專題2.1與三角形有關(guān)的角大題培優(yōu)專練-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（原卷版）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.1與三角形有關(guān)的角大題培優(yōu)專練班級：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答題（共30小題）1．（2023春?單縣期末）如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），請用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．2．（2022秋?南昌期末）我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC'＝58°，則∠C＝，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC'與∠C的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC'的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請求出∠C與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2023?荔城區(qū)校級開學(xué)）如圖1，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)，我們把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A＝54°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，請用含α和β的式子表示∠DCE的度數(shù)．4．（2023春?姑蘇區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q．（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，則∠DPC＝°，∠Q°；（2）若∠A＝50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；（3）若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．5．（2023春?大豐區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠C﹣∠B＝20°，則∠DAE＝；（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．6．（2023春?桐柏縣期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．解決問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A，∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題：Ⅰ．如圖②，把一塊三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊DE，DF恰好經(jīng)過點(diǎn)B，C，若∠A＝40°，則∠ABD+∠ACD＝°．Ⅱ．如圖③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度數(shù)．7．（2023春?豐城市期末）如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．（1）當(dāng)∠ABC＝64°，∠ACB＝66°時(shí)，∠D＝°，∠P＝°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度數(shù)；（3）請你猜想，當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，∠D+∠P的值是否變化？請說明理由．8．（2023春?嘉定區(qū)期末）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動三角形”；三個(gè)內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數(shù)為°，△AOB．（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“靈動三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù)．9．（2023春?肥城市期中）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．（1）如圖1，若AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠EAD的度數(shù)；（寫出解答過程）（2）如圖1，根據(jù)（1）的解答過程，猜想并寫出∠B、∠C、∠EAD之間的數(shù)量關(guān)系且說明理由；（3）小明繼續(xù)探究，如圖2在線段AE上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，請嘗試寫出∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．（2023春?和平區(qū)校級期中）（1）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝48°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直線交于點(diǎn)F，求∠BFC的度數(shù)；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若∠BAC每秒擴(kuò)大6°，且在變化過程中∠ABC與∠ACB始終保持是銳角，經(jīng)過t秒（0＜t＜22），在∠BFC，∠BAC這兩個(gè)角中，當(dāng)一個(gè)為另一個(gè)的兩倍時(shí)，求t的值；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，∠ABD與∠ACE的角平分線交于點(diǎn)G，∠BGC是否為定值，如果是，請直接寫出∠BGC的值，如果不是，請寫出∠BGC是如何變化的．11．（2023春?高港區(qū)月考）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“三倍角三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”嗎？為什么？（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小內(nèi)角的度數(shù)．12．（2023春?寧鄉(xiāng)市期末）如圖，在△ABC中，E，G分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求證：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠B＝35°，求∠2的度數(shù)．13．（2023春?樂山期末）（1）如圖1，△ABC中，延長AB到M，BP平分∠MBC，延長AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于點(diǎn)P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求證：α=α+β（2）如圖2，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求證：θ=α+β（3）如圖3，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接寫出α，β，θ之間的等量關(guān)系．14．（2023春?欒城區(qū)校級期末）在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E，B重合），連接DF，過點(diǎn)F作FG⊥FD交射線CB于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段BE上．①直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系；②求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系．15．（2023春?邗江區(qū)期中）閱讀下列材料并解答問題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角α的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”，其中α稱為“優(yōu)雅角”．例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是、100°、，這個(gè)三角形就是“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為100°．反之，若一個(gè)三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角α的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍．（1）一個(gè)“優(yōu)雅三角形”的一個(gè)內(nèi)角為120°，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個(gè)“優(yōu)雅角”的度數(shù)為．（2）如圖1，已知∠MON＝60°，在射線OM上取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)畫射線交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合）．若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，求∠C的度數(shù)．?16．（2023春?邗江區(qū)期中）綜合與探究：愛思考的小明在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過程中，對習(xí)題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．?（1）如圖1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝°（2）如圖2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探究∠Q與∠BPC的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在（2）的條件下，延長線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度數(shù)．17．（2022秋?