第一章 特殊平行四邊形 單元測試（能力提升）(備作業(yè))-2021-2022學年九年級數(shù)學上冊同步備課系列（北師大版）（解析版）

第一章特殊平行四邊形單元測試（能力提升）

一、單選題

1.如圖，平行四邊形ABCD對角線AC、BD交于點。，NADB=20。，ZACB=50°,過點。的直線交AD于點E,交

BC于點F當點E從點A向點D移動過程中（點E與點A、點D不重合），四邊形AFCE的形狀變化依次是（）

A.平行四邊形玲矩形玲平行四邊形玲菱形玲平行四邊形

B.平行四邊形f矩形3平行四邊形今正方形今平行四邊形

C.平行四邊形好菱形玲平行四邊形玲矩形T平行四邊形

D.平行四邊形玲矩形T菱形今正方形T平行四邊形

【答案】C

【解析】

先判斷出點E在移動過程中，四邊形AECF始終是平行四邊形，當NAFC=80。時，四邊形AECF是菱形，當NAFC=90。

時，四邊形AECF是矩形，即可求解.解：I?點。是平行四邊形ABCD的對角線得交點，

OA=OC,ADIIBC,

ZACF=ZCAD,ZADB=ZDBC=20°

ZCOF=ZAOE,OA=OC,ZDAC=ZACF

△AOE"ACOF（ASA）,

/.AE=CF,

AEIICF,

四邊形AECF是平行四邊形，

???ZADB=ZDBC=20°,ZACB=50°,

ZAFC>20"

當NAFC=80°時，ZFAC=1800-80o-50°=50°

ZFAC=ZACB=50°

AF=FC

,平行四邊形AECF是菱形

當ZAFC=90。時，平行四邊形AECF是矩形

??.綜上述，當點E從D點向A點移動過程中（點E與點D,A不重合），則四邊形AFCE的變化是：平行四邊形

玲菱形f平行四邊形〉矩形〉平行四邊形.

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定的應用，主要考查學生的理解能力和推理能力，題目比較好，難度適

中.

2.菱形ABC。中，"=60°.點E、尸分別在邊8C、CDk,且=若EF=2,則AAEE的

面積為（）.

A.473B.3>/3C.26D.73

【答案】D

【解析】

先證明△ABE合△ACF,推出AF=AE,NEAF=60。，得到△AEF是等邊三角形，即可解決問題.解：丫四邊形ABCD

是菱形，

ND=NB=60",AB=BC,

A&ABC是等邊三角形,

AB-AC,

〈AC是菱形的對角線，

1

二ZACF=—A0cB=60°,

2

...ZB=ZACF,

/AB=ACfBE=CF,

AABE^△ACF,

AF=AE,ZBAE=NCAF,

：.ZBAE+NEAC=ZCAF+ZEAC,

即ZEAF=A84c=60°,

△4EF是等邊三角形，

---EF=2,

SaAEF=x22——5/3，

4

故選：D.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是證明全等三角形得到AAEF是等邊三角

形，牢記等邊三角形面積公式是解題關鍵.

3.如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是邊AB,CD上的點，AE=CF,連接EF,BF,EF與對角線AC交于點O,且

BE=BF,ZBEF=2ZBAC,FC=2,貝ljAB的長為()

A.8B.8C.4D.6

【答案】D

【解析】

連接OB,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得BO_LEF,再根據(jù)矩形的性質可得OA=OB,根據(jù)等邊對等角的性質

可得ZBACNAB0,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出NABO=30。，即NBAC=30。，根據(jù)直角三角形30。角所對

的直角邊等于斜邊的一半求出AC,再利用勾股定理列式計算即可求出AB.解：如圖，連接0B,

BE=BF,OE=OF,

BO±EF,

在RtABEO中，ZBEF+ZABO=90°,

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC,

ZBAC=ZABO,

又ZBEF=2ZBAC,

即2ZBAC+ZBAC=90°,

解得NBAC=30",

ZFCA=30",

ZFBC=30°,

FC=2,

BC=2上,

AC=2BC=4班,

AB=7AC2-BC2=1（4回一（2折2=6,

故選D.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，直角三角形30。角所對的直角

邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出NBAC=30。是解題的關鍵.

