天津市南開區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期階段性質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué) Word版含解析

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測（一）高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科2023．11本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁.祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂在答題卡上；2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；3．本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：·球的表面積公式，其中R表示球的半徑.·臺(tái)體的體積公式，其中，S分別為上、下底面面積，h為臺(tái)體高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，則（）.A. B. C. D.2.命題p的否定為“，使得”，則命題p為（）．A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得3.已知函數(shù)部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（）.A. B.C. D.4.“”的充要條件的是（）．A. B.C. D.5.已知，則（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.7.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)表面積為的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為（）．A. B. C.61 D.1838.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中：①函數(shù)為偶函數(shù)；②；③；④曲線在處切線斜率為所有正確結(jié)論序號(hào)是（）A.①② B.①③④ C.③④ D.②③④9.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)y，使得成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A. B.C. D.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；2．本卷共11小題，共105分.二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.10.若（為虛數(shù)單位），則__________．11.已知，則__________．12.棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，AB的中點(diǎn)，P為棱上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．13.已知，則__________，__________．14.在中，已知，點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，且，若，則__________；若，則取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)y的值為__________．15.已知函數(shù)，若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m取值范圍．17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知.（1）證明：；（2）求a；（3）求的值．18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面PBC；（2）若E是PB的中點(diǎn)，（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．19.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn).（1）求a，b的值；（2）設(shè)，若（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），試寫出符合上述條件的函數(shù)的一個(gè)解析式，并說明你的理由．20已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線斜率為1，求a的值；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若時(shí)，不等式恒成立，求a的最小值．

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測（一）高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科2023．11本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁.祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂在答題卡上；2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；3．本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：·球的表面積公式，其中R表示球的半徑.·臺(tái)體的體積公式，其中，S分別為上、下底面面積，h為臺(tái)體高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，則（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，，，則.故選：C2.命題p的否定為“，使得”，則命題p為（）．A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題否定是全稱命題，寫出對(duì)應(yīng)命題即可.【詳解】命題p的否定為“，使得”，所以命題，使得，故選：D3.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊點(diǎn)可排除D，即可求解【詳解】由于圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，對(duì)于B：由，得：，為偶函數(shù)，故可排除B；對(duì)于C：由，得：，為偶函數(shù)，故可排除C；由圖知圖象不經(jīng)過點(diǎn)，而對(duì)于D：，故可排除D；故選：A4.“”的充要條件的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合充要條件的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】由“”，解集為，A，解集為，A錯(cuò)誤；B，由，解集，B正確；C，由，即，即，解集，C錯(cuò)誤；D，由，即，即解集為，D錯(cuò)誤.故選：B5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和中間值比較大小即可.詳解】由，則，由，，則，由，則.則.故選：C6.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得出，，從而確定，它們關(guān)于對(duì)稱，從而可得結(jié)論．【詳解】由已知，即，同理，又，即，，，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：B．7.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)表面積為的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為（）．A. B. C.61 D.183【答案】A【解析】【分析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，求得球的半徑和圓臺(tái)的高，然后利用圓臺(tái)的體積公式即可求得其體積.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，則，圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺(tái)上底面的圓心為，則圓臺(tái)的高，據(jù)此可得圓臺(tái)的體積：.故選：A.8.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中：①函數(shù)為偶函數(shù)；②；③；④曲線在處的切線斜率為所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③④ C.③④ D.②③④【答案】D【解析】【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)①②③，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷④．【詳解】由題意，，，∴，又，又，∴，∴，不是偶函數(shù)，①錯(cuò)；是的最小值，②正確；，，當(dāng)時(shí)可得是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，∴，③正確；，，④正確．正確的有②③④，故選：D．9.