發(fā)生，因為可能是投擲出向上的點(diǎn)數(shù)為2或4，故二者不對立，故選：B4.、、是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.垂直于同一直線的兩條直線平行 B.平行于同一平面的兩條直線平行C.垂直于同一平面的兩條直線平行 D.垂直于同一平面的兩個平面平行【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面平行、垂直的性質(zhì)逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，垂直于同一直線的兩條不同的直線，可能平行，可能相交，可能異面，所以A錯誤；對于B，平行于同一平面的兩條不同的直線，可能平行，可能相交，可能異面，所以B錯誤；對于C，由線面垂直的性質(zhì)可知，垂直于同一平面的兩條不同的直線平行，所以C正確；對于D，垂直于同一平面的兩個不同的平面，可能相交，可能平行，所以D錯誤.故選：C.5.一個三棱柱的正視圖、俯視圖如圖所示，則其體積為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖得到該幾何體是底面為等腰直角三角形的直棱柱求解.【詳解】解：由三視圖得該幾何體是底面為等腰直角三角形的直棱柱，其直觀圖如下：其中，且，，所以，故選：D6.如圖是是一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則依據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計總體的平均數(shù)為（）A.24 B.25 C.26 D.27【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率之和為1求出最后一組對應(yīng)的頻率，利用相關(guān)公式求出平均數(shù)，得到答案.【詳解】設(shè)最后一組對應(yīng)的頻率為，由題意得，，解得，故，所以可以估計總體的平均數(shù)為26.故選：C7.命題：三角形中，角、、所對的邊分別為、、，若邊，，角，則三角形的外接圓的面積為；命題，恒成立，則以下命題為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意首先根據(jù)解三角形知識求出外接圓的半徑，驗證面積即可判斷命題的真假性，由基本不等式即可判斷命題的真假性，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】若，，角，則，此時，三角形的外接圓的半徑、面積分別為，故命題為真命題；，，由基本不等式但不滿足取等條件，即不滿足，但依然恒成立，即命題是真命題；對比各個選項可知只有為真命題.故選：D.8.，，，則實(shí)數(shù)、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷出范圍，繼而利用作差法判斷的大小，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷c的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得，故，，，故，，而，又，，都是正數(shù)，故，則，即，此時函數(shù)是上的減函數(shù)，則，故，故選：B9.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自區(qū)域的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題利用幾何概型求解概率【詳解】根據(jù)題意，畫出和表示的區(qū)域則所求概率.故選：B10.是圓上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離等于的（）條件．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系判斷和圓上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離等于的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】當(dāng)時，圓即，圓心到直線的距離為，此時直線和圓相離，則過圓心和直線平行的直線與圓的2個交點(diǎn)到的距離為,則可推出圓上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離等于；由于到直線的距離為，故當(dāng)時，圓上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離等于，此時不一定是，故是圓上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離等于的充分不必要條件條件，故選：A11.是橢圓上的一點(diǎn)，、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知，三角形的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓的定義得到，由三角形的面積得到，再由余弦定理求得，最后解出離心率即可.詳解】由橢圓方程可得，因為、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知，三角形的面積為，所以，在中由余弦定理可知，解得，所以離心率為，故選：A12.底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心的棱錐叫正四棱錐，由正四棱錐截得的棱臺叫正四棱臺．已知正四棱臺的上底和下底分別是邊長為、的正方形，高（上下底面的距離）為4，四條側(cè)棱、、、都相等且延長線交于一點(diǎn)，則以下說法正確的有（）①側(cè)棱與下底面邊長所在直線是異面直線，且所成角的正切值為；②該正四棱臺的斜高（側(cè)面等腰梯形的高）為；③平面與平面相交，設(shè)交線為，則，且；④該正四棱臺的外接球的表面積為.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】利用棱臺、棱錐的特征結(jié)合異面直線的定義與夾角求法、等腰三角形的性質(zhì)、點(diǎn)線面的關(guān)系、外接球的特征一一計算判定結(jié)論即可.【詳解】如圖所示，上下底面的中心分別為，的中點(diǎn)為，易知平面，故與異面，又，所以兩條直線的夾角即，根據(jù)題意有，即①錯誤；由上可知，故棱臺的斜高，即②正確；易知平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，因為平面，平面平面，所以同理有，即③正確；設(shè)棱臺的外接球球心為，半徑為R，表面積為S，易知，有，即④正確.故選：C第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡上）13.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為__________．【答案】2【解析】【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的定義解方程即可.【詳解】易知，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2.故答案為：214.某地有居民5000戶，其中普通家庭3500戶，高收入家庭500戶，低收入家庭1000戶．現(xiàn)用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取居民調(diào)查家庭用電情況，若從普通家庭中抽取到70戶，則從低收入家庭中抽取到__________戶．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣時從普通家庭中抽取到70戶，計算出抽樣比，再根據(jù)低收入家庭的戶數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可得普通家庭3500戶，抽取到70戶，故抽樣比為，故從低收入家庭中抽取到的戶數(shù)為，故答案為：2015.聯(lián)想祖暅原理（夾在兩個平行平面間的幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等），請計算：由曲線，，直線，軸所圍成的平面幾何圖形的面積等于__________．