高中數學筆記總結高一至高三很全

中學數學學問點

中學數學第一章-集合

§01.集合與簡易邏輯學問要點

一、學問結構：

本章學問主要分為集合、簡潔不等式的解法（集合化簡）、簡易邏輯三

二、學問回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的運用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質：

①任何一個集合是它本身的子集，記為A=

②空集是任何集合的子集，記為。qA;

③空集是任何非空集合的真子集；

假如4a8,同時8勺4,則力-B.

假如A口8,BGC,那久aC.

［注］:①多{整數}(J)z={全體整數}(X)

②已知集合S中/的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)(例:

S=N；A=N+,則CA={0})

③空集的補集是全集.

④若集合a集合反則04=0,擻=0G(&?)=〃(注：c5=0).

3.①］(x,y)\xy=0,xGR,昨用坐標軸上的點集.

②{(x,y)|盯<0,xRR,昨7?}二、四象限的點集.

③］(x,y)\xy>Q,xRR,曲一、三象限的點集.

［注］:①對方程組解的集合應是點集.

例：［：+73解的集合{⑵1)}.

②點集與數集的交集是。.(例：A={(x,y)|y=x+l}B={y|y=*+1}則

ACB=0)

4.①〃個元素的子集有2〃個.②〃個元素的真子集有2"一1個.③〃個

元素的非空真子集有2〃一2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題確定為真.否命題。逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題確定為真.原命題。逆否命題.

例：①若a+〃H5,則2或8#3應是真命題.

解：逆否：a=2且6=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.

②x#1且yW2,Ax+yn3?

解：逆否：x+y=3Ax=1或y=2.

.,.XHl且"2Ax+"3,故x+尸3是XHl且”2的既不是充分,又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：右x好5,=>x>-5B!CC2.

4.集合運算：交、并、補.

交：A5=A,且工￡團

并：AB<=>{x|xeA^xGB}

補：4A={x￡U,且xeA}

5.主要性質和運算律

（1）包含關系-AGA,①=A,A￡U,品Au”

八AGB,BCC=>AGC;AIB^A,ACBCB;A\

（2）等價關系：A=8oA[8=AoAB=B=，,AB=U

（二）含確定值不等式、一元二次不等式的解法與延長

1.整式不等式的解法

根軸法（零點分段法）從右向左，從上向下，奇穿偶回，零點探討

①將不等式化為ao（x-x,）（x-x2）-（x-xm）>0?0）并將各因式x的

系數化“+”；（為了統(tǒng)一便利）

②求根，并在數軸上表示出來；

③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點（為什么？）；

④若不等式（x的系數化“+”后）是“>0”，則找“線”在x軸上方的

區(qū)間；若不等式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

---------0----------0----------°----------------------j/f------------------------------------------------------------>

Xx

1x?x?n-3—]m-2n-i-xmX

乙3

（自右向左正負相間）

n2

則不等式的了"+qx"T+a2x~+---+an>0（<0）（他>0）的解可以依據各區(qū)間的符

號確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的探討；

②一元二次不等式ax,boxXXa>。）解的探討.

A>0△=0A<0

二次函

數

y=ax1+hx+cJ

IT0

(a>0)的上

圖象

一元二次方

有兩相等

有兩相異實根

程

實根無

xx(x<x)

ax2+bx+c=0l92i2b實根

X\=X2="—

(a>0的根

ax2+hx+c>01

[^x<x]^x>x2]

(。>0)的角星集XT}

R

ax2+bx+c<0

<X<X2)0

(。>0)的角牟集M%]0

2.分式不等式的解法

(1)標準化：移項通分化為或△義句)；△必力0(或以立或

g(x)g(x)g(x)g(x)

0)的形式，

(2)轉化為整式不等式(組)

>0=g)g(x)>0;瑞20={瑞雪>。

g(x)

3.含確定值不等式的解法

(1)公式法：而+可<c,與m+母>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類探討.

