高中數(shù)學必修五單元測試題全套帶答案

./章末綜合測評<第一章><時間120分鐘,滿分150分>一、選擇題<本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的>1．在△ABC中,若AB＝eq\r<13>,BC＝3,∠C＝120°,則AC＝<>A．1 B．2C．3 D．4[解析]由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC即13＝9＋AC2－2×3AC×<－eq\f<1,2>>,解得AC＝1或AC＝－4<舍去>[答案]A2．在△ABC中,B＝eq\f<π,4>,AB＝eq\r<2>,BC＝3,則sinA＝<>A.eq\f<\r<10>,10> B.eq\f<\r<10>,5>C.eq\f<3\r<10>,10> D.eq\f<\r<5>,5>[解析]在△ABC中,由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cosB＝<eq\r<2>>2＋32－2×eq\r<2>×3×eq\f<\r<2>,2>＝5,解得AC＝eq\r<5>.再由正弦定理得sinA＝eq\f<BC·sinB,AC>＝eq\f<3×\f<\r<2>,2>,\r<5>>＝eq\f<3\r<10>,10>.故選C.[答案]C3．已知銳角三角形的三邊長分別為1,3,a,那么a的取值圍為<>A．<8,10> B．<2eq\r<2>,eq\r<10>>C．<2eq\r<2>,10> D．<eq\r<10>,8>[解析]設(shè)1,3,a所對的角分別為C,B,A,由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cosA<12＋32＝10,32＝1＋a2－2×acosB<1＋a2,∴2eq\r<2><a<eq\r<10>.[答案]B4．已知圓的半徑為4,a,b,c為該圓的接三角形的三邊,若abc＝16eq\r<2>,則三角形的面積為<>A．2eq\r<2> B．8eq\r<2>C.eq\r<2> D.eq\f<\r<2>,2>[解析]∵eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>＝eq\f<c,sinC>＝2R＝8,∴sinC＝eq\f<c,8>,∴S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<abc,16>＝eq\f<16\r<2>,16>＝eq\r<2>.[答案]C5．△ABC的三角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,設(shè)向量p＝<a＋c,b>,q＝<b－a,c－a>,若p∥q,則角C的大小為<>A.eq\f<π,6> B.eq\f<π,3>C.eq\f<π,2> D.eq\f<2π,3>[解析]p∥q?<a＋c><c－a>－b<b－a>＝0,即c2－a2－b2＋ab＝0?eq\f<a2＋b2－c2,2ab>＝eq\f<1,2>＝cosC,∴C＝eq\f<π,3>.[答案]B6．在△ABC中,若sinBsinC＝cos2eq\f<A,2>,則下面等式一定成立的是<>A．A＝B B．A＝CC．B＝C D．A＝B＝C[解析]由sinBsinC＝cos2eq\f<A,2>＝eq\f<1＋cosA,2>?2sinBsinC＝1＋cosA?cos<B－C>－cos<B＋C>＝1＋cosA.又cos<B＋C>＝－cosA?cos<B－C>＝1,∴B－C＝0,即B＝C.[答案]C7．一角槽的橫斷面如圖1所示,四邊形ADEB是矩形,且α＝50°,β＝70°,AC＝90mm,BC＝150mm,則DE的長等于<>圖1A．210mm B．200mmC．198mm D．171mm[解析]∠ACB＝70°＋50°＝120°,AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×cos120°＝44100,AB＝210,即DE＝210mm.[答案]A8．在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c2＝<a－b>2＋6,C＝eq\f<π,3>,則△ABC的面積是<>A．3 B.eq\f<9\r<3>,2>C.eq\f<3\r<3>,2> D．3eq\r<3>[解析]∵c2＝<a－b>2＋6,∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f<π,3>,∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f<π,3>＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0,即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>×6×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<3\r<3>,2>.[答案]C9．已知在△ABC中,sinA＋sinB＝sinC<cosA＋cosB>,則△ABC的形狀是<>A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形[解析]由正弦定理和余弦定理得a＋b＝ceq\f<b2＋c2－a2,2bc>＋eq\f<a2＋c2－b2,2ac>,即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3,∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2,∴<a＋b><a2＋b2>＝<a＋b>c2,∴a2＋b2＝c2,∴△ABC為直角三角形,故選D.[答案]D10．在△ABC中,sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C,則A＝<>A．30° B．60°C．120° D．150°[解析]由已知得a2＝b2＋bc＋c2,∴b2＋c2－a2＝－bc,∴cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>＝－eq\f<1,2>,又0°<A<180°,∴A＝120°.[答案]C11．在△ABC中,A∶B＝1∶2,∠ACB的平分線CD把△ABC的面積分成3∶2兩部分,則cosA等于<>A.eq\f<1,3> B.eq\f<1,2>C.eq\f<3,4> D．0[解析]∵CD為∠ACB的平分線,∴D到AC與D到BC的距離相等,∴△ACD中AC邊上的高與△BCD中BC邊上的高相等．∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2,∴eq\f<AC,BC>＝eq\f<3,2>.由正弦定理eq\f<sinB,sinA>＝eq\f<3,2>,又∵B＝2A,∴eq\f<sin2A,sinA>＝eq\f<3,2>,即eq\f<2sinAcosA,sinA>＝eq\f<3,2>,∴cosA＝eq\f<3,4>.[答案]C12.如圖2,在坡度一定的山坡A處測得山頂上筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進100米到達B后,又測得C對于山坡的斜度為45°,若CD＝50米,山坡對于地平面的坡角為θ,則cosθ＝<>圖2A．2eq\r<3>＋1 B．