【答案】8【解析】【分析】類比祖暅原理求長寬即可求曲邊面積.【詳解】夾在直線，間的圖形，被平行于這兩條直線的任意直線所截的直線長度都為4，因此所求的面積與高為2長為4的矩形面積一樣，是.故答案:8.16.關(guān)于雙曲線（）與反比例函數(shù)，以下說法正確的是__________（請把所有正確說法的番號填在對應(yīng)的答題卡上，少填或各填均不得分）．①任意反比例函數(shù)的圖象都是雙曲線；②所有雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)都能轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的圖象；③若是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為定值；④過雙曲線（）中心的動直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，為雙曲線上與、不同的任意一點(diǎn)，若直線、均有斜率，則它們的斜率之積為定值．【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)與雙曲線的定義與性質(zhì)可判定①②，根據(jù)兩點(diǎn)距離及點(diǎn)到直線的距離公式計算可判定③，利用兩點(diǎn)斜率公式計算可判定④.【詳解】反比例函數(shù)是雙曲線，其漸近線為兩條坐標(biāo)軸，①正確；因為反比例函數(shù)的漸近線為兩坐標(biāo)軸，其夾角為直角，但并非所有雙曲線的漸近線夾角均為直角，所以并非所有雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)都能化為反比例函數(shù)，故②錯誤；設(shè)，則，到的距離為，，則是定值，故③正確；由題意可設(shè)，則，是定值，故④正確.故答案為：①③④三、解答題（本大題共6個小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知：等比數(shù)列的首項，公比，前項和為．（1）求的通項公式及前項和；（2）若，求的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，即可求得答案；（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用等差數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知等比數(shù)列的首項，公比，故，；【小問2詳解】由（1）得，故.18.2021年2月25日，全國脫貧攻堅表彰大會在北京隆重召開，習(xí)近平總書記在講話中指出，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下，9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，12.8萬個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除貧困的艱巨任務(wù)．脫貧攻堅決戰(zhàn)取得了全面勝利．為了防止返貧監(jiān)測和建立幫扶機(jī)制，采取有效舉措鞏固脫貧攻堅成果，某市統(tǒng)計局統(tǒng)計出該市居民2016至2020年人均年收入如下表：（為了使運(yùn)算簡單，年份用末尾數(shù)字減5表示，2020年用5表示）年份20162017201820192020年份簡寫12345人圴年收入（萬元）1.31.51.82.12.3（1）由表畫散點(diǎn)圖易知，人均年收入（萬元）與年份簡寫之間具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，試用最小二乘法求關(guān)于的回歸直線方程，并依此預(yù)測2021年該市人均年收入；（2）從2016到2020年五個年份的人均年收入中隨機(jī)抽取兩個數(shù)據(jù)作進(jìn)一步分析，求所取得的兩個數(shù)據(jù)中，人均年收入恰好有一個超過2萬元的概率．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式：，．【答案】（1），2.58萬元（2）【解析】【分析】（1）求出，的值，根據(jù)最小二乘法的估計公式求出，，即可得回歸方程，將代入回歸方程，即可預(yù)測2021年該市人均年收入；（2）寫出從2016到2020年五個年份的人均年收入中隨機(jī)抽取兩個數(shù)據(jù)的所有可能的取法，再寫出恰好有一個超過2萬元的可能的取法，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得，，，，故關(guān)于的回歸直線方程為；當(dāng)時，，即預(yù)測2021年該市人均年收入為2.58萬元.【小問2詳解】從2016到2020年五個年份的人均年收入中隨機(jī)抽取兩個數(shù)據(jù)共有：，共10種可能的取法，其中恰有一個超過2萬元的可能取法有共6種，故人均年收入恰好有一個超過2萬元的概率為．19.如圖，正三角形與正方形所在的平面互相垂直，、分別是棱、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，證明即可得；（2）由面面垂直的性質(zhì)得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可得.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接、；由、、分別是棱、、的中點(diǎn)，底面是正方形，則有，，、，故四邊形是平行四邊形，則有，又平面，平面,故平面；【小問2詳解】由底面是正方形，故,又正三角形與正方形所在的平面互相垂直，平面平面，平面，則有平面，又平面，故平面平面.20.已知為圓上的動點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn)，當(dāng)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)所成的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求、的值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由線段的垂直平分線，得到，結(jié)合橢圓的定義，即可求解；（2）直線與曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理，借助于為線段的中點(diǎn)，得到、的值．【小問1詳解】是與中垂線的交點(diǎn)，，又，所以點(diǎn)所成的軌跡曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓，，故曲線的方程為【小問2詳解】把代入，得，整理得，設(shè)，則，，又為線段的中點(diǎn)，所以，，聯(lián)立，解得，，代入驗證，，符合題意，綜上所述，所求的值為，.21.已知，，．（1）求的最大值；（2）若，均，使成立，求實(shí)數(shù)取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化解得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）知，求得，再由，令，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，因為，則，所以，當(dāng)時，即，函數(shù)取得最大值，最大值為.【小問2詳解】解：由（1）知，當(dāng)時，，又由，令，因為，所以，令，可得，即，所以當(dāng)時，，若，均，使成立，則只需，即，解得，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.22.設(shè)過點(diǎn)與直線相切的動圓圓心的軌跡為，不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且．（1）求曲線的方程；（2）求證：直線過定點(diǎn)；（3）若、兩點(diǎn)到的距離相差為6，求的值．【答案】（1）（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意條件以及拋物線定義，可得出圓心的軌跡為；（2）設(shè)出直