平面的基本性質(zhì)

課題：9?1平面的基本性質(zhì)（一）講解新課：平面的兩個特征：①無限延展②平的（沒有厚度）平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性.一個平面把空間分成兩部分，一條直線把平面分成兩部分?平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面（1） 一個平面：水平放置和直立;當平面是水平放置的時候，通常把平行四邊形的銳角畫成45,橫邊畫成鄰邊的2倍長，如圖1（1）.⑵直線與平面相交，如圖1（2）、（3），：(3)兩個相交平面:(3)兩個相交平面:畫兩個相交平面時，若一個平面的一部分被另一個平面遮住，應把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫（如圖2）-畫成虛線或不畫（如圖2）-平面的畫法及其表示方法：在立體幾何中，常用平行四邊形表示平面?當平面水平放置時，通常把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊畫成鄰邊的兩倍,畫兩個平面相交時，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應把被遮住的部分畫成虛線或不畫.一般用一個希臘字母a、&、y……來表示，還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示如平面a，平面AC等.4:空間圖形是由點、線、面組成的言空間圖形的基本元素是點、直線、平面?從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示?規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示?點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示:圖形符號語言文字語言（讀法）^_aAea點A在直線a上*?A aA冬a點A不在直線a上

zO^ZZAga點A在平面以內(nèi).羿./Aaa點A不在平面以內(nèi)，4baPb=A直線a、b交于A點. aaua直線a在平面a內(nèi)，君fa/ a臣 /aPa=0直線a與平面以無公共點*^oAazaPa=A直線a與平面a父于點A+€^7aP。=l平面以、。相交于直線l.集合中“E”的符號只能用于點與直線，點與平面的關(guān)系，“u”和“”的符號只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號，但在讀法上仍用幾何語言+a二a（平面a外的直線a）表示a二a（平面a外的直線a）表示aPla=0或aPa=A?三、講解范例：例1將下列符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言：（1） Aga，Be。，Agl，Bgl；（2） aua，bu。，a//c，bPc=p，aP。=cx解：說明：畫圖的順序：先畫大件（平面），再畫小件（點、線）?例2將下列文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言：（1）點A在平面a內(nèi)，但不在平面。內(nèi)；（2）直線a經(jīng)過平面a外一點M；（3）直線l在平面a內(nèi)，又在平面。內(nèi).（即平面a和。相交于直線l.）

解：(1解：(1)Aea,AWp;mea，MWa；lea,lep.(即ap=l)例3在平面a內(nèi)有A,O,B三點，在平面p內(nèi)有B,O,C三點，試畫出它們的圖形,答案：右圖四、課堂練習：判斷下列命題的真假，真的打“J”，假的打“X”可畫一個平面，使它的長為4cm,寬為2cm. ()一條直線把它所在的平面分成兩部分，一個平面把空間分成兩部分.()一個平面的面積為20cm2. ()經(jīng)過面內(nèi)任意兩點的直線，若直線上各點都在這個面內(nèi)，那么這個面是平面.()答案：(1)X(2)J(3)X(4)J觀察(1)、(2)、(3)三個圖形，模型說明它們的位置關(guān)系有什么不同，并用字母表示各個平面.請將以下四圖中，看得見的部分用實線描出.⑴觀察(1)、(2)、(3)三個圖形，模型說明它們的位置關(guān)系有什么不同，并用字母表示各個平面.請將以下四圖中，看得見的部分用實線描出.⑴⑷(2) (3)如圖所示，用符號表示以下各概念：點A、B在直線a上；直線a在平面a內(nèi)；點C在平面a內(nèi)；點O不在平面a內(nèi) ；直線b不在平面a內(nèi) .答案：①Aea,Bea②aua,Cea③OWa,b^a①一條直線與一個平面會有幾種位置關(guān)系如圖所示，兩個平面a、p，若相交于一點，則會發(fā)生什么現(xiàn)象.幾位同學的一次野炊活動，帶去一張折疊方桌，不小心弄壞了桌腳，有一生提議可將幾根一樣長的木棍，在等高處用繩捆扎一下作桌腳(如圖所示)，問至少要幾根木棍，才可能使桌面穩(wěn)定？答案：①3種②相交于經(jīng)過這個點的一條直線③至少3根課后作業(yè)：-試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形：(1)點A在平面a內(nèi)，但不在平面p內(nèi)；直線a經(jīng)過不屬于平面a的點A，且a不在平面a內(nèi);平面a與平面p相交于直線l，且l經(jīng)過點P；直線l經(jīng)過平面a外一點P，且與平面a相交于點M