2eq\r<3>－1C.eq\r<3>－1 D.eq\r<3>＋1[解析]在△ABC中,BC＝eq\f<ABsin∠BAC,sin∠ACB>＝eq\f<100sin15°,sin45°－15°>＝50<eq\r<6>－eq\r<2>>,在△BCD中,sin∠BDC＝eq\f<BCsin∠CBD,CD>＝eq\f<50\r<6>－\r<2>sin45°,50>＝eq\r<3>－1,又∵cosθ＝sin∠BDC,∴cosθ＝eq\r<3>－1.[答案]C二、填空題<本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上>13．已知△ABC為鈍角三角形,且C為鈍角,則a2＋b2與c2的大小關(guān)系為________.[解析]∵cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>,且C為鈍角,∴cosC<0,∴a2＋b2－c2<0,故a2＋b2<c2.[答案]a2＋b2<c214．設(shè)△ABC的角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB,則角C＝________.[解析]由3sinA＝5sinB,得3a＝5b.又因為b＋c＝2a,所以a＝eq\f<5,3>b,c＝eq\f<7,3>b,所以cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>＝eq\f<\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,3>b>>2＋b2－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7,3>b>>2,2×\f<5,3>b×b>＝－eq\f<1,2>.因為C∈<0,π>,所以C＝eq\f<2π,3>.[答案]eq\f<2π,3>15．在銳角△ABC中,BC＝1,B＝2A,則eq\f<AC,cosA>的值等于________,AC的取值圍為________．[解析]設(shè)A＝θ?B＝2θ.由正弦定理得eq\f<AC,sin2θ>＝eq\f<BC,sinθ>,∴eq\f<AC,2cosθ>＝1?eq\f<AC,cosθ>＝2.由銳角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°,故30°<θ<45°?eq\f<\r<2>,2><cosθ<eq\f<\r<3>,2>,∴AC＝2cosθ∈<eq\r<2>,eq\r<3>>．[答案]2<eq\r<2>,eq\r<3>>16．如圖3,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°,C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m,則山高MN＝________m.圖3[解析]根據(jù)圖示,AC＝100eq\r<2>m.在△MAC中,∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f<AC,sin45°>＝eq\f<AM,sin60°>?AM＝100eq\r<3>m.在△AMN中,eq\f<MN,AM>＝sin60°,∴MN＝100eq\r<3>×eq\f<\r<3>,2>＝150<m>．[答案]150三、解答題<本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟>17．<本小題滿分10分>△ABC的三個角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB＋bcos2A＝eq\r<2>a.<1>求eq\f<b,a>；<2>若c2＝b2＋eq\r<3>a2,求B.[解]<1>由正弦定理得,sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r<2>sinA,即sinB<sin2A＋cos2A>＝eq\r<2>sinA.故sinB＝eq\r<2>sinA,所以eq\f<b,a>＝eq\r<2>.<2>由余弦定理和c2＝b2＋eq\r<3>a2,得cosB＝eq\f<1＋\r<3>a,2c>.由<1>知b2＝2a2,故c2＝<2＋eq\r<3>>a2.可得cos2B＝eq\f<1,2>,又cosB>0,故cosB＝eq\f<\r<2>,2>,所以B＝45°.18．<本小題滿分12分>已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a＝2,cosB＝eq\f<3,5>.<1>若b＝4,求sinA的值；<2>若△ABC的面積S△ABC＝4,求b,c的值．[解]<1>∵cosB＝eq\f<3,5>>0,且0<B<π,∴sinB＝eq\r<1－cos2B>＝eq\f<4,5>.由正弦定理得eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>,sinA＝eq\f<asinB,b>＝eq\f<2×\f<4,5>,4>＝eq\f<2,5>.<2>∵S△ABC＝eq\f<1,2>acsinB＝4,∴eq\f<1,2>×2×c×eq\f<4,5>＝4,∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×eq\f<3,5>＝17,∴b＝eq\r<17>.19．<本小題滿分12分>在△ABC中,∠A＝eq\f<3π,4>,AB＝6,AC＝3eq\r<2>,點D在BC邊上,AD＝BD,求AD的長．[解]設(shè)△ABC的角∠BAC,B,C所對邊的長分別是a,b,c,由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝<3eq\r<2>>2＋62－2×3eq\r<2>×6×coseq\f<3π,4>＝18＋36－<－36>＝90,所以a＝3eq\r<10>.又由正弦定理得sinB＝eq\f<bsin∠BAC,a>＝eq\f<3,3\r<10>>＝eq\f<\r<10>,10>,由題設(shè)知0<B<eq\f<π,4>,所以cosB＝eq\r<1－sin2B>＝eq\r<1－\f<1,10>>＝eq\f<3\r<10>,10>.在△ABD中,因為AD＝BD,所以∠ABD＝∠BAD,所以∠ADB＝π－2B,故由正弦定理得AD＝eq\f<AB·sinB,sinπ－2B>＝eq\f<6sinB,2sinBcosB>＝eq\f<3,cosB>＝eq\r<10>.20．<本小題滿分12分>某觀測站在城A南偏西20°方向的C處,由城A出發(fā)的一條公路,走向是南偏東40°,在C處測得公路距C處31千米的B處有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到達D處,此時C、D間的距離為21千米,問這人還要走多少千米可到達城A?[解]如圖所示,設(shè)∠ACD＝α,∠CDB＝β.在△CBD中,由余弦定理得cosβ＝eq\f<BD2＋CD2－CB2,2BD·CD>＝eq\f<202＋212－312,2×20×21>＝－eq\f<1,7>,∴sinβ＝eq\f<4\r<3>,7>.而sinα＝sin<β－60°>＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝eq\f<4\r<3>,7>×eq\f<1,2>＋eq\f<\r<3>,2>×eq\f<1,7>＝eq\f<5\r<3>,14>.