(3)幾何法：依據確定值的幾何意義用數形結合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)

(1)根的“零分布”：依據判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數圖象，用數形結合思想分析列式解

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以推斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結詞、簡潔命題與復合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結詞；不含有邏輯聯(lián)結詞的命

題是簡潔命題；由簡潔命題和邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”構成

的命題是復合命題。

構成復合命題的形式：P或q(記作“pVq")”且口成己作'濯八口”);

非P（記作"lq"）o

3、“或”、“且”、“非”的真值

推斷

(1)“非P”形式復合命題的真假與

F的真假相反；

(2)“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他狀況時為假;

(3)"p或q"形式復合命題當p與q同為假時為假，其他狀況時為真.

4、四種命題的形式:

原命題：若P則q；逆命題：若q則P；

否命題：若rP貝kiq；逆否命題：若「q則1P。

(1)交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題；

(2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結論,并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系：(原命題。逆

否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不確定為真。

②、原命題為真，它的否命題不確定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題確定為真。

6、假如已知pnq則我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pnq且qnp,則稱P是q的充要條件，記為P=q.

7、反證法：從命題結論的反面動身(假設)，引出(與已知、公理、定

理…)沖突，從而否定假設證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

中學數學其次章-函數

§02.函數學問要點

一、本章學問網絡結構:

一定義F:A—

二、學問回顧：

(-)映射與函數

1.映射與---■映射

2.函數

函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起確定

作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域

和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.

(二)函數的性質

1.函數的單調性

定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區(qū)間上的隨意兩個自變量的值

X1,X2,

⑴若當X《X2時,都有f(x,)<f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數；

⑵若當X《X2時，都有f(x)>f(x，則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.

若函數y=f(X)在某個區(qū)間是增函數或減函數，則就說函數y=f(X)在這

一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，這一區(qū)間叫做函數y=f(x)的單調區(qū)間.此時

也說函數是這一區(qū)間上的單調函數.

2.函數的奇偶性

偶函數的定義：如果對于南畋*x)的定義域內任應一個人都有

*“尸加0,那么函數f(x)謨叫做偶曲數.

虎偈函數o^=VW*O

/W

奇函數的定義：圳果對r函數*x)的定義域內任意?個工都有

R.X六m那么函數就叫做奇函數.

/(X漫奇函數c/(F=_/(x)o/(_?+*Q)

/w

正確理解奇、偶函數的定義。必須把握好兩個問題：

(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數/(X)為奇

函數或偶函數的必要不充分條件；(2)/(-x)=/(x)或

/(-x)=-/(%)是定義域上的恒等式。

2.奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，偶函數

的圖象關于、軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性。

3.奇函數在對稱區(qū)間同增同減；偶函數在對稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果，(x)是偶函數，貝!J/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數在x=0時有意義，則/(0)=0。

7.奇函數，偶函數：

⑴偶函數:/(-x)=/(x)

設(ab)為偶函數上一點，則J,b)也是圖象上一點.

偶函數的判定：兩個條件同時滿意

①定義域確定要關于)，軸對稱，例如：/=，+1在［卜1)上不是偶函數.

②滿意f(T)=/(x),或f(-x)-/(x)=(),若f(x)*O時,4^7=1.

⑵奇函數：/(-X)=-f(x)

設(a,b)為奇函數上一點，則(-a-b)也是圖象上一點.

奇函數的判定：兩個條件同時滿意

①定義域確定要關于原點對稱，例如：y=i在U,T)上不是奇函數.

②滿意A-x)=-F(x),或f(-x)+/(x)=O,若/(x)xO時，上空=7.

f(~x)

8.對稱變換：①/二f(X)刈*姆＞y=/(_x)

②y=f(X)押,*號>y=-f(x)

③y=f(X).犀卓也稱.>y=--(-x)

9.推斷函數浮遍性鳥Z)%髓、取第根號的確定要分子有理化，例如:

=-^x^+b~~^X2+b~=

x]+。2+舊+〃2

在進行探討.