課題：9?1平面的基本性質(zhì)（二）講解新課：1平面的基本性質(zhì)立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個公理體系.人們經(jīng)過長期的觀察和實踐，把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理.ABa~7也可用于驗證一個面是否是平面，如泥瓦ABa~7也可用于驗證一個面是否是平面，如泥瓦auanAea.Aea推理模式："。以］^ABua.如圖示：BeaJ或者：Aea,Bea,AABua應用：這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，工用直的木條刮平地面上的水泥漿.①判定直線在平面內(nèi)；②判定點在平面內(nèi),模式：公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法.公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線?推理模式：Aea]nAel=ap|P?如圖示:AePJ或者：Aea,AeP，AaQP=l,Ael應用：①確定兩相交平面的交線位置；②判定點在直線上?公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個平面交線的方法.指出:今后所說的兩個平面（或兩條直線），如無特殊說明，均指不同的平面（直線）.公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，A,B,C不共線'推理模式：A,B,Cea |na與p重合，A,B,CeP或者：?A,B,C不共線，...存在唯一的平面a，使得A,B,Cea.應用：①確定平面；②證明兩個平面重合,“有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證.

實例：（1）門:兩個合頁，一把鎖；（2）攝像機的三角支架；（3）自行車的撐腳.公理3及其下一節(jié)要學習的三個推論是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法.2■平面圖形與空間圖形的概念如果一個圖形的所有點都在同一個平面內(nèi)，則稱這個圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"三、講解范例： : C例1求證:三角形是平面圖形? .■■■■A P已知：三角形ABC a ■B/求證：三角形ABC是平面圖形 '證明：.??三角形ABC的頂點A、B、C不共線?.?由公理3知，存在平面a使得A、B、Cea再由公理1知，AB、BC、CAua?.?三角形ABC上的每一個點都在同一個平面內(nèi)?.?三角形ABC是平面圖形例2點A冬平面BCD，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點，若EH與FG交于P-（這樣的四邊形ABCD就叫做空間四邊形求證：P在直線BD上.證明：.??EHnFG=P，?PeEH，PeFG，,:E,H分別屬于直線AB,AD，?.?EHu平面ABD，..?Pe平面ABD，同理：Pe平面CBD，又..?平面ABDA平面CBD=BD，所以，P在直線BD上-四、課堂練習：1下面是一些命題的敘述語（A、B表示點，a表示直線，a、8表示平面）A.VAea,Bea，?ABea.B.Vaea,ae。，?aQP=a.C.VAea,aua，?Aea.D.VAaa,aua，?Aaa.其中命題和敘述方法都正確的是（）下列推斷中，錯誤的是（）A.Ael,Aea,Bel,Beanlua,B.Aea,Ae。,Bea,BePnaQ。=AB*l二a,AelnAaa、A,B,Cea,A,B,Ce。，且A、B、C不共線na,。重合，

一個平面把空間分成—部分，兩個平面把空間最多分成―部分，三個平面把空間最多分成部分.判斷下列命題的真假，真的打“J”，假的打“X”TOC\o"1-5"\h\z（1）空間三點可以確定一個平面 （）（2）兩條直線可以確定一個平面 （）（3）兩條相交直線可以確定一個平面 （）（4）一條直線和一個點可以確定一個平面 （）（5）三條平行直線可以確定三個平面 （）（6）兩兩相交的三條直線確定一個平面 （）（7）兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合 （）（8）若四點不共面，那么每三個點一定不共線 （）(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案::ACnBD= 平面AB1n平面AR=平面ACCAn平面AC=11平面ACCAn平面DBBD=TOC\o"1-5"\h\z11 11平面ACn平面ABn平面BC=11 1 1ABnBBnBC=11 1 11C2.C3.2,4,84.(1)X⑵X⑶J⑷X⑸X⑹X⑺X⑻J5?⑴0⑵AiBi⑶。⑷。。1⑸Bi⑹Bi五、小結(jié)：本課主要的學習內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，三條公理中公理1用于判定直線是否在平面內(nèi)，公理2用于判定兩平面相交，公理3是確定平面的依據(jù).“確定一個平面”與“有且只有一個平面”是同義詞.“有”即“存在”，“只有一個”即“唯一”.所以證明有關(guān)“有且只有一個”語句的命題時，要證兩方面一一存在性和唯一性.證明的方法是反證法和同一法?課題：9?1平面的基本性質(zhì)（三）講解新課：推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.已知：直線l，點A是直線l外一點.求證：過點A和直線l有且只有一個平面- p證明（存在性）：在直線i上任取兩點b、c，A引，.??A,B,C不共線.由公理3,經(jīng)過不共線的三點A,B,C可確定一個平面a，??點B,C在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1，.lua，即平面a是經(jīng)過直線l和點A的平面.（唯一性）：?B,Cel，lua，Aea，.?.點A,B,Cea，由公理3,經(jīng)過不共線的三點A,B,C的平面只有一個，