在△ACD中,eq\f<21,sin60°>＝eq\f<AD,sinα>,∴AD＝eq\f<21×sinα,sin60°>＝15<千米>．所以這人還要再走15千米可到達城A.21．<本小題滿分12分>在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cos2C＋2eq\r<2>cosC＋2＝0.<1>求角C的大??；<2>若b＝eq\r<2>a,△ABC的面積為eq\f<\r<2>,2>sinAsinB,求sinA及c的值.[解]<1>∵cos2C＋2eq\r<2>cosC＋2＝0,∴2cos2C＋2eq\r<2>cosC＋1＝0,即<eq\r<2>cosC＋1>2＝0,∴cosC＝－eq\f<\r<2>,2>.又C∈<0,π>,∴C＝eq\f<3π,4>.<2>∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2,∴c＝eq\r<5>a,即sinC＝eq\r<5>sinA,∴sinA＝eq\f<1,\r<5>>sinC＝eq\f<\r<10>,10>.∵S△ABC＝eq\f<1,2>absinC,且S△ABC＝eq\f<\r<2>,2>sinAsinB,∴eq\f<1,2>absinC＝eq\f<\r<2>,2>sinAsinB,∴eq\f<ab,sinAsinB>sinC＝eq\r<2>,由正弦定理得eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<c,sinC>>>2sinC＝eq\r<2>,解得c＝1.22．<本小題滿分12分>已知函數(shù)f<x>＝msinx＋eq\r<2>cosx<m>0>的最大值為2.<1>求函數(shù)f<x>在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；<2>若△ABC中,feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<A－\f<π,4>>>＋feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<B－\f<π,4>>>＝4eq\r<6>sinAsinB,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且C＝60°,c＝3,求△ABC的面積．[解]<1>由題意,f<x>的最大值為eq\r<m2＋2>,所以eq\r<m2＋2>＝2.又m>0,所以m＝eq\r<2>,f<x>＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<π,4>>>.令2kπ＋eq\f<π,2>≤x＋eq\f<π,4>≤2kπ＋eq\f<3π,2><k∈Z>,得2kπ＋eq\f<π,4>≤x≤2kπ＋eq\f<5π,4><k∈Z>．所以f<x>在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,4>,π>>.<2>設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由題意,得2R＝eq\f<c,sinC>＝eq\f<3,sin60°>＝2eq\r<3>.化簡feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<A－\f<π,4>>>＋feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<B－\f<π,4>>>＝4eq\r<6>sinAsinB,得sinA＋sinB＝2eq\r<6>sinAsinB.由正弦定理,得2R<a＋b>＝2eq\r<6>ab,a＋b＝eq\r<2>ab.①由余弦定理,得a2＋b2－ab＝9,即<a＋b>2－3ab－9＝0.②將①式代入②,得2<ab>2－3ab－9＝0,解得ab＝3或ab＝－eq\f<3,2><舍去>,故S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<3\r<3>,4>.章末綜合測評<第二章><時間120分鐘,滿分150分>一、選擇題<本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的>1．下列四個數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是<>A．1,eq\f<1,2>,eq\f<1,3>,eq\f<1,4>,…B．－1,2,－3,4,…C．－1,－eq\f<1,2>,－eq\f<1,4>,－eq\f<1,8>,…D．1,eq\r<2>,eq\r<3>,…,eq\r<n>[解析]A為遞減數(shù)列,B為擺動數(shù)列,D為有窮數(shù)列．[答案]C2．已知數(shù)列{an}是首項a1＝4,公比q≠1的等比數(shù)列,且4a1,a5,－2a3成等差數(shù)列,則公比q等于<>A.eq\f<1,2>B．－1C．－2D．2[解析]由已知,2a5＝4a1－2a3,即2a1q4＝4a1－2a1q2,所以q4＋q2－2＝0,解得q2＝1,因為q≠1,所以q＝－1.[答案]B3．某種細胞開始有2個,1小時后分裂成4個并死去1個,2小時后分裂成6個并死去1個,3小時后分裂成10個并死去1個,…,按此規(guī)律進行下去,6小時后細胞存活的個數(shù)是<>A．33個 B．65個C．66個 D．129個[解析]設(shè)開始的細胞數(shù)和每小時后的細胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}．則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a1＝2,,an＋1＝2an－1,>>即eq\f<an＋1－1,an－1>＝2,∴an－1＝1·2n－1,an＝2n－1＋1,a7＝65.[答案]B4．等比數(shù)列{an}的通項為an＝2·3n－1,現(xiàn)把每相鄰兩項之間都插入兩個數(shù),構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn},那么162是新數(shù)列{bn}的<>A．第5項 B．第12項C．第13項 D．第6項[解析]162是數(shù)列{an}的第5項,則它是新數(shù)列{bn}的第5＋<5－1>×2＝13項．[答案]C5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1<a≠0>,則{an}<>A．一定是等差數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列D．既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列[解析]∵Sn＝an－1<a≠0>,∴an＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<S1,n＝1,,Sn－Sn－1,n≥2,>>即an＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a－1,n＝1,,a－1an－1,n≥2,>>當a＝1時,an＝0,數(shù)列{an}是一個常數(shù)列,也是等差數(shù)列；當a≠1時,數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．