10.外層函數的定義域是內層函數的值域.

例如：已知函數/'(x)=1+上的定義域為函數/[/'(X)]的定義域是

1-X

B,則集合/與集合呂之間的獎冢是.

解：/(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(x)的值域eR,故BeR,而4={x|xwl},

故8nA.

11.常用變換：

①/(x+V)=f(x)f(y)o/(x-y)=察?

f(y)

證：/(x-y)==fM=f[(.x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(-)=/(x)-f(y)of(x.y)=f(x)+f(y)

y

證：f(x)=f(--y)=f(-)+f(y)

yy

12.⑴熟識常用函數圖象：

例：＞=23-＞⑶關于y軸對稱.

例：丫=碧=2+S=定義域{x|x#3,xeR},

值域{y|”2,*R}f值域前的系數之比.

（三）指數函數與對數函數

指數函數＞=a\a＞。且aw1）的圖象和性質

a>l0<a<l

M

圖

/y?i

象—

一‘'…'-'』一

(1)定義域：R

性

(2)值域：(0,+8)

質

(3)過定點(0,L),即x=0時，y=l

(4)x>0時，y>l;x<0時，(4)x>0時,0〈y<l;x<0時，y>l.

0<y<l

(5)在R上是增函數(5)在R上是減函數

對數函數y=logax的圖象和性質:

對數運算：

k)g〃(M'N)=log”M+log”N⑴

M

log.\7=log“M—log“N

log.M〃=〃loga(土加)⑵

logrty/~M=-logflM

n

a'°s-N=N

換底公式：1幅*=四心

log/,a

推論：log”/?log〃c?log,a=1

nlog/〃2「og1的.….log%-%=log%冊

(以上M*0,N*0,aA0,awl,bR0,bwl,c〉0,cwl,a],a2...an>0且。1)

a>l0<a<l

!

y

y=logax*

注⑴：當a,8YO

時，

log(a-b)=log(-a)+log(-Z?)

x—1a<1

⑵：當MMO時，

（1）定義域：（0,+8）

取“+”，當〃是

(2)值域:R

偶數時且*0

(3)過點(1,0),即當x=l時,時，M">0,而

y=0MYO,故取

“_，，

(4)X￡(0,l)時xe(0,l)時y>0

例如:

y<0

xG(l,+oo)時y<0

log”/w2log?x(2log?x

X￡(l,+oo)

中X>0而log*

時y>0

中xER).

（5）在（0,+8）在（0,+8）上是減函數⑵y=ax

上是增函數(a>0,a*1)與

y=log。x互為反

函數.

當a>l時，y=logax的“值越大，越靠近x軸；當OYOYI時，則相反.

(四)方法總結

(1).相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.

⑴對數運算：

(l)

log<,(MW)=logflM+log?7V

M

log.—=logaM-log”N

nt2)

log戲M=nloga(±M)

bg"礪T°g"M

a*N=N

換底公式：k>g“N=Jd

log*

推論:log(,h-log6c-log(.a=1

nlog%/.log%?3?….kg",i%=log%冊

(以上乂80,r480聲>0聲/1,1>80,15/1,C：?03/1問/2..4>0且71)

注(1):當“,bY0時，log(a-b)=log(-a)+log(-/?).

⑵：當時，取"+當〃是偶數時且MYO時，M"MO,而MYO,故取"一

例如：10gax2w210ga*；(210gaX中X>0而10gX中x￡R).

⑵y=a"(a"O,a*l)與y=logax互為反函數.

當a”l時，y=log“X的"值越大，越靠近X軸；當0Y4Y1時，則相反.

⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.

⑶.反函數的求法：先解X,互換x、y,注明反函數的定義域(即原函數的

值域).