4.如圖，菱形ABCD中，NABC=60。，AB=4,E是邊AD上一動點，將△CDE沿CE折疊，得到△CFE,則△BCF

面積的最大值是（）

A.8B.8^3C.16D.1673

【答案】A

【解析】

由三角形底邊BC是定長，所以當△BCF的高最大時，△BCF的面積最大，即當FCLBC時，二角形有最大面積.解：

在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4

又,??將ACDE沿CE折疊,得到ACFE,

FC=CD=4

由此，△BCF的底邊BC是定長，所以當△BCF的高最大時，ABCF的面積最大，即當FC_LBC時，三角形有最大

面積

「.△BCF面積的最大值是!3c?/C='x4x4=8

22

故選：A.

【點睛】

本題考查菱形的性質和折疊的性質，掌握三角形面積的計算方法和菱形的性質正確推理計算是解題關鍵.

5.如圖，在AABC中，于點E,BD_LAC于點D；點F是A8的中點，連結DF,EF,設ZDEEux。，

NACB=y°,則（）

A.y-xB.y=-—x+90c.y=-2x+180D.y=-x+90

【答案】B

【解析】

由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可的AF=DF,BF=EF,從而由等腰三角形的性質得NADF=NDAF,

NEBF=4BEF,然后根據(jù)三角形外角的性質和三角形外角的性質可求得結論.：AE，BC于點E,BO_LAC于

點D；點F是AB的中點，

AF=DF,BF=EF,

：.ZADF=NDAF,ZEBF=NBEF,

■：ZAFD+Z.DFE=4EBF+NBEF=2NEBF,ZBFE+NDFE=NDAF+NADF=2NDAF,

ZAFD+ADFE+NBFE+NDFE

=2ZEBF+2NDAF

=2(ZEBF+NDAF)

=2(180°-ZC)

=360°-2ZC,

1800+ZDF￡=360°-2ZC,

1800+x=360°-2y,

/.y=-gx+90.

故選B.

【點睛】

本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的內(nèi)角和及三角形外角的性質，熟練掌握直角三角形

斜邊的中線等于斜邊的一半是解答本題的關鍵.

6.點E是正方形ABCD對角線AC上，且EC=2AE,FEG的兩條直角邊EF、EG分別交BC、DC于M、N兩點，

若正方形ABCD的邊長為a,則四邊形EMCN的面積()

A.■B.LC&4,

D.—a2

3499

【答案】D

【解析】

【解析】

根據(jù)題意過E作EK垂直于直線CD,垂足為K,再過E作EL垂直于直線BC,垂足為L,只要證明KENK=^ELM,

則可計算Spq邊形硒°”=S°EKCL?解：根據(jù)題意過E作EK垂直于直線CD,垂足為K,再過E作EL垂直于直線BC,

垂足為L.

四邊形ABCD為正方形

EL=EK

EK±CD,EL±BC

4ELM=NEKN=9G

NBC。=90°

NK￡L=90°

?.?△EEG為直角三角形

NKEM+NLEM=NKEM+ZNEK=90°

:"LEM=/NEK

:.莊NK三血M

■■S四邊形ENCM=S口EKCL=（§a）~=

故選D.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質，關鍵在于根據(jù)題意做輔助線.

7.如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN,EF,M,N,E,F分別在邊AB,CD,AD,BC上.小明認為：若

MN=EF,則MN_LEF；小亮認為：若MN_LEF,則MN=EF,你認為（）

AED

A.僅小明對B.僅小亮對C.兩人都對D.兩人都不對

【答案】C

【解析】

分別過點E作EGJLBC于點G,過點M作MP_LCD于點P,設EF與MN相交于點0,MP與EF相交于點Q,根據(jù)

正方形的性質可得EG=MP；對于小明的說法，先利用"HL"證明RtAEFG合RtAMNP,根據(jù)全等三角形對應角相等

可得NMNP=ZEFG,再根據(jù)角的關系推出NEQM=NMNP,然后根據(jù)NMNP+ZNMP=90°得到NNMP+ZEQM=90。，

從而得到NMOQ=90。,根據(jù)垂直的定義即可證得MN_LEF；對于小亮的說法,先推出NEQM=NEFG,ZEQM=NMNP,

然后得到NEFG=NMNP,然后利用“角角邊"證明△EFG叁△MNP,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=MN.如圖，

過點E作EG_LBC于點G,過點M作MPJ_CD于點P,設EF與MN相交于點0,MP與EF相交于點Q,

???四邊形ABCD是正方形,

EG=MP,

對于小明的說法：

在RtAEFG和RtAMNP中,

MN=EF

EG=MP

：.RtAEFG合RtAMNP(HL),

ZMNP=ZEFG,

???MP_LCD,ZC=90",

MPIIBC,

ZEQM=NEFG=ZMNP,

又「ZMNP+ZNMP=90°,

ZEQM+NNMP=90°,

在4MOQ中，ZMOQ=180°-(ZEQM+ZNMP)=180o-90°=90°,

MNJ_EF,

故甲正確.