[答案]C6．等差數(shù)列{an}的公差不為零,首項a1＝1,a2是a1和a5的等比中項,則數(shù)列的前10項之和是<>A．90 B．100C．145 D．190[解析]設(shè)公差為d,∴<1＋d>2＝1×<1＋4d>,∵d≠0,∴d＝2,從而S10＝100.[答案]B7．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2＝4,S4＝20,則該數(shù)列的公差d＝<>A．2 B．3C．6 D．7[解析]S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16,∴a3＋a4－S2＝<a3－a1>＋<a4－a2>＝4d＝16－4＝12,∴d＝3.[答案]B8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5,anan＋1＝2n,則eq\f<a7,a3>＝<>A．2 B．4C．5 D.eq\f<5,2>[解析]依題意得eq\f<an＋1an＋2,anan＋1>＝eq\f<2n＋1,2n>＝2,即eq\f<an＋2,an>＝2,數(shù)列a1,a3,a5,a7,…是一個以5為首項,2為公比的等比數(shù)列,因此eq\f<a7,a3>＝4.[答案]B9．在數(shù)列{an}中,a1＝2,2an＋1－2an＝1,則a101的值為<>A．49 B．50C．51 D．52[解析]∵2an＋1－2an＝1,∴an＋1－an＝eq\f<1,2>,∴數(shù)列{an}是首項a1＝2,公差d＝eq\f<1,2>的等差數(shù)列,∴a101＝2＋eq\f<1,2><101－1>＝52.[答案]D10．我們把1,3,6,10,15,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形,如圖1所示：圖1則第七個三角形數(shù)是<>A．27 B．28C．29 D．30[解析]法一：∵a1＝1,a2＝3,a3＝6,a4＝10,a5＝15,a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4－a3＝4,a5－a4＝5,∴a6－a5＝6,a6＝21,a7－a6＝7,a7＝28.法二：由圖可知第n個三角形數(shù)為eq\f<nn＋1,2>,∴a7＝eq\f<7×8,2>＝28.[答案]B11．數(shù)列{an}滿足遞推公式an＝3an－1＋3n－1<n≥2>,又a1＝5,則使得eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<\f<an＋λ,3n>>>為等差數(shù)列的實數(shù)λ＝<>A．2 B．5C．－eq\f<1,2> D.eq\f<1,2>[解析]a1＝5,a2＝23,a3＝95,令bn＝eq\f<an＋λ,3n>,則b1＝eq\f<5＋λ,3>,b2＝eq\f<23＋λ,9>,b3＝eq\f<95＋λ,27>,∵b1＋b3＝2b2,∴λ＝－eq\f<1,2>.[答案]C12．在等差數(shù)列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,則{an}的前n項和Sn中最大的負數(shù)為<>A．S17 B．S18C．S19 D．S20[解析]∵a10<0,a11>0,且a11>|a10|,∴a11＋a10>0.S20＝eq\f<20a1＋a20,2>＝10·<a11＋a10>>0.S19＝eq\f<19a1＋a19,2>＝eq\f<19,2>·2a10<0.[答案]C二、填空題<本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上>13．在等差數(shù)列{an}和{bn}中,a1＝25,b1＝75,a100＋b100＝100,則數(shù)列{an＋bn}的前100項的和為________．[解析]由已知得{an＋bn}為等差數(shù)列,故其前100項的和為S100＝eq\f<100[a1＋b1＋a100＋b100],2>＝50×<25＋75＋100>＝10000.[答案]1000014．數(shù)列{an}滿足a1＝1,an＝an－1＋n<n≥2>,則a5＝________.[解析]由an＝an－1＋n<n≥2>,得an－an－1＝n,則a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4－a3＝4,a5－a4＝5,把各式相加,得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14,∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.[答案]1515．首項為－24的等差數(shù)列從第10項起開始為正數(shù),則公差d的取值圍是________．[解析]設(shè)a1＝－24,公差為d,∴a10＝－24＋9d>0且a9＝－24＋8d≤0,∴eq\f<8,3><d≤3.[答案]eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<8,3>,3>>16．已知公差不為零的正項等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,lga1,lga2,lga4也成等差數(shù)列,若a5＝10,則S5＝________.[解析]設(shè){an}的公差為d,則d≠0.由lga1,lga2,lga4也成等差數(shù)列,得2lga2＝lga1＋lga4,∴aeq\o\al<2,2>＝a1a4,即<a1＋d>2＝a1<a1＋3d>,d2＝a1d.又d≠0,故d＝a1,a5＝5a1＝10,d＝a1＝2,S5＝5a1＋eq\f<5×4,2>×d＝30.[答案]30三、解答題<本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟>17．<本小題滿分10分>在等差數(shù)列{an}中,a1＋a3＝8,且a4為a2和a9的等比中項,求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和．[解]設(shè)該數(shù)列的公差為d,前n項和為Sn.由已知可得2a1＋2d＝8,<a1＋3d>2＝<a1＋d><a1＋8d>,所以a1＋d＝4,d<d－3a1>＝0,解得a1＝4,d＝0或a1＝1,d＝3,即數(shù)列{an}的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.所以數(shù)列的前n項和Sn＝4n或Sn＝eq\f<3n2－n,2>.18．<本小題滿分12分>設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝<n－1>Sn＋2n<n∈N*>．<1>求a2,a3的值；<2>求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列．[解]<1>∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝<n－1>·Sn＋2n<n∈N*>,∴當n＝1時,a1＝2×1＝2；當n＝2時,a1＋2a2＝<a1＋a2>＋4,∴a2＝4；當n＝3時,a1＋2a2＋3a3＝2<a1＋a2＋a3>＋6,∴a3＝8.