(4).函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求

解即可求得函數的定義域.常涉與到的依據為①分母不為0；②偶次根式中

被開方數不小于0;③對數的真數大于0,底數大于零且不等于1;④零指

數基的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.

⑸.函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函

數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法.

⑹.單調性的判定法：①設X|,X?是所探討區(qū)間內任兩個自變量，且

X2；②判定f(xj與f(xj的大??；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-X)

與與X)之間的關系:①f(-x)=f(x)為偶函數;f(-x)=-f(x)為奇函數;②

f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-X)=0為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶;f(x)4-

f(-x)=-l為奇函數.

(8).圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②

利用熟知函數的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱

性描繪函數圖象.

中學數學第三章數列

考試內容：

數列.

等差數列與其通項公式.等差數列前n項和公式.

等比數列與其通項公式.等比數列前n項和公式.

考試要求：

(1)理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列

的一種方法，并能依據遞推公式寫出數列的前幾項.

(2)理解等差數列的概念，駕馭等差數列的通項公式與前n項和公式，并

能解決簡潔的實際問題.

(3)理解等比數列的概念，駕馭等比數列的通項公式與前n項和公式，井

能解決簡潔的實際問題.

§03.數列學問要點

1.

等差數列等比數列

(1)

定義《用一”“=4也=g("o)

a

n等

遞推a?=a?-i+d；an=a,?_?+md瑪=冊一】4；

差、

公式

等

a=a+(/:-1)J

nxn

通項an=axq~^

比

公式

數

A_a『k+””+?G=±^a_a(a_aa0)

中項12nkn+knkn+k

列:

(n,kGN",n>k>G)(n,kGN*,n>k>0)

前〃項S”=^-(?i+冊)呻(q=l)

S『<%(1W)=°Lnq922)

〃(〃一1)

和s”=??i+2d\-q\-q

重要

〃，

am+an=ap+%(m,p,q￡N',aman=。］「氣(相,小p,qeN*,m+n=p+q)

性質m+n=p+q)

等差數列等比數列

定義{%}為A?Pod(常數)

{4}為6?P0巴=式常數)

冊

通項?！ǘ?(n-l)d=%+(n-k)a〃=。闖"7=OH"

公式+_

d-dnald

〃(%+4“),n(n-l)na(q=1)

求和s?=-----!------=na+----------ax

21x2

S"=<=a「a“q*]

=y?2+(?l-y)?

公式.\-q\-q

A=*推廣：

中項G2=abo推廣：

2

2

公式2a〃二見1“+冊+卅an=喂乂小

性

若貝若則。

質1rn+n=p+qljam+an=ap+aqm+n=p+q,aman=apaq

2若化J成A.P（其中1GN）若｛"｝成等比數列（其中

則｛%｝也為A.P。k,wN）,則｛%｝成等比數

列。

3?S.，S2"一S”,S3“-$2”成等差數S.，$2“-S0,$3/.-$2"成等比數

列。列。

4d=a"~a'—L""(加豐n)qn-'=",q"m=

n-lm-na\a,n

(mwri)

5

⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法:

①=4（〃22,4為常數）

②=冊+]+%（及22）

③a—kn+b（〃,&為常數）.

⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法:

①an=an_xq（n>2M為常數,且w0）

aa

?n=n+\-"22，anan+｝an_｝0）,

注①：i.b=4ac,是a、b、c成等比的雙非條件，即8=疝＞a、b、c等比

數列.

ii.b=4^（ac＞0）f為a、b、c等比數列的充分不必要.

iii.b=土向f為a、b、c等比數列的必要不充分.

iv.6=±疝且加”。-＞為a、b、。等比數列的充要.

留意：隨意兩數a、c不確定有等比中項，除非有ac＞0,則等比中項確定

有兩個.

③盤=4（G4為非零常數）.

④正數列｛4｝成等比的充要條件是數列｛log,%｝（x^l）成等比數列.