海豐縣期末）綜合與探究：【情境引入】（1）如圖1，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，說明∠D＝90°+12∠【深入探究】（2）①如圖2，BD，CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC，∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是；②如圖3，BD，CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，BD，CD交于點(diǎn)D，探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系，并說明理由．18．（2023春?洪洞縣期末）在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D．特例研究：（1）如圖1，若∠BAC的平分線AE能交BC于點(diǎn)E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度數(shù)；操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC，將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕分別為DM和DN，點(diǎn)G，F(xiàn)都在射線DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，試猜想∠AMF與∠ANG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）將△DFM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°＜α＜360°）．記旋轉(zhuǎn)中的△DMF為△DM1F1，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)M，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為M1，F(xiàn)1，直線M1F1，與直線BC交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．19．（2023春?商水縣期末）【基本模型】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，試說明∠P=12∠【變式應(yīng)用】（2）如圖2，∠MON＝90°，A，B分別是射線ON，OM上的兩個(gè)動點(diǎn)，∠ABO與∠BAN的平分線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)A，B的運(yùn)動的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，∠MON＝90°，作∠MON的平分線OD，A是射線OD上的一定點(diǎn)，B是直線OM上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接AB，設(shè)∠ABO的平分線與∠BAO的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為P，請直接寫出∠P的度數(shù)．20．（2023春?大荔縣期末）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個(gè)三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角和是180°，“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．性質(zhì)理解：（1）如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△COD中，則∠AOB＝85°，則∠C+∠D＝°．性質(zhì)應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度數(shù)．拓展提高：（3）如圖3，BE、CD是△ABC的角平分線，且∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點(diǎn)P，設(shè)∠A＝α，請嘗試求出∠P的度數(shù)（用含α的式子表示∠P）．21．（2023春?金華期末）數(shù)學(xué)興趣小組圍繞“三角形的內(nèi)角和是180°”，進(jìn)行了一系列探究，過程如下：【論證】如圖1，延長BA至D，過點(diǎn)A作AE∥BC，就可以說明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的內(nèi)角和為180°，請完成上述說理過程．【應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE∥BC，M在射線AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延長線與AP的延長線交于點(diǎn)D．①求∠DCP的度數(shù)；②設(shè)∠B＝α，請用α的代數(shù)式表示∠D．【拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，過點(diǎn)A作EF∥BC，直線MN與EF相交于A點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)P，∠APN＝75°．△ABC繞點(diǎn)A以每秒12°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)MN繞點(diǎn)P以每秒5°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與EF重合時(shí)MN再繞著點(diǎn)P以原速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，運(yùn)動全部停止，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否某一時(shí)刻，使得MN∥BC？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．22．（2023春?云浮期末）如圖1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到△ADE．（1）若α＝28°時(shí)，則∠DAC＝°；若0°＜α＜90°時(shí)，α與∠CAE的關(guān)系是；（2）∠DAC與∠BAE有怎樣的關(guān)系？請說明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若0°＜α＜180°時(shí)，△ADE與△ABC這兩個(gè)三角形是否存在一組邊互相平行？若存在，請求出α的所有可能取值．23．（2023春?德清縣期末）如圖，已知在同一平面內(nèi)有線段AB和直線CD，且AB∥CD，點(diǎn)E是直線CD上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F．（1）如圖1，若AE⊥BE，請說明∠BAE+∠BEF＝90°的理由；（2）如圖2，作∠BAE的角平分線與∠EBF的角平分線交于點(diǎn)P，設(shè)∠APB＝α，∠AEB＝β，請求出α和β之間的數(shù)關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)F的右邊時(shí)，在（2）的條件下，α和β之間的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生改變？請說明理由．24．（2023春?沈丘縣期末）在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P為線段AD上的任意一點(diǎn)，EP⊥AD交直線BC于點(diǎn)E．（1）若∠B＝36°，∠ACB＝78°，則∠E＝；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動時(shí)，求證：∠E=12（∠ACB﹣∠25．（2023春?定興縣期末）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動，如圖，已知兩直線a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠1＝42°，求∠2的度數(shù)；（2）小聰同學(xué)把圖1中的直線a向上平移得到如圖2，請你探究圖2中的∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）小穎同學(xué)將圖2中的直線b向上平移得到圖3，若∠2＝4∠1，求∠1的度數(shù)．26．（2022秋?太平區(qū)校級期末）【基本模型】：如圖1，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)O，請你寫出∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式應(yīng)用】：如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線．（1）若∠POM＝80°，在點(diǎn)A、B運(yùn)動的過程中，∠CED的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．（2）若AP∥DE，BM∥CE，直接寫出∠POM度數(shù)．27．（2023春?鹽都區(qū)期中）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書七下第42頁第20題，是一道研究雙內(nèi)角平分線的夾角和雙外角平分線夾角的數(shù)學(xué)問題，原題如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）設(shè)∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；（2）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點(diǎn)O′，求∠BO′C的度數(shù)；（3）∠BOC與∠BO′C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【問題解決】聰聰對上面的問題進(jìn)行了研究，得出以下答案：如圖1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC的度數(shù)為；（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點(diǎn)O′，則∠BO′C的度數(shù)為；（3）∠BOC與∠BO'C的數(shù)量關(guān)系是．（4）【問題深入】：如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC沿MN折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，請直接寫出∠1+∠2與∠BOC的一個(gè)等量關(guān)系式；（5）如圖3，過△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線的交點(diǎn)O′，作直線PQ交AD于點(diǎn)P，交AE于點(diǎn)Q．當(dāng)∠APQ＝∠AQP時(shí)，∠CO′Q與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)果．28．（2023春?郯城縣期中）已知AB∥CD，直線MN交AB、CD交于點(diǎn)M、N．（1）如圖1所示，點(diǎn)E在線段MN上，設(shè)∠MBE＝15°，∠MND＝70°，則∠MEB＝