<2>證明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝<n－1>Sn＋2n<n∈N*>,①∴當n≥2時,a1＋2a2＋3a3＋…＋<n－1>an－1＝<n－2>Sn－1＋2<n－1>,②①－②得nan＝<n－1>Sn－<n－2>Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2,∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0,即Sn＝2Sn－1＋2.∴Sn＋2＝2<Sn－1＋2>．∵S1＋2＝4≠0.∴Sn－1＋2≠0,∴eq\f<Sn＋2,Sn－1＋2>＝2.即{Sn＋2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列．19．<本小題滿分12分>已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10,a4－a3＝2.<1>求{an}的通項公式；<2>設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3,b3＝a7,問：b6與數(shù)列{an}的第幾項相等？[解]<1>設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a4－a3＝2,所以d＝2.又因為a1＋a2＝10,所以2a1＋d＝10,故a1＝4.所以an＝4＋2<n－1>＝2n＋2<n＝1,2,…>．<2>設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因為b2＝a3＝8,b3＝a7＝16,所以q＝2,b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63,所以b6與數(shù)列{an}的第63項相等．20．<本小題滿分12分>已知首項都是1的兩個數(shù)列{an},{bn}<bn≠0,n∈N*>,滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.<1>令cn＝eq\f<an,bn>,求數(shù)列{cn}的通項公式；<2>若bn＝3n－1,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.[解]<1>因為anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0,bn≠0<n∈N*>,所以eq\f<an＋1,bn＋1>－eq\f<an,bn>＝2,即cn＋1－cn＝2.所以數(shù)列{cn}是以首項c1＝1,公差d＝2的等差數(shù)列,故cn＝2n－1.<2>由bn＝3n－1知an＝cnbn＝<2n－1>3n－1,于是數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋<2n－1>×3n－1,3Sn＝1×31＋3×32＋…＋<2n－3>×3n－1＋<2n－1>×3n.相減得－2Sn＝1＋2×<31＋32＋…＋3n－1>－<2n－1>×3n＝－2－<2n－2>3n,所以Sn＝<n－1>3n＋1.21．<本小題滿分12分>設(shè)數(shù)列{an}<n＝1,2,3,…>的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1,且a1,a2＋1,a3成等差數(shù)列．<1>求數(shù)列{an}的通項公式；<2>記數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<\f<1,an>>>的前n項和為Tn,求使得|Tn－1|<eq\f<1,1000>成立的n的最小值．[解]<1>由已知Sn＝2an－a1,有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1<n≥2>,即an＝2an－1<n≥2>,所以q＝2.從而a2＝2a1,a3＝2a2＝4a1.又因為a1,a2＋1,a3成等差數(shù)列,即a1＋a3＝2<a2＋1>,所以a1＋4a1＝2<2a1＋1>,解得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列．故an＝2n.<2>由<1>得eq\f<1,an>＝eq\f<1,2n>,所以Tn＝eq\f<1,2>＋eq\f<1,22>＋…＋eq\f<1,2n>＝eq\f<\f<1,2>\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>n>>,1－\f<1,2>>＝1－eq\f<1,2n>.由|Tn－1|<eq\f<1,1000>,得eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<1－\f<1,2n>－1>><eq\f<1,1000>,即2n>1000.因為29＝512<1000<1024＝210,所以n≥10.于是使|Tn－1|<eq\f<1,1000>成立的n的最小值為10.22．<本小題滿分12分>在等差數(shù)列{an}中,已知公差d＝2,a2是a1與a4的等比中項．<1>求數(shù)列{an}的通項公式；<2>設(shè)bn＝,記Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋<－1>nbn,求Tn.[解]<1>由題意知<a1＋d>2＝a1<a1＋3d>,即<a1＋2>2＝a1<a1＋6>,解得a1＝2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.<2>由題意知bn＝＝n<n＋1>,所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋<－1>nn·<n＋1>．因為bn＋1－bn＝2<n＋1>,可得當n為偶數(shù)時,Tn＝<－b1＋b2>＋<－b3＋b4>＋…＋<－bn－1＋bn>＝4＋8＋12＋…＋2n＝eq\f<\f<n,2>4＋2n,2>＝eq\f<nn＋2,2>,當n為奇數(shù)時,Tn＝Tn－1＋<－bn>＝eq\f<n－1n＋1,2>－n<n＋1>＝－eq\f<n＋12,2>.所以Tn＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－\f<n＋12,2>,n為奇數(shù),,\f<nn＋2,2>,n為偶數(shù).>>章末綜合測評<第三章><時間120分鐘,滿分150分>一、選擇題<本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的>1．對于任意實數(shù)a,b,c,d,下列四個命題中：①若a>b,c≠0,則ac>bc；②若a>b,則ac2>bc2；③若ac2>bc2,則a>b；④若a>b>0,c>d,則ac>bd.其中真命題的個數(shù)是<>A．1 B．2C．3 D．4[解析]若a>b,c<0時,ac<bc,①錯；②中,若c＝0,則有ac2＝bc2,②錯；③正確；④中,只有c>d>0時,ac>bd,④錯,故選A.[答案]A2．直線3x＋2y＋5＝0把平面分成兩個區(qū)域．下列各點與原點位于同一區(qū)域的是<>A．<－3,4> B．<－3,－4>C．<0,－3> D．<－3,2>[解析]當x＝y(tǒng)＝0時,3x＋2y＋5＝5>0,則原點一側(cè)對應的不等式是3x＋2y＋5>0,可以驗證僅有點<－3,4>滿足3x＋2y＋5>0.