對小亮的說法：

VMP±CD,ZC=90°,

MPIIBC,

ZEQM=NEFG,

???MNJ_EF,

ZNMP+ZEQM=90°,

又;MP±CD,

ZNMP+ZMNP=90",

ZEQM=NMNP,

ZEFG=ZMNP,

在4EFG和4MNP中，

.NEFG=NMNP

<ZEGF=ZMPN=90°,

EG=MP

：.△EFG"△MNP(AAS),

.-.MN=EF,故小亮的說法正確，

綜上所述，兩個人的說法都正確.

故選C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、同角的余角相等的性質，作出輔助線，構造出全等三角形

是解題的關鍵，通常情況下，求兩邊相等，或已知兩邊相等，都是想法把這兩條線段轉化為全等三角形的對應邊

進行求解.

8.如圖，在菱形ABCD中，E,F分別在AB,CD上，且BE=DF,EF與BD相交于點O,連結A0.若NCBD=35°,

則/DAO的度數(shù)為()

g

BC

A.35°B.55°C.65°D.75°

【答案】B

【解析】

由菱形的性質以及已知條件可證明△BOE合△DOF,所以可得BO=D。，即。為BD的中點，進而可得AOJ_BD,再

由NCBD=35°,則可以求出NDAO的度數(shù).解：：四邊形ABCD是菱形，

/.ABHCD,

/.ZOEB=ZOFD,ZEBO=ZODF,

BE=DF,

20EB=NOFD

，在△BOE和△DOF中｛BE=OF,

LEBO=AODF

：.△BOE合△DOF,

BO=OD,

AO±BD,

ZAOD=90°,

ZCBD=35°,

ZADO=35°,

/.ZDAO=55°,

故選：B.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定和性質，證明出AO_LBD是解題的關鍵.

9.如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,E,F分別是AB,AD的中點，DE,BF相交于點G,連接BD,CG,有下列

結論：①NBGD=120。；②BG+DG=CG；③△BDFV△CGB；=—/4B2.其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

試題解析：①由菱形的性質可得△ABD、BDC是等邊三角形，NDGB=NGBE+NGEB=30°+90°=：120°,故①正確；

②；NDCG=NBCG=30。，DE_LAB,.,.可得DG=CG（30。角所對直角邊等于斜邊一半）、BG=—CG,故可得出

22

BG+DG=CG,即②也正確；

③首先可得對應邊BGWFD,因為BG=DG,DG>FD,故可得△BDF不全等△CGB,即③錯誤；

]11nn

④SAABD=-AB?DE=—AB?的BE=—AB?4AB=4AB2,即④正確.

22224

綜上可得①②④正確，共3個.

故選C.

10.如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處，折痕為EC,連結AP

并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點.給出以下結論：

①四邊形AECF為平行四邊形；

②NPBA=ZAPQ；

FPC為等腰三角形；

（￡）△APB2△EPC；

其中正確結論的個數(shù)為（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B分析：①根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。易證NPAB+NPBA=90。，易證四邊形AECF是平行四邊形，即可解

題；

②根據(jù)平角定義得：NAPQ+NBPC=90。，由正方形可知每個內(nèi)角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題；

③根據(jù)平行線和翻折的性質得：ZFPC=ZPCE=ZBCE,NFPCHNFCP,且NPFC是鈍角，△FPC不一定為等腰三角

形；

④當BP=AD或△BPC是等邊三角形時，AAPB些AFDA,即可解題.