⑷數列｛a,J的前〃項和S,與通項冊的關系：金=卜

［注］:①％可為零也可不為零f為等差數列充要條件

（即常數列也是等差數列）f若〃不為0,則是等差數列充分條件）.

②等差｛七｝前n項和s,尸加2+8”=仁卜+,「5"f?可以為零也可不為零f

為等差的充要條件一若〃為零，則是等差數列的充分條件；若〃不為零，則

是等差數列的充分條件.

③非等常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不行能有

等比數列）

2.①等差數列依次每4項的和仍成等差數列，其公差為原公差的發(fā)倍

5jf-；

Sk?S?k-Sk,S3k-2

S奇an

②若等差數列的項數為2〃（”"），則S偶-S奇=〃d,T—-；

?偶an+\

③若等差數列的項數為2〃-l（〃eN+）,則S2“T=（2〃-1）?“，且S奇-S偶=a“，a=」_

S偶”1

=＞代入〃到2〃-1得到所求項數.

3.常用公式：①1+2+3…+〃=獨則

2

②12+22+32+...”2=小速兇

6

2

③"+23+33…“3=

[注]:熟識常用通項：9,99,999,…=/=io"-i；5,55,555,…=冊=部0"-1).

4.等比數列的前"項和公式的常見應用題：

⑴生產部門中有增長率的總產量問題.例如，第一年產量為4，年增長率為

『，則每年的產量成等比數列，公比為1+r.其中第〃年產量為a(l+r)i,且過

〃年后總產量為：

a+a(J+r)+a(l+r)2+...+a(l+r)n-1=^—~(〕十，)].

l-(l+r)

⑵銀行部門中按復利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存“元，利息為

r,每月利息按復利計算，則每月的“元過"個月后便成為。(1+『)"元.因此，

其次年年初可存款：

12

“(1+r嚴+“(1+r)“+”(1+r嚴+…+“(1+r尸止止11dl.

l-(l+r)

⑶分期付款應用題：a為分期付款方式貸款為a元；勿為勿個月將款全部付

清；r為年利率.

a(l+r)'"=x(l+r)"i+吊1+r)m-2+.....員1+r)+x=a(l+r)"'=。+"一=>x=十"

r(1+r),n-1

5.數列常見的幾種形式：

(1)“"+2=""+|+?"(夕、q為二階常數)-用特證根方法求解.

詳細步驟：①寫出特征方程f=Px+g(2對應冊,I,X對應*),并設二根占,與

②若X產工2可設4〃.=CM+QX；，若%]=匯2可設a〃=(C]+C2〃)M；③由初始值。],。2確定

。1，。2,

(2)冊=尸a,i+r(只T為常數)一用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③

消去常數77轉化為〃“+2=&,用+?“的形式，再用特征根方法求%；④a“=J+c2pl

(公式法)，C]?2勺,〃2確定.

①轉化等差，等比：a+x=P(a+x)=>￡z=Pa+Px-x=>x=—^—.

n+inw+1nP~i

②選代法：a〃=&〃_1+，?=P(Pa〃_2+r)+r=…=?尸(^i+-r—r)^，?-1一~T--=(a+x)Pn~x-x

r—ir—Ix

2

=P"~'al+P"~-r+---+Pr+r.

③用特征方程求解：J""+']相減,=a.+|-a"=尸尸a"_|=>a“+|=(P+l)an-Pan_x.

a?=P(in-i+r\

④由選代法推導結果：，產」一，C2=%+」一，a.aP'T+c產(/+二一)P'-'^-.

\—pp—\p—\+1—p

6.幾種常見的數列的思想方法：

⑴等差數列的前”項和為S.，在4Y0時，有最大值.如何確定使S“取最大值

時的“值，有兩種方法：

一是求使%20,冊+1Y(),成立的〃值；二是由5“=12+(/_多〃利用二次函數的

性質求〃的值.

⑵假如數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積,求此數

列前〃項和可依照等比數列前"項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是

原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差4,么的最小公倍數.