[答案]A3．設(shè)A＝eq\f<b,a>＋eq\f<a,b>,其中a,b是正實數(shù),且a≠b,B＝－x2＋4x－2,則A與B的大小關(guān)系是<>A．A≥B B．A>BC．A<B D．A≤B[解析]∵a,b都是正實數(shù),且a≠b,∴A＝eq\f<b,a>＋eq\f<a,b>>2eq\r<\f<b,a>·\f<a,b>>＝2,即A>2,B＝－x2＋4x－2＝－<x2－4x＋4>＋2＝－<x－2>2＋2≤2,即B≤2,∴A>B.[答案]B4．已知0＜a＜b＜1,則下列不等式成立的是<>A．a(chǎn)3＞b3 B.eq\f<1,a>＜eq\f<1,b>C．a(chǎn)b＞1 D．lg<b－a>＜0[解析]由0＜a＜b＜1,可得a3＜b3,A錯誤；eq\f<1,a>＞eq\f<1,b>,B錯誤；ab＜1,C錯誤；0＜b－a＜1,lg<b－a>＜0,D正確．[答案]D5．在R上定義運算☆：a☆b＝ab＋2a＋b,則滿足x☆<x－2><0的實數(shù)x的取值圍為<>A．<0,2>B．<－2,1>C．<－∞,－2>∪<1,＋∞>D．<－1,2>[解析]根據(jù)定義得,x☆<x－2>＝x<x－2>＋2x＋<x－2>＝x2＋x－2<0,解得－2<x<1,所以所求的實數(shù)x的取值圍為<－2,1>．[答案]B6．已知0<x<y<a<1,則有<>A．loga<xy><0B．0<loga<xy><1C．1<loga<xy><2D．loga<xy>>2[解析]0<x<y<a<1,即0<x<a,0<y<a,0<xy<a2.又0<a<1,f<x>＝logax是減函數(shù),loga<xy>>logaa2＝2,即loga<xy>>2.[答案]D7．不等式2≤eq\f<1,2>的解集為<>A．<－∞,－3] B．<－3,1]C．[－3,1] D．[1,＋∞>∪<－∞,－3][解析]由已知得2≤2－1,所以x2＋2x－4≤－1,即x2＋2x－3≤0,解得－3≤x≤1.[答案]C8．x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y－2≤0,,x－2y－2≤0,,2x－y＋2≥0.>>若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為<>A.eq\f<1,2>或－1 B．2或eq\f<1,2>C．2或1 D．2或－1[解析]如圖,由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距,故當a>0時,要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a＝2；當a<0時,要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a＝－1.[答案]D9．已知正實數(shù)a,b滿足4a＋b＝30,當eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>取最小值時,實數(shù)對<a,b>是<>A．<5,10> B．<6,6>C．<10,5> D．<7,2>[解析]eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,a>＋\f<1,b>>>·eq\f<1,30>·30＝eq\f<1,30>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,a>＋\f<1,b>>><4a＋b>＝eq\f<1,30>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<5＋\f<b,a>＋\f<4a,b>>>≥eq\f<1,30>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<5＋2\r<\f<b,a>·\f<4a,b>>>>＝eq\f<3,10>.當且僅當eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<b,a>＝\f<4a,b>,,4a＋b＝30,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝5,,b＝10>>時取等號．[答案]A10．在如圖1所示的可行域<陰影部分且包括邊界>,目標函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個,則a的一個可能值是<>圖1A．－3B．3C．－1D．1[解析]若最優(yōu)解有無數(shù)個,則y＝－eq\f<1,a>x＋eq\f<z,a>與其中一條邊平行,而三邊的斜率分別為eq\f<1,3>,－1,0,與－eq\f<1,a>對照可知a＝－3或1,又因z＝x＋ay取得最小值,則a＝－3.[答案]A11．某公司租地建倉庫,每月土地費用與倉庫到車站距離成反比,而每月貨物的運輸費用與倉庫到車站距離成正比．如果在距離車站10km處建倉庫,則土地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元,那么要使兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站<>A．5km處 B．4km處C．3km處 D．2km處[解析]設(shè)車站到倉庫距離為x,土地費用為y1,運輸費用為y2,由題意得y1＝eq\f<k1,x>,y2＝k2x,∵x＝10時,y1＝2,y2＝8,∴k1＝20,k2＝eq\f<4,5>,∴費用之和為y＝y(tǒng)1＋y2＝eq\f<20,x>＋eq\f<4,5>x≥2eq\r<\f<20,x>×\f<4,5>x>＝8,當且僅當eq\f<20,x>＝eq\f<4x,5>,即x＝5時取等號．[答案]A12．設(shè)D是不等式組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋2y≤10,,2x＋y≥3,,0≤x≤4,,y≥1>>表示的平面區(qū)域,則D中的點P<x,y>到直線x＋y＝10的距離的最大值是<>A.eq\r<2> B．2eq\r<2>C．3eq\r<2> D．4eq\r<2>[解析]畫出可行域,由圖知最優(yōu)解為A<1,1>,故A到x＋y＝10的距離為d＝4eq\r<2>.[答案]D二、填空題<本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上>13．函數(shù)y＝2－x－eq\f<4,x><x>0>的值域為________．[解析]當x>0時,y＝2－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<4,x>>>≤2－2eq\r<x×\f<4,x>>＝－2.當且僅當x＝eq\f<4,x>,即x＝2時取等號．[答案]<－∞,－2]14．規(guī)定記號"⊙"表示一種運算,定義a⊙b＝eq\r<ab>＋a＋b<a,b為正實數(shù)>,若1⊙k<3,則k的取值圍為________．[解析]由題意得eq\r<k>＋1＋k<3,即<eq\r<k>＋2>·<eq\r<k>－1><0,且k>0,因此k的取值圍是<0,1>．[答案]<0,1>15．若x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y－x≤1,,x＋y≤3,,y≥1,>>則z＝x＋3y的最大值為________．