詳解：①如圖，EC,BP交于點G；

；點P是點B關于直線EC的對稱點,

???EC垂直平分BP,

EP=EB,

ZEBP=ZEPB,

?.?點E為AB中點,

AE=EB,

AE=EP,

ZPAB=ZPBA,

,/ZPAB+ZPBA+ZAPB=180°,即NPAB+ZPBA+ZAPE+ZBPE=2(ZPAB+ZPBA)=180°,

ZPAB+ZPBA=90°,

AP±BP,

AFIIEC；

?/AEIICF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

故①正確；

②:ZAPB=90°,

ZAPQ+ZBPC=90°,

由折疊得：BC=PC,

ZBPC=ZPBC,

???四邊形ABCD是正方形，

ZABC=ZABP+ZPBC=90",

ZABP=ZAPQ,

故②正確；

③??,AFIIEC,

ZFPC=ZPCE=ZBCE,

???ZPFC是鈍角，

當4BPC是等邊三角形，即NBCE=30°時，才有NFPC=ZFCP,

如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，

故③不正確；

④..,AF=EC,AD=BC=PC,ZADF=ZEPC=90°,

RtAEPC叁△FDA(HL),

ZADF=ZAPB=90°,NFAD=NABP,

當BP=AD或4BPC是等邊三角形時，△APB2AFDA,

/.AAPB些AEPC,

故④不正確；

其中正確結論有①②，2個，

故選B.

點睛：本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質和判定，矩形的性質，翻折變換，平行四邊形的

判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解木題的關鍵.

11.如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點G在C。上，DE=2,將正方形DEFG繞點D順時針旋轉60。，得

到正方形DF產(chǎn)G,此時點G在AC上，連接CF,則CF+CG，=()

A.y/2+46B,石+1C.6+夜D.后+?

【答案】A試題解析：作G，/_LCO于/,GR_LBC于R,交8c的延長線于H.連接RF.則四邊形RC/G是

正方形.

???ZDG'F'=N/GR=90°,ZDG7=ZRG'F',在4G'lD和」G'RF中，；G'D=G'F,ZDG'/=NRG'F',G'l=G'R,

△G7DS△G'RF,ZG7D=ZG'R尸=90°,..,點尸在線段BC上，在RtAE'F'H中，:E'F'=2,ZE'F'H=30°,；.E'H=—

2

E'F'=1,F'H=y/3,易證△RG'F'W△HFE',：.RF'=E'H,RG'RC=F'H,：.CH=RF=E'H,：.CE'=72'RG=HF=^，:.CG'=

近RG'=76.CE'+CG'=應+折

故選A.

12.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E為CD上一動點，AE交BD于F,過F作FHJ_AE于H,過H作GHJ_BD

于G,下列有四個結論：①AF=FH,②NHAE=45。，③BD=2FG,④△CEH的周長為定值，其中正確的結論有

()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【解析】

(1)如圖1,連接FC,延長HF交AD于點L,

,/在正方形ABCD中，ZADF=ZCDF=45°,AD=CD,DF=DF,

/.△ADa△CDF,

/.FC=AF,ZECF=ZDAF,

,/ZALH+ZLAF=90°,

ZLHC+ZDAF=90°,

?「ZECF=ZDAF,

ZFHC=ZFCH,

「?FH=FC,

FH=AF；

(2)如圖1,?/FH±AE,FH=AF,

.ZHAE=45°；

(3)如圖2,連接AC交BD于點0,則由正方形的性質可得：BD=20A,

?「HF±AE,HG±BD,

ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,

ZAFO=ZGHF.

?.AF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

/.△AOa△FGH.

/.OA=GF.

BD=2OA,

/.BD=2FG；

(4)延長AD至點M,使AD=DM,過點C作ClllHL,則：LI=HC,

/.ZIMC=ZECM=45°,

由已知條件可得：ZDEM=ZDEA=ZFHC=ZDIC,由此可得NMEC=ZCIM,

又MC=CM,

」.△MEC些△CIM,

CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

△CEH的周長為8,為定值.

故(1)(2)(3)(4)結論都正確.

二、填空題

13.如圖，己知矩形A5CD,AB=6,BC=4,點E在A￡>上，連接EC,將四邊形A6CE沿CE折疊,

得到四邊形AB'CE,且A'"剛好經(jīng)過點D,則MDE的面積為.

