高等數(shù)學(xué)公式定積分微積分三角函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

等數(shù)學(xué)公式

基本積分表（1）Jkdx=kx+C（k是常數(shù)）

(2)|x"dx=----+C,(〃w-1)

J〃+l

(3)^-dx=\n|x|+C

(4)f=arltanx+C

J1+x2

(5)/=arcsinx+C

(6)jcosxdx=sinx+C

(7)Jsinxdx=—cosx+C

(8)f-----dx—tanx+C

Jcosx

(9)[—<ix=-cotx+C

Jsin2x

(10)jsecxtanAiir=secx+C

(11)jescxcotxdx=-escx+C

(12)jexdx=ex+C

(13)\axdx=—^C,(Q>0,且awl)

JIna

(14)Jshxdx=chx+C

(15)Jchxdx=shx+C

(16)f-r^-~~7dx=-arctan—+C

Ja+xaa

/<r、r1.1_.X-U._

(17)I----dx——In|----1+C

Jx—a2ax+a

(18)f.=dx=arcsin—+C

JV777a

(19)[,dx=ln(x+yja2+x2)+C

}yla2+x2

d22

(20)\~r—^=}n\x+ylx-a\+C

Jyjx2-a2

(21)jtanxdx=-In|cosx\+C

(22)jcotxdx=In|sinx|+C

(23)Jsecxdx=In|secx+tan%|+C

(24)JcscxiZx=ln|cscx-cotx|+C

注：1、從導(dǎo)數(shù)基本公式可得前15個(gè)積分公式，(16)-(24)式后幾節(jié)證。

2、以上公式把x換成〃仍成立，”是以x為自變量的函數(shù)。

3、復(fù)習(xí)三角函數(shù)公式：

sin2x+cos2x=l,tan2x+1=sec2x,sin2x=2sinxcosx,cos2x-^+cos^%

2

.21—coslx

sinx=-----------

2

注：由//[夕（*用/（?否：=]</[0（》）]4雙幻，此步為湊微分過程，所以第一類換元法也叫

湊微分法。此方法是非常重要的一種積分法，要運(yùn)用自如，務(wù)必熟記基本積分表，并

掌握常見的湊微分形式及“湊”的技巧。

小結(jié)：

1常用湊微分公式

導(dǎo)數(shù)公式:

(arcsinx)'=/1

(/gx)'=sec2x

Vl-x2

(c^x)z=-csc2x

(arccosx),

(secx)"=secx-tgx71-x2

(cscx)z=-cscx-ctgx

1

(arctgx\

(ax)r=ax]na1+x2

(log"x)'=——

(arcctgx)f=

x\na1+x

基本積分表：

jtgxdx=-ln|cosx|+C[——=[sec2xdx=tgx+C

JCOSXJ

jctgxdx=ln|sinx|+C

rdxc2i「

——I-=esc**xdx--0*尢+C

Jsecx6k=ln|secx+fgM+CJsii?冗J6

Jsec尤?/gMx=secx+C

jcscxdx=ln|csex-etgj^+C

jesc尤?ctgxdx=-cscx+C

rdx1x「

—~-=-arctg-^-C

Ja+xaa

axdx=—^-C

占」收+

jcIn。

j

X-a-2a\x+a\shxdx=chx-\-C

rdx1,a+x

―；——7=——In----+Cchxdx-shx+C

Ja-x2aa-x

{dx.Jj,>=ln(x+7x2±a2)+C

r—arcsin—i-

J/-x2a

nn

22

I=Jsin"xt/x=Jcos"xdx-

n1n-2

n

00

x2+a2dx=^-\lx2+a2H-------ln(x+J尤2+〃~)+c

2

2_________

^x2-a2dx=^x2-a2--Inx+7x2-a2+C

2

2

1111a".x

^a-xdx=^y!a-x+—arcsin-+C

2a

三角函數(shù)的有理式積分:

一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:

三角函數(shù)公式:

■誘導(dǎo)公式：

數(shù)

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

?和差角公式:?和差化積公式:

a+8a-B

sin(a±夕)二sinacos/?±cosasin(3sina+sin0=2sin------cos......-

22

cos@±/?)=cosacosP=j=sinasinf3

a+。.a-B

sincr-sin(3=2cos-----sin......-

爆a土所產(chǎn)嗎22

\+tga-tgpa+/7a-0

cosa+cosQ=2cos------cos......-

ctg(a±0)=ctgactg0Q22

ctg(3±ctgaa+/7.oc—B

cos6Z-cos/?=2sin-------sin-------

22

?倍角公式:

?半角公式:

“正弦定理：---=——=--—=2R?余弦定理：c?一2?bcosC

sinAsinBsinC

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=---arcco&xarctgx=---arcctgx

2

高階導(dǎo)數(shù)公式—萊布尼茲(Leibniz)公式:

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

曲率：

定積分的近似計(jì)算：

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

空間解析幾何和向量代數(shù)：

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

微分法在幾何上的應(yīng)用：

x=夕⑴

xf=二ZZ。

空間曲>=”4)在點(diǎn)知(公,%，20)處的切線方程：

“(九)/4)/4)

Z=69(Z)

在點(diǎn)M處的法平面方程：夕'4)(x-/)(y-%)+〃&)(z-z())=0

若空間曲線方程為>'切=，，則切向量T={+￡F1%匕

G「G二G'G

G(x,y,z)=0UyXXG,

曲面廠(再y,z)=。上—點(diǎn)Af(x0,yQ,z0),則：

1、過此點(diǎn)的法向量：

2、過此點(diǎn)的切平面方程Fv(xo,yo,zo)(x-xo)+Fv(xo,yo,zo)(y-^o)+Fz(A：o,yo,zo)(z-zo)=O

3、過此點(diǎn)的法線方程：入人一=——=—3—

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)￡(%,為，z(()

方向?qū)?shù)與梯度：

函數(shù)Z=/0,丁)在一點(diǎn)/?0,>)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為包=更<：059+笠51119

dldxoy

其中0為X軸到方向/的轉(zhuǎn)角O

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=^7+—J

dxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是或=grad/'(x,y>2,其中2=cos/G+sin夕?了,為/方向上的

dl

單位向量。

更是grad〃x,y)在/上的投影。

dl

元函數(shù)的極值及其求法：

重積分及其應(yīng)用：

JJ/(^y)dxdy=jj/(rcos^,rsinO)rdrdO

DD'

2

dzdz、

曲面z=/(x,y)的面積A=JJ++dxdy

dx

D

||xp(x,y)da\\ypkx,y)do

平面薄片的重心：彳=必Dy_D_____________

MJjp(x,yW'MJJp(x,y)dcr

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對于x軸/x=0y2P(x,y)dcr,對于》軸/、.=JJx"(x,y)dcr

DD

平面薄片(位于:經(jīng)平面)對z軸上質(zhì)點(diǎn)加(0,0,〃),(〃〉0)的引力：F={Fx,Fy,Fz],其中:

F、=川p(x?『4=川。(蒼叫工一明上卬吟

22

D(x2+y2+/)2D(X+y+。2"D(x2+y2+a2y

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

x=rcosO

柱面坐標(biāo)：y=rsin^,jjj/(x,y,z)dxdydz=JjJF(r,。,z)rdrd3dz,

z=zc

其中：尸(八4z)=/(rcos^,rsin^,z)

x=廠sin℃ose

球面坐標(biāo)，y=rsinosinadv=rd(prs\n(p-dO-dr=r2s\n(pdrd(pdO

z=rcos(p

2/rnr((p、8)

IJj/(x,y.z)dxdydz=jjjF{r,(p,0)r2sin(pdrd(pdO=^dd^d(pjF{r,(p,O)r~sin(pdr

cC000

重心：元=2。上心匕》2=(叫2次丫，其中M=元=JJJpdv

o.

22

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：/x=JJj(y+z)/xZv,=3(一+/)刖

CC

曲線積分:

曲面積分:

對面積的曲面積分，/(羽y,z)ds=^f[x.y,z(x9y)]Jl+z：(x,y)+z；(x,y)dxdy

z%

對坐標(biāo)的曲面積分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

jjR(x,y,z)dxdy=±J|R\x,y,z(x,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號；

八％

y,z)dydz=土JJP[x(y,z)9y,z]dydzf取曲面的前側(cè)時(shí)取正號；

zD”

JJ2(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時(shí)取正^。

兩類曲面積分之間的：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos/+Rcosy)ds

斯公式：

JJJ+竿)du=.Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：d"D=E+篝+笥，即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量'

若div丘<0,則為消失…

通量:JJA-nds-jjAds=jj(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds,

X￡X

因此，高斯公式又可寫成:JJ]divAdv=§Ands

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：

級數(shù)審斂法：

交錯(cuò)級數(shù)W|-〃2+〃3-%+…(或-/+?2-?3+,??,??>0)的審斂法----萊布尼茲定理:

如果交錯(cuò)級數(shù)滿同屋“10,那么級數(shù)收斂且其和4％,其余項(xiàng)/:的絕對瞰仁〃“鏟

、〃->30"

對收斂與條件收斂：

塞級數(shù)：

N<i時(shí)，收斂于—

1+x+x-+x，+…+x'1+…

卜日時(shí)，發(fā)散

對于級數(shù)(3)&+<7/+//+…+*x"+…，如果它不是僅在原點(diǎn)I攵斂，也不是在全

/W<H時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存￡/?,使時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

\k|=R時(shí)不定

時(shí)，R=—

求收斂半徑的方法：設(shè)