[解析]根據(jù)約束條件畫出可行域如圖所示,平移直線y＝－eq\f<1,3>x,當直線y＝－eq\f<1,3>x＋eq\f<z,3>過點A時,目標函數(shù)取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y－x＝1,,x＋y＝3,>>可得A<1,2>,代入可得z＝1＋3×2＝7.[答案]716．已知函數(shù)f<x>＝x2＋mx－1,若對于任意x∈[m,m＋1],都有f<x><0成立,則實數(shù)m的取值圍是________．[解析]要滿足f<x>＝x2＋mx－1<0對于任意x∈[m,m＋1]恒成立,只需eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<fm<0,,fm＋1<0,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2m2－1<0,,m＋12＋mm＋1－1<0,>>解得－eq\f<\r<2>,2><m<0.[答案]eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>,0>>三、解答題<本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟>17．<本小題滿分10分>已知函數(shù)f<x>＝x2＋eq\f<2,x>,解不等式f<x>－f<x－1>>2x－1.[解]由題意可得x2＋eq\f<2,x>－<x－1>2－eq\f<2,x－1>>2x－1,化簡得eq\f<2,xx－1><0,即x<x－1><0,解得0<x<1.所以原不等式的解集為{x|0<x<1}．18．<本小題滿分12分>設(shè)x∈R,比較eq\f<1,1＋x>與1－x的大?。甗解]作差：eq\f<1,1＋x>－<1－x>＝eq\f<x2,1＋x>,①當x＝0時,∵eq\f<x2,1＋x>＝0,∴eq\f<1,1＋x>＝1－x；②當1＋x<0,即x<－1時,∵eq\f<x2,1＋x><0,∴eq\f<1,1＋x><1－x；③當1＋x>0且x≠0,即－1<x<0或x>0時,∵eq\f<x2,1＋x>>0,∴eq\f<1,1＋x>>1－x.19．<本小題滿分12分>已知x,y,z∈R＋,且x＋y＋z＝1,求證：eq\f<1,x>＋eq\f<4,y>＋eq\f<9,z>≥36.[證明]∵<x＋y＋z>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>＋\f<4,y>＋\f<9,z>>>＝14＋eq\f<y,x>＋eq\f<4x,y>＋eq\f<z,x>＋eq\f<9x,z>＋eq\f<4z,y>＋eq\f<9y,z>≥14＋4＋6＋12＝36,∴eq\f<1,x>＋eq\f<4,y>＋eq\f<9,z>≥36.當且僅當x2＝eq\f<1,4>y2＝eq\f<1,9>z2,即x＝eq\f<1,6>,y＝eq\f<1,3>,z＝eq\f<1,2>時,等號成立．20．<本小題滿分12分>一個農(nóng)民有田2畝,根據(jù)他的經(jīng)驗,若種水稻,則每畝每期產(chǎn)量為400千克；若種花生,則每畝每期產(chǎn)量為100千克,但水稻成本較高,每畝每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可賣5元,稻米每千克只賣3元,現(xiàn)在他只能湊足400元,問這位農(nóng)民對兩種作物各種多少畝,才能得到最大利潤？[解]設(shè)水稻種x畝,花生種y畝,則由題意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y≤2,,240x＋80y≤400,,x≥0,,y≥0,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y≤2,,3x＋y≤5,,x≥0,y≥0,>>畫出可行域如圖陰影部分所示．而利潤P＝<3×400－240>x＋<5×100－80>y＝960x＋420y<目標函數(shù)>,可聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y＝2,,3x＋y＝5,>>得交點B<1.5,0.5>．故當x＝1.5,y＝0.5時,P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1650,即水稻種1.5畝,花生種0.5畝時所得到的利潤最大．21．<本小題滿分12分>已知函數(shù)f<x>＝eq\f<x2＋3,x－a><x≠a,a為非零常數(shù)>．<1>解不等式f<x><x；<2>設(shè)x>a時,f<x>有最小值為6,求a的值．[解]<1>f<x><x,即eq\f<x2＋3,x－a><x,整理得<ax＋3><x－a><0.當a>0時,eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<3,a>>><x－a><0,∴解集為eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<－\f<3,a><x<a>>>>；當a<0時,eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<3,a>>><x－a>>0,解集為eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－\f<3,a>或x<a>>>>.<2>設(shè)t＝x－a,則x＝t＋a<t>0>,∴f<x>＝eq\f<t2＋2at＋a2＋3,t>＝t＋eq\f<a2＋3,t>＋2a≥2eq\r<t·\f<a2＋3,t>>＋2a＝2eq\r<a2＋3>＋2a.當且僅當t＝eq\f<a2＋3,t>,即t＝eq\r<a2＋3>時,等號成立,即f<x>有最小值2eq\r<a2＋3>＋2a.依題意有2eq\r<a2＋3>＋2a＝6,解得a＝1.22．<本小題滿分12分>已知函數(shù)f<x>＝x2－2x－8,g<x>＝2x2－4x－16,<1>求不等式g<x><0的解集；<2>若對一切x>2,均有f<x>≥<m＋2>x－m－15成立,數(shù)m的取值圍.[解]<1>g<x>＝2x2－4x－16<0,∴<2x＋4><x－4><0,∴－2<x<4,∴不等式g<x><0的解集為{x|－2<x<4}．<2>∵f<x>＝x2－2x－8.當x>2時,f<x>≥<m＋2>x－m－15恒成立,∴x2－2x－8≥<m＋2>x－m－15,即x2－4x＋7≥m<x－1>．∵對一切x>2,均有不等式eq\f<x2－4x＋7,x－1>≥m成立,而eq\f<x2－4x＋7,x－1>＝<x－1>＋eq\f<4,x－1>－2≥2eq\r<x－1×\f<4,x－1>>－2＝2<當且僅當x＝3時等號成立>,∴實數(shù)m的取值圍是<－∞,2]．模塊綜合測評<一><時間120分鐘,滿分150分>一、選擇題<本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的>1．若a<1,b>1,那么下列命題中正確的是<>A.eq\f<1,a>>eq\f<1,b> B.eq\f<b,a>>1C．a(chǎn)2<b2 D．a(chǎn)b<a＋b[解析]利用特值法,令a＝－2,b＝2.則eq\f<1,a><eq\f<1,b>,A錯；eq\f<b,a><0,B錯；a2＝b2,C錯．[答案]D2．一個等差數(shù)列的第5項a5＝10,且a1＋a2＋a3＝3,則有<>A．