【答案】27-975

【解析】

可先在/^△8'CD中運用勾股定理求出87）,從而得到AO,然后在中運用勾股定理求出瓦），最

后即可得出△€!）￡：的面積的面積.1?矩形ABC。，AB=6,BC=4,

DC=6,AT>=4,

由翻折的性質可知，BC=4>AB=6，AE=A'E，

在放△B'CD中，由勾股定理可得：B'D=4DC--B'C2=2y[5>

???A'D=A'B'-B'D^6-275，

設=則AE=A'E=4—x,

在中，由勾股定理可得：x2=（4-X）2+（6-275）2,

解得：x=9-3下,

???ED=9-35

：.S&CDE=|ED?CD=9(9-3君卜6=27—96

故答案為：27—9石.

【點睛】

本題考查矩形的翻折問題，理解矩形和翻折變換的基本性質，靈活運用勾股定理進行求解是解題關鍵.

14.如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4,NA=60。，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG,

BF

點F、G分別在邊AB、AD上，則——的值為

AF

【答案】-

7

【解析】

連接BE,BD,證明△BCD是等邊三角形，證得NABE=ACEB=90。，由折疊可得4F=EF,由￡尸=89+開2可求出答案.解:

如圖，連接8E,BD,

四邊形ABCD為菱形，Z4=60。,

/.AB=4=BC=CD,ZA=60°=NC,

..△BCD是等邊三角形,

.E是CD中點,

二

DE=2=CE,BE±CDfZEBC=30°,

?..BE=AE=25

...CDIIAB,

ZABE=Z.C眸90°,

由折疊可得AF二EF,

222

?/EF=BE+BFt

“71

EF2=12+(4-EF)2,解得EF=—,BF=4—EF——,

22

BF1

----=—.

AF7

故答案為：一.

7

【點睛】

本題考查了折疊的性質，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，關鍵是添加恰當?shù)妮o助線構造直角

三角形，利用勾股定理求線段長度.

15.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF,再以對角線AE為邊作

第三個正方形AEGH,如此進行下去......記正方形ABCD的邊長為a1=l,按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2,

93,34,....32019,貝!J32019=

【答案】21009

【解析】

由題意依次可求得％,。2，。3，%，。5，。6”“的值，確定其變化規(guī)律，可知4019的值?解：由題意依次可求得

q=l,a2==2,%=2插,%=4,%=472……因此奇數(shù)項的規(guī)律為=2"/，偶數(shù)項的規(guī)律為

%=2'"〃=1,2,3……，所以439=4”“。t二合00'

故答案為：21009

【點睛】

本題考查了圖形的規(guī)律問題，由少量的數(shù)據(jù)確定變化規(guī)律是解題的關鍵.

16.如圖，AC是菱形ABCD的對角線，P是AC上的一個動點，過點P分別作AB和BC的垂線，垂足分別是點F

和E，若菱形的周長是12cm,面積是6cm2,則PE+PF的值是cm.

【答案】2

【解析】

連接BP,根據(jù)菱形的面積公式和三角形的面積公式得SAABC=SAABP+SABPC——S菱形48cD，SAABP+SABPC=_AB?PE

22

+JBC?PE把相應的值代入即可.解：連接BP,

四邊形A8CD是菱形，且周長是12cm,面積是6cm2

1

AB=BC=—xl2=3(cm),

4

AC是菱形ABCD的對角線,

2

,"SAABCSAABPSABPC，菱形ABCQ=3(cm)，

e2

??ABP+SABPC=—AB*PEH-----BCPE—3(cm),

22

1,1

一x3xPEd-----x3xPF=3,

22

2

PE+PF=3x-=2(cm)，

3

故答案為：2.

【點睛】

此題考查菱形的性質，SAABP+SABPC=SAABC=菱形.CD是解題的關鍵.注意掌握輔助線的作法和數(shù)形結合思想

的應用.

17.如圖，正方形ABC。的邊長為3cm,點E為。。邊上一點，NZM￡=30。，點M為4E的中點，過點M

作直線分別與AT),8C相交于點尸，。.若PQ=AE,則AP長為cm.

【答案】1或2

【解析】

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN_LBC,交BC于點N,由ABCD為正方形，得至IjAD=DC=PN,在直角三角形ADE中，

利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用

HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應邊，對應角相等得到DE=NQ,NDAE=NNPQ=30°,

再由PN與DC平行，得到NPFA=NDEA=60。，進而得到PM垂直于AE,在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，

利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長,再利用對稱性確定出AP，的長即可.根據(jù)題意畫出圖形，過點尸作PN工BC，

交8c于點N,交AE于點F,四邊形ABCO為正方形，.?.4)=￡)C=PN.