2.推斷和證明數列是等差(等比)數列常有三種方法：(1)定義法:對于n

22的隨意自然數，驗證為為同一常數。⑵通項公式法。⑶中項

e

公式法：驗證2??+|=a?+*=。/"+2)〃N都成立。

3.在等差數列｛6｝中，有關Sn的最值問題：(1)當%>0,d<0時，滿意

的項數m使得取最大值.(2)當?,<0,d>0時,滿意卜-1的項數m使得

取最小值。在解含確定值的數列最值問題時，留意轉化思想的應用。

(三)、數列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。

2.裂項相消法:適用于［上一］其中｛明｝是各項不為0的等差數列，c

為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。

3.錯位相減法:適用于匕仇｝其中｛%｝是等差數列，'｝是各項不為0

的等比數列。

4.倒序相加法：類似于等差數列前n項和公式的推導方法.

5.常用結論

1):1+2+3+...+n=幽土D

2

2)1+3+5+...+(2n-l)=n2

1［2

3)l3+23+---+W3=-n(n+1)

4)I2+22+32+---+n2=-/?(n+l)(2rt+l)

6

5)=L)

/i(/i4-1)nn+\〃(〃+2)2nn+2

6)—=--—(-----)(〃<。)

pqq-ppq

中學數學第四章-三角函數

考試內容：

角的概念的推廣.弧度制.

隨意角的三角函數.單位圓中的三角函數線.同角三角函數的基本關系式.

正弦、余弦的誘導公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數、余弦函數的圖像和性質.周期函數.函數y=Asin（3x+6）的圖

像.正切函數的圖像和性質.已知三角函數值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

（1）理解隨意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算.

（2）駕馭隨意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定

義；駕馭同角三角函數的基本關系式；駕馭正弦、余弦的誘導公式；了解周

期函數與最小正周期的意義.

（3）駕馭兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；駕馭二倍角的正弦、

余弦、正切公式.

（4）能正確運用三角公式，進行簡潔三角函數式的化簡、求值和恒等式證

明.

（5）理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”

畫正弦函數、余弦函數和函數丫=人$5（0^+6）的簡圖，理解A.3、6的物

理意義.

（6）會由已知三角函數值求角,并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx

表示.

（7）駕馭正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

（8）“同角三角函數基本關系式:sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tan

a?cosa=]”.

§04.三角函數學問要點

1.①與a(0°^a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角〃的終邊重合):

▲

如分=%x36(r+a,%ez}32

sinxsinx

②終邊在X軸上的角的集合：弧尸=&><180。/ez}二，

③終邊在y軸上的角的集合：如夕=4x180。+90Fez}“：":

sinxsinx

④終邊在坐標軸上的角的集合：{四夕=Ax9(T,kez}2

S1MCQS三角函數值大小關系圖

⑤終邊在片X軸上的角的集合：物|￡="180。+45。,丘z1高艮二釐嬴三'

⑥終邊在y=-x軸上的角的集合：物|/?=Axl8(T-45、*ez}

⑦若角a與角〃的終邊關于X軸對稱，則角a與角/?的關系：a=360”-〃

⑧若角a與角/的終邊關于了軸對稱，則角a與角尸的關系：a=360"+180。--

⑨若角a與角〃的終邊在一條直線上，則角a與角1的關系：a=180%+〃

⑩角a與角4的終邊相互垂直，則角a與角〃的關系：a=360Z+夕±90。

2.角度與弧度的互換關系：360°=2n180°=n1°=0.01745

1=57.30°=57°18’

留意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=i8o°?^57.30°=57°18'.1°=三

n180

^0.01745(rad)

3、弧長公式：/=|々".扇形面積公式：s扇形='=刎"2

4、三角函數：設a是一個隨意角，在a的終邊

(異于原點的)一點P(x,y)P與原點的距離

.y?

sina=—'cosa=-x?'*tana=—y?，cota=—x?,

rrXy

r

csca=-,

y

5、三角函數在各象限的符號：(一全二正弦，三切四余弦)

6、三角函數線16.幾個重要結論:

正弦線：MP;余弦線:正切

線：AT.

