【高中數(shù)學(xué)】任意角與弧度制課件-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

5.1.1任意角地球自轉(zhuǎn)地球公轉(zhuǎn)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的周期性變化現(xiàn)象。圓上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较虻男D(zhuǎn)．如何刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化呢？問(wèn)題？旋轉(zhuǎn)的角度定義：有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的圖形。范圍：0~360°現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)超出0~360°范圍的角體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”不僅有超出0~360°范圍的角，而且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同初中學(xué)習(xí)的角：定義：有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的圖形。范圍：0~360°現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)超出0~360°范圍的角初中學(xué)習(xí)的角：任意角的概念

1．角的概念：角可以看成平面內(nèi)

繞著它的

旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．角的表示：如圖所示：(1)始邊：射線的

位置OA.(2)終邊：射線的

位置OB.一條射線端點(diǎn)起始終止(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.(4)記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“

”．“角α”或“∠α”可簡(jiǎn)記為“α”．∠AOB概念學(xué)習(xí)3.角的分類(lèi)：名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線_______做任何旋轉(zhuǎn)形成的角逆時(shí)針順時(shí)針沒(méi)有正角>零角>負(fù)角正角大小：旋轉(zhuǎn)量大的角大負(fù)角大小：旋轉(zhuǎn)量大的角小兩個(gè)角相等：如果一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量與另一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量都一樣，就稱這兩個(gè)角相等（α＝β）。角能實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加減運(yùn)算嗎？一、任意角角的大小關(guān)系第一象限角第三象限角銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角二、象限角象限角的定義：為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？問(wèn)題①鈍角是第幾象限角？該象限角一定是鈍角嗎？②直角呢？討論第一象限角第三象限角銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角二、象限角象限角的定義：為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？問(wèn)題①鈍角是第幾象限角？該象限角一定是鈍角嗎？②直角呢？討論將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中后，給定一個(gè)角，就有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng)．反之，對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？那么328°，－392°，…角的終邊都是OB，并且與－32°角終邊相同的這些角都可以表示成－32°的角與k個(gè)（k∈Z）周角的和，如

328°＝－32°＋360°（這里k＝1），－392°＝－32°－360°（這里k＝-1）.二、象限角終邊相同的角一般地，我們有：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角和．一、象限角終邊相同的角

若手表時(shí)針走過(guò)4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為A.120° B.－120°C.－60° D.60°√由于時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為負(fù)數(shù)，例1(多選)在①160°；②480°；③－960°；④1530°下列四個(gè)角中，屬于第二象限角的是A.160° B.480°

C.－960° D.1530°例2√√√A中，160°很顯然是第二象限角；B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；D中，1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.(多選)下列敘述不正確的是A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B.鈍角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角跟蹤訓(xùn)練2√√√

已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角；例3因?yàn)椋?845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角為315°.(2)最大的負(fù)角；最大的負(fù)角為－45°.(3)－360°～720°之間的角.－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.

已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.例4終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.5.1.2弧度制探究新知問(wèn)：身高為180cm？

問(wèn)：弧長(zhǎng)公式是什么探究新知1.弧度制（2）1弧度的角：___________________________________；（3）記法：弧度的單位符號(hào)是rad，讀作弧度長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角（1）定義：以弧度為單位來(lái)度量角的單位制；注：弧度單位可省略，角度單位不能省略.（4）單位圓：_________________；

∠AOB即為1弧度的角半徑為1的圓探究新知問(wèn)：為什么要加絕對(duì)值？1、弧長(zhǎng)半徑永遠(yuǎn)是正的，也是正的2、角度有正負(fù)號(hào)，正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定。（4）弧度的計(jì)算：在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為αrad，那么角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：_____；

式子進(jìn)行變形方程思想探究新知（5）一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)______，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)______，零角的弧度數(shù)是______.正數(shù)負(fù)數(shù)0角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，在他的名著《無(wú)窮小分析引論》中首先倡導(dǎo)使用弧度制，統(tǒng)一了角與長(zhǎng)度的單位，使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化.

下列各命題中，真命題是A.1弧度就是1°的圓心角所對(duì)的弧B.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的弧C.1弧度是1°的弧與1°的角之和D.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角的大小√根據(jù)弧度制和角度制的規(guī)定可知A，B，C均錯(cuò)誤，D正確.例1

下列說(shuō)法正確的是A.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑B.大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C.所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等D.用弧度表示的角都是正角跟蹤訓(xùn)練1√探究新知2.角度制與弧度制的換算（1）換算公式：探究新知1.一般地，“弧度”與“rad“通常略去不寫(xiě)，而只寫(xiě)這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù).2.角度制與弧度制互化時(shí)要抓住弧度這個(gè)關(guān)鍵．3.在同一個(gè)代數(shù)式中，角度制與弧度制不能混用.

注意例1把下列角度化成弧度.例2把下列弧度化成角度.有“分”“秒”，都先轉(zhuǎn)換成“度”表示探究新知（2）特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)對(duì)應(yīng)表：探究新知（1）用角度表示（2）用弧度表示與

終邊相同的角可以表示為：

它們構(gòu)成一個(gè)集合：

與

終邊相同的角可以表示為：

它們構(gòu)成一個(gè)集合：

例3終邊相同的角的角度表示與弧度表示

將－1125°寫(xiě)成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判斷它是第幾象限角？例2所以－1125°是第四象限角