在火/AAOE中，ZDAE=30°,AD=3cm,

DE=6cm.

根據(jù)勾股定理得AE=cm.

?.?A7為4E的中點，...AM=，AE=g'cm,

2

AD=PN,

在MAAOE和放APNQ中，，

AE=PQ,

Rt^ADE=Rt\PNQ〈HL),

:.DE=NQ,NDAE=NNPQ=30。.

PN//DC,ZPFA=ZDEA=60°，

.-.ZPMF=90°,即對

-AP=4=2

在用AAMP中，NM4P=30°,一上<

T

由對稱性得到AP=OP=AD-A尸=3—2=1cm,

綜上，AP等于1cm或2cm.

故答案為：1或2.

【點睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

18.如圖，在矩形ABC。中，AB=8,點E是AO上的一點，A￡=4，3E的垂直平分線交BC的延長線

于點尸，接EF交CD于點G,若點6是。。的中點，則BC的長是.

【答案】7

【解析】

【解析】

根據(jù)線段中點的定義可得CG=DG,然后利用"角邊角"證明△DEG和仆CFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得

DE=CF,EG=FG,設DE=x,表示出BF,再利用勾股定理列式求EG,然后表示出EF,再根據(jù)線段垂直平分線上的

點到兩端點的距離相等可得BF=EF,然后列出方程求出X的值,從而求出AD,再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC=AD./

矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8,

1

CG=DG=—x8=4,

2

在4DEG和4CFG中，

ZD=ZDCF=90°

<CG=DG,

NDGE=NCGF

△DEGS△CFG(ASA),

DE=CF,EG=FG,

設DE=x,

貝ljBF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x,

在RSDEG中，EG=JDE?+DG?=4+16,

,,EF=2+16，

???FH垂直平分BE,

「?BF=EF,

4+2x=2+16，

解得x=3,經(jīng)檢驗x=3符合題意,

AD=AE+DE=4+3=7,

BC=AD=7.

故答案為：7.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，勾股定

理，熟記各性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵

19.己知，如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=12,點E為線段AB上一動點（不與點A、點B重合），先

將矩形ABCD沿CE折疊，使點B落在點F處，CF交AD于點H,若折疊后，點B的對應點F落在矩形ABCD的對

稱軸上，則AE的長是______.

【答案】24近-28或8-4有

【解析】

依據(jù)點B的對應點F落在矩形ABCD的對稱軸上,分兩種情況討論：F在橫對稱軸上與F在豎對稱軸上，分別求

出BF的長即可.解：分兩種情況：

①當F在橫對稱軸MN上，如圖所示，

A-------------------------1c

MFN

此時CN=，CD=4,CF=BC=12,

2

.-.FN=7CF2-CN2=8。

MF=12-8近，

由折疊得，EF=BE，EM=4—BE，

?.EM2+MF2=EF2>

即舟2

(4-BE)2+(12-8=BE,

，BE=36-24萬

.?.AE=24&-28；

②當F在豎對稱軸MN上時，如圖所示,

此時AB//MN//CD,

../BEC=4OE，

^BEC=^fFEC.

^FEC=^FOE,

.-.EF=OF,

由折疊的性質得，BE=EF，/EFC=/B=90°，

BN=CN,

OC=OE，

.?.FO=OE,

...△EFO是等邊三角形，

.?.^FEC=60，

/BEC=60>

BE=—BC=4^，

3

AE=8-4G

綜上所述，點B的對應F落在矩形ABCD的對稱軸上，止匕時AE的長是240_28或8-43.

故答案為24立一28或8—4JL

【點睛】

本題考查了折疊問題，解題時常常設要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質用含X的代數(shù)式表示其他

線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.

20.如圖，以RtAABC的斜邊AB為一邊在乙ABC同側作正方形ABEF.點。為AE與BF的交點，連接CO.若CA=2,

C0=2幣,那么CB的長為.

【答案】2c+2

【解析】

如圖，在BC上截取BD=AC=2,連接OD,

???四邊形AFEB是正方形，

AO=BO,ZAOB=ZACB=90",

/.ZCAO=900-ZACH,ZDBO=90°-ZBHO,

???ZACH=ZBHO,

ZCAO=ZDBO,

/.△ACOS△BDO,

DO=CO=2y/3，NAOC=ZBOD,

???ZBOD+ZAOD=90°,

ZAOD+ZAOC=90°,即NCOD=90°,

???CD=d(2后+(2舟=2限，

BC=BD+CD=2+2#.