所以，經(jīng)過l和點A的平面只有一個.推理模式：A史an存在唯一的平面a，使得Aea，lua+推論2經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面?已知：直線aDb=P.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面?證明（存在性）：在直線a上任取兩點A，直線b上B，,/anb=P，..?A,B,P不共線.由公理3,經(jīng)過不共線的三點A,B,P可確定一個平面a，..?點A,B,P在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1，.a,bua，即平面a是經(jīng)過直線a和直線b的平面.（唯一性）：?.?aAb=P，Aea,Beb，a,bua，由公理3,經(jīng)過不共線的三點A,B,P的平面只有一個，所以，經(jīng)過直線a和直線b的平面只有一個'推理模式：anb=Pn存在唯一的平面a，使得a,bua、推論3經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面-已知：直線a//b.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面.證明（存在性）：?/a//b...由平行線的定義，直線a和直線b在同一個平面a內(nèi)，即平面a是經(jīng)過直線a和直線b的平面.（唯一性）：取A,Cea，Beb，,?*a,bua,a//b.??點A,B,C不共線且A,B,Cea，由公理3,經(jīng)過不共線的三點A,B,C的平面只有一個，所以，經(jīng)過直線a和直線b的平面只有一個，推理模式：a//bn存在唯一的平面a，使得a,bua,三、講解范例：例1兩兩相交且不過同一個點的三條直線必在同一平面內(nèi)已知：直線AB,BC,CA兩兩相交，交點分別為A,B,C、求證：直線AB,BC,CA共面，

證法一：..?直線ABnAC=A,..?直線AB和AC可確定平面a,,/BeAB，CeAC,...Bea,Cea,...BCua，即AB,BC,CAua即直線AB,BC,CA共面+證法二：因為Aw直線BC上，所以過點A和直線BC確定平面a.（推論1）因為Aea,BEBC，所以Bea.故AB仁a,同理ACua,所以AB,AC,BC共面.證法三：因為A,B,C三點不在一條直線上，所以過A,B,C三點可以確定平面a.因為Aea,Bea，所以AB仁a.同理BCUa,AC仁a，所以AB,BC,CA三直線共面.問題：在這題中“且不過同一點”這幾個字能不能省略，為什么？AC1與A1A例2在正方體ABCD-ABCD中，①AC1與A1A1111 1 1平面內(nèi)？②點B,C,D是否在同一平面內(nèi)？③畫出平面1平面BC1D的交線，平面ACD1與平面BDC】的交線.解：①在正方體ABCD-ABCD中，1111?/AA//CC,.由推論3可知，AA與CC可確定平面AC,11 1 1 1AA1與CC1在同一平面內(nèi)*..?點B,C1?D不共線，由公理3可知，點B,C1?D可確定平面BC】D,「?點B,C1?D在同一平面內(nèi)?ACABD=O,DCADC=E,.?.點Oe平面AC,Oe平面BCD,又Ce平面AC,Ce平面BCD，.平面ACA平面BCD=OC,1111111同理平面ACD.n平面BDC.=OE.例3若aAP=l，A,Bea,ce&，試畫出平面ABC與平面a,P的交線,解：（1）若ABl=D時，如圖（1）；（2）若AB//l時，如圖（2）.

四、課堂練習：選