7.三角函數的定義域：

三角函數定義域

{x|xeR}

f(x)=sinx

{x\xeR}

f(x)=COSX

/(x)=tanx|xGRSJC^攵乃+ez1

cosa

8、同角二角函數的基本關系式：sina_tana_co(atanacota=l

cosasina

sin2a+cos2a=1

9、誘導公式：

把竺士通三角函數化為頒三角函數，概括為："奇變偶不變，符號看象限

2

三角函數的公式：（一）基本關系

（二）角與角之間的互換

cos(a+4)=cosacos/?-sinasinpsin2a=2sincrcosa

cos(a—(3)=cosacos夕+sinasinpcos2a=cos2a-sin2a-2cos2a—\-1-2sin2a

2tana

sin(a+/?)=sinacosP+cosasinPtanla=

1-tan2a

?a1-cosa

sin(a一夕)=sinacosJ3-cosasinJ3sin—=±.

22

,c、tana+tan

tan(a+0=----------------

1-tanatanp

-、tana-tanBa,ll-cosasina_l-cosa

tanz0.0)=--------tan—=±J--------

I+tanatanB2v1+cosa1+coscrsina

疝5875、sin7-=學，.5=375-,535=2+6

10.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質:

/y=Asin(5+0)

y=sinxy=cosxy=tanx

(A、^>0)

^x\x&R^x^kn-￥^n,kez|

定義域RRR

[-U+1][T+l]

值域R[-A,A\

27r27r24

周期性CD

奇偶性奇偶函奇函數當(p*0,非奇非

函數數偶

當°=0,奇函數

[(2&-1卜,.[--+k7t,-+kA

[--+2kI22)…幾

2兀2knJ"2k;r---(P

------CO=—(Q,

y+2^]上為增上為增函數

2k冗+」乃一*

上為函數(keZ)_------C-D-----(-A)」

[2S

單調性增函上為增函數；

(24+1卜]

數；上為減2k兀T------(p

----CO2-⑷，

2k23

弓+乃函數2K7T+—7T-<p

------1-----(-A)

3兀_._coJ

—+2%九

2)(k&Z)

上為減函數

上為

(keZ)

減函

數

(

kwZ)

留意:①用二-sinx與y=sinx的單調性正好相反;y=—cosx與y=cosx的單調性也

同樣相反.一般地，若y=/（x）在m,切上遞增（減），則y=-/（X）在［a,句上遞減（增）.

②尸忖叫與好|cosM的周期是*

③丫=$2（5+°）或y=cos（f?r+⑼（（y^0）的周期T=g.

同

y=tai的周期為2乃（7=±=7=2小如圖，翻折無效）.

,2M

@y=sin（3v+夕）的對稱軸方程是x=br+］（4eZ）,對稱中心（左乃,0）；y=cos（<uv+9）

的對稱軸方程是（keZ）,對稱中心Q+Uo）；y=tan&r+g）的對稱中

心（絲0）.

2

y=cos2x-對稱>y=-cos（-2x）=-cos2x

⑤當tana?tan/?=1,a+^=^+—（A:eZ）;tana*tanP=-\,a-P=k7r+—（kE.Z）.

⑥y=8sx與y=sin（x+/+2k開）是同一函數，而y=（3?+3）是偶函數，則

y=（cox+（p）=sin（6ir+44+；乃）=±cos（tziv）,

⑦函數y=tanx在R上為增函數.（X）［只能在某個單調區(qū)間單調遞增.若

在整個定義域，y=tanx為增函數，同樣也是錯誤的］.

⑧定義域關于原點對稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩

個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿意奇偶性條件，偶

函數：f（-x）=