故答案為：2+2卡.

點睛：本題的解題要點是，通過在BC上截取BD=AC,并結合已知條件證△ACS△BDO來證得△COD是等腰直

角三角形，這樣即可求得CD的長，從而使問題得到解決.

21.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120",△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑

動，且E、F不與B、C、D重合.當點E、F在BC、CD上滑動時，則△CEF的面積最大值是____.

【答案】下)

【解析】

解:如圖，連接AC,；四邊形ABCD為菱形,NBAD=120°,Z1+ZEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,：.Z1=Z3,'.'ZBAD=120°,

ZABC=60",△ABC和△ACD為等邊三角形，N4=60°,AC=AB.

在AABE和AACF中，/Z1=Z3,AC=AC,ZABC=Z.4,ABE^AACF(ASA),:.S“BE=SAACF,S

4￡CF=5A4￡C+5AW=5AAEC+SAAB￡=5AABC,是定值，作AH_LBC于H點，則BH=2,5網(wǎng).彩AECF=SAABC=-8C?AH=-BC?

22

NAB?-BH2=A5由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短，，△AEF的面

積會隨著的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SAC￡F=S網(wǎng)加皿0-SA則此時

xx

△CEF的面積就會最大，，SACEF=SWUKAECF-SAAEF=4-y2不=-s/3.

故答案為：V3.

點睛：本題主要考查了菱形的性質、全等三角形判定與性質及三角形面積的計算，根據(jù)AABI△ACF，得出四邊

形AECF的面積是定值是解題的關鍵.

22.如圖，直線/經(jīng)過正方形ABCO的頂點A，先分別過此正方形的頂點3、。作/于點E、DEL2于

點F.然后再以正方形對角線的交點。為端點，引兩條相互垂直的射線分別與AD，CD交于G，”兩點.若

EF=2&SMKE=2,則線段G"長度的最小值是—.

【答案】76

【解析】

根據(jù)正方形的性質可得A3=AZ),Nfi4￡>=90。，然后利用同角的余角相等求出ZB4E=NADE，再利用“角

角邊”證明ZVWE和△OAF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=AF，設AE=x,BE=y,然后列

出方程組求出x、y的值，再利用勾股定理列式求出正方形的邊長AB，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得

ZOAG=ZODH=45。，根據(jù)同角的余角相等求出ZAOG=ZDOH,然后利用"角邊角"證明A4OG和如歸全

等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OG=OH,判斷出AOG"是等腰直角三角形，再根據(jù)垂線段最短和等腰

直角三角形的性質可得8時G”最短，然后求解即可.在正方形ABCO中，AB=AD，ZBAD=90°,

.?.44E+ND4尸=90°,

■.■DFVI,

:.ZDAF+ZADF=90°,

：.ZBAE=ZADF，

在AABE和ADAF中,

NBAE=ZADF

<ZAFD=NBEA=90°,

AB=AD

：.^ABEM)AF(AAS),

:.BE=AF，

設AE=x,BE=y,

'：EF=2>/5>SMBE=2>

x+y-2>/5

I*

消掉y并整理得，/-2&+4=0，

解得王=石一1，%2=小+1，

當$=小-1,y,=A/5+1,

當％=不+1，%=小-、，

.二由勾股定理得，AB=J(6-1尸+(逐+1>=2。

在正方形ABCZ)中，NQ4G=NOD"=45。，OA=OD,ZAOZ)=90°,

/.ZAOG+ZDOG=90°,

?；OGLOH,

/.ZDOH+ZDOG=90°,

ZAOG=ZDOH,

在AAOG和ADO”中，

ZAOG=/DOH

<OA=OD,

ZOAG=ZODH

.\MOG^ADOH(ASA)f

;.OG=OH,

.?.△OG”是等腰直角三角形，

由垂線段最短可得，0〃，8時0月最短，G”也最短,

此時，G/7的最小值為&乂2叵=#.

2

故答案為：76.

【點睛】

考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，難點在于多次證明

三角形全等并判斷出G4長度最小時的情況.三、解答題

23.在平行四邊形ABCD中，點P是上一點（不與48重合），連接DP交對角線AC于點E,連接BE.