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)y，使得成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先分離，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，然后畫出圖像，根據(jù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，則，令，解得或者，令，解得，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，如圖所示，要使得直線與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，則直線要在點(diǎn)上方，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以，所以只需滿足即可，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)后再構(gòu)造函數(shù)，由解的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題是處理含參導(dǎo)數(shù)問題的常用方法.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；2．本卷共11小題，共105分.二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.10.若（為虛數(shù)單位），則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及除法運(yùn)算即可化簡求解.【詳解】由可得，所以，故答案為：11.已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)和差角公式，結(jié)合同角關(guān)系即可求解.【詳解】由可得，所以，即，故答案為：12.棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，AB的中點(diǎn)，P為棱上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．【答案】1【解析】【分析】換底（頂點(diǎn)），即由計(jì)算．【詳解】由題意到平面的距離等于，又，∴，故答案為：1.13.已知，則__________，__________．【答案】①.②.【解析】【分析】令，求得后，由計(jì)算，由計(jì)算．【詳解】∵，令，則，∴，．故答案：；．14.在中，已知，點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，且，若，則__________；若，則取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)y的值為__________．【答案】①.②.##0.625【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解空1，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】,所以，故，當(dāng)時(shí)，，，由于，所以，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故最小，故答案為：，15.已知函數(shù)，若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合參數(shù)對(duì)應(yīng)的幾何意義求參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意知，，則是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.令，解得（舍），或.此時(shí)，，令，解得.此時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由函數(shù)的解析式與圖象的對(duì)稱性作出函數(shù)的圖象.直線過定點(diǎn)，且為直線的斜率，若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則直線與的圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)，由圖可知，解得，故答案為：.三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換將函數(shù)化簡，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域即可化簡集合，再由集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分，以及討論，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】，因?yàn)?，所以，所以，?若，則，從而或．所以．【小問2詳解】，①當(dāng)，即時(shí)，，所以．②當(dāng)，即時(shí)，，所以．③當(dāng)，即時(shí)，，若，則，所以.綜上，.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知.（1）證明：；（2）求a；（3）求的值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理將原式化簡，再由正弦定理可得，即可證明；（2）由結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（3）由條件可得，然后結(jié)合兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，即又由正弦定理，得，因?yàn)榻茿，B為的內(nèi)角，所以．【小問2詳解】由（1）知，所以．又，由余弦定理，得，即，解得.【小問3詳解】由，得，因?yàn)?，因?yàn)?，所以B為銳角，所以.所以.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面PBC；（2）若E是PB的中點(diǎn)，（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）．【解析】【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由兩平面的法向量垂直得證兩平面垂直；（2）（i）由空間向量法求線面角；（ii）由空間向量法求面面角.【小問1詳解】因?yàn)?，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則，又平面ABCD，平面ABCD，所以，故以CM為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以．因?yàn)椋?，所以平面PBC，即為平面PBC的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面EAC的法向量為，，則即令，則．因?yàn)?，所以平面平面PBC．【小問2詳解】因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以．（i）設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則，故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．（i）顯然平面PDC的法向量為，設(shè)平面PDC和平面EAC的夾角為，則．故平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值為．19.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn).（1）求a，b的值；（2）設(shè)，若（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），試寫出符合上述條件的函數(shù)的一個(gè)解析式，并說明你的理由．【答案】（1）2（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和過定點(diǎn)，代入即可；（2）結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性性，可化為對(duì)恒成立，整理的，分與討論即可.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即，整理得，解得，所以，又的圖象過點(diǎn)，則，解得或，又，且，所以．【小問2詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得．由（1）可得，，因?yàn)?，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以對(duì)恒成立．因?yàn)?，，所以，整理得?當(dāng)時(shí)，左邊是一個(gè)一次因式乘一個(gè)恒正（或恒負(fù)）的二次三項(xiàng)式，或者是三個(gè)一次因式的積，無論哪種情況，總有一個(gè)一次因式的指數(shù)是奇次的，這個(gè)因式的零點(diǎn)左右的符號(hào)不同，因此不可能恒非負(fù)，所以．所以*式化為恒成立，所以．①若，則；②若，則，即，與矛盾，舍去．綜上，，所以為滿足條件的的一個(gè)解析式．（答案不唯一）20.已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線斜率為1，求a的值；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若時(shí)，不等式恒成立，求a最小值．【答案】（1）（2）答案見解析（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的斜率和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系直接代入求解即可；（2）求導(dǎo)后需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值求不同情況下的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）先要通過變形把不等式左右兩邊同構(gòu)，然后研究新函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)最小時(shí)為負(fù)確定單調(diào)性區(qū)間，最后求出的最小值.【小問1詳解】，依題意，，解得．【小問2詳解】零點(diǎn)的根．設(shè)，①當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是增函數(shù)．取，取，所以在上有且僅有一個(gè)