（1）如圖1,若NEBC=NEPA,EC平分NDE8,證明：四邊形ABCD為菱形.

（2）如圖2,對角線AC與BD交于點O,當P是A8的中點時,請直接寫出與△ADP面積相等的三角形（其中不

含以AD為邊的三角形）.

【答案】（1）證明見解析；（2）.AOB3coD,ACOB,ABDP.

【解析】

（1）證明AOECGABEC,可得OC=BC,結合平行四邊形可得結論;

（2）由平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形的面積四等分，再結合三角形的中線的性質可得答案.證明：（1）

7平行四邊形A8CD,

/.AB//CD,

："CDP=ZAPD,

-.?ZEBC=NEPA,

：.ZCDE=ZCBE,

?;EC平分NDEB,

：.ZDEC=ZBEC,

?;CE=CE,

：.^DEC^BEC(AAS),

/.DC=BC,

???平行四邊形ABC。是菱形.

(2)平行四邊形48CD,對角線AC與8。交于點0,

=SJOB=SACOD~ScCOB=aABCD^

???尸為AB的中點，

.s=w一入一入

一_*4BDP-2JDB-4乙A8C￡>，

A與AADP面積相等的三角形(其中不含以AD為邊的三角形)有：

△AOB,ACOD,4coB,ABDP.

【點睛】

本題考查的是平行四邊形的性質，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解題的關鍵.

24.菱形ABCO中，ZBA￡>=60°,BO是對角線，點￡、尸分別是邊AB、AO上兩個點，且滿足AE=DF，

連接BE與。E相交于點G.

⑴如圖1,求N8GO的度數(shù)；

(2)如圖2,作C〃J_8G于〃點，求證：2GH=GB+DG；

⑶在滿足(2)的條件下，且點H在菱形內(nèi)部，若GB=6,CH=4小,求菱形ABC。的面積.

圖1

【答案】⑴N8G￡>=120。；⑵證明見解析；⑶右邊陶於:26#.

【解析】

【解析】

(1)只要證明△DAE2△BDF,推出NADE=NDBF,由NEGB=NGDB+NGBD=NGDB+NADE=60°,推出

ZBGD=1800-ZBGE=120°；

(2)如圖3中，延長GE至1JM,使得GM=GB,連接BD、CG.由4MBD2△GBC,推出DM=GC,ZM=ZCGB=60°,

由CH_LBG,推出NGCH=30°,推出CG=2GH,由CG=DM=DG+GM=DG+GB,即可i正明2GH=DG+GB；

(3)解直角三角形求出BC即可解決問題.(1)如圖，

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AD=AB,

?.?4=60°,

.?.A/記。是等邊三角形，

：.AB=DB，ZA=ZFDB=60°,

在S4E和產(chǎn)中，

AD=BD

?ZA=ZBDF,

AE=DF

:.ADAE與ABDF,

:.ZADE=ZDBF,

\ZEGB=ZGDB+ZGBD=ZGDB+ZADE=60°,

.?.ZBGD=180°-ZBGE=120°.

⑵如圖，延長GE到“，使得GM=G3,連接CG.

立

??NMG3=60。，GM=GB,

是等邊三角形，

ZMBG=Z.DBC=60°,

:.AMBD=/GBC,

在AMBO和AGBC中，

MB=GB

<4MBD=4GBC,

BD=BC

:.AMBD=^GBC,

:.DM=GC,ZM=NCGB=60。，

.CH工BG,

/.ZGC7/=30°,

:.CG=2GH,

?；CG=DM=DG+GM=DG+GB,

.\2GH=DG+GB.

(3)如圖1一2中，由(2)可知，在RtACGH中，CH=ABZGC7/=30°,

「H

/.tan30°=—,

:.GH=4,

?;BG=6,

在RlABCH中，BC=-JBH2+CH2=2小，

?■MBD,ABDC都是等邊三角形,

S四邊彩ABCO=2-S^CD=2x￥x(2yf\3y=26"-

【點睛】

本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，直角三角形30度角性質等知識,

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.

25.如圖所示，四邊形A8CD是矩形，已知P8=PC.

（1）若P是矩形外一點，求證：PA=PD；

⑵若P是矩形邊AD（或BC）上的一點，則PAPD-,

⑶若點P在矩形4BCD內(nèi)部，上述結論是否仍然成立？