a(chǎn)1＝－2,d＝3 B．a(chǎn)1＝2,d＝－3C．a(chǎn)1＝－3,d＝2 D．a(chǎn)1＝3,d＝－2[解析]∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3,∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10,d＝3,∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.[答案]A3．已知△ABC的三個角之比為A∶B∶C＝3∶2∶1,那么對應的三邊之比a∶b∶c等于<>A．3∶2∶1 B.eq\r<3>∶2∶1C.eq\r<3>∶eq\r<2>∶1 D．2∶eq\r<3>∶1[解析]∵A∶B∶C＝3∶2∶1,A＋B＋C＝180°,∴A＝90°,B＝60°,C＝30°,∴a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f<\r<3>,2>∶eq\f<1,2>＝2∶eq\r<3>∶1.[答案]D4．在坐標平面上,不等式組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥x－1,,y≤－3|x|＋1>>所表示的平面區(qū)域的面積為<>A.eq\r<2> B.eq\f<3,2>C.eq\f<3\r<2>,2> D．2[解析]由題意得,圖中陰影部分面積即為所求．B,C兩點橫坐標分別為－1,eq\f<1,2>.∴S△ABC＝eq\f<1,2>×2×eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<1,2>－－1>>＝eq\f<3,2>.[答案]B5．在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若A＝eq\f<π,3>,b＝1,△ABC的面積為eq\f<\r<3>,2>,則a的值為<>A．1 B．2C.eq\f<\r<3>,2> D.eq\r<3>[解析]根據(jù)S＝eq\f<1,2>bcsinA＝eq\f<\r<3>,2>,可得c＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3,故a＝eq\r<3>.[答案]D6．等差數(shù)列的第二,三,六項順次成等比數(shù)列,且該等差數(shù)列不是常數(shù)數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為<>A．3 B．4C．5 D．6[解析]設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,則a2＝a1＋d,a3＝a1＋2d,a6＝a1＋5d,又∵a2·a6＝aeq\o\al<2,3>,∴<a1＋2d>2＝<a1＋d><a1＋5d>,∴d＝－2a1,∴q＝eq\f<a3,a2>＝3.[答案]A7．若不等式x2＋ax＋1≥0對一切x∈eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>恒成立,則a的最小值為<>A．0 B．－2C．－eq\f<5,2> D．－3[解析]x2＋ax＋1≥0在x∈eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>上恒成立?ax≥－x2－1?a≥eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<1,x>>>>>max,∵x＋eq\f<1,x>≥eq\f<5,2>,∴－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<1,x>>>≤－eq\f<5,2>,∴a≥－eq\f<5,2>.[答案]C8．已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn,若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則<>A．a(chǎn)1d>0,dS4>0 B．a(chǎn)1d<0,dS4<0C．a(chǎn)1d>0,dS4<0 D．a(chǎn)1d<0,dS4>0[解析]∵a3,a4,a8成等比數(shù)列,∴aeq\o\al<2,4>＝a3a8,∴<a1＋3d>2＝<a1＋2d><a1＋7d>,展開整理,得－3a1d＝5d2,即a1d＝－eq\f<5,3>d2.∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn＝na1＋eq\f<nn－1,2>d,∴S4＝4a1＋6d,dS4＝4a1d＋6d2＝－eq\f<2,3>d2<0.[答案]B9．在數(shù)列{an}中,a1＝2,an＋1－2an＝0<n∈N*>,bn是an和an＋1的等差中項,設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,則S6＝<>A．189 B．186C．180 D．192[解析]由an＋1＝2an,知{an}為等比數(shù)列,∴an＝2n,∴2bn＝2n＋2n＋1,即bn＝3·2n－1,∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.[答案]A10．已知a,b,c∈R,a＋b＋c＝0,abc>0,T＝eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＋eq\f<1,c>,則<>A．T>0 B．T<0C．T＝0 D．T≥0[解析]法一：取特殊值,a＝2,b＝c＝－1,則T＝－eq\f<3,2><0,排除A,C,D,可知選B.法二：由a＋b＋c＝0,abc>0,知三數(shù)中一正兩負,不妨設(shè)a>0,b<0,c<0,則T＝eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＋eq\f<1,c>＝eq\f<ab＋bc＋ca,abc>＝eq\f<ab＋cb＋a,abc>＝eq\f<ab－c2,abc>.∵ab<0,－c2<0,abc>0,故T<0,應選B.[答案]B11．△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B＝2A,a＝1,b＝eq\r<3>,則c＝<>A．2eq\r<3> B．2C.eq\r<2> D．1[解析]由正弦定理得：eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>,∵B＝2A,a＝1,b＝eq\r<3>,∴eq\f<1,sinA>＝eq\f<\r<3>,2sinAcosA>.∵A為三角形的角,∴sinA≠0.∴cosA＝eq\f<\r<3>,2>.又0＜A＜π,∴A＝eq\f<π,6>,∴B＝2A＝eq\f<π,3>,∴C＝π－A－B＝eq\f<π,2>,∴△ABC為直角三角形．由勾股定理得c＝eq\r<12＋\r<3>2>＝2.[答案]B12．一個等比數(shù)列前三項的積為2,最后三項的積為4,且所有項的積為64,則該數(shù)列有<>A．13項 B．12項C．11項 D．10項[解析]設(shè)該數(shù)列的前三項分別為a1,a1q,a1q2,后三項分別為a1qn－3,a1qn－2,a1qn－1,所以前三項之積aeq\o\al<3,1>q3＝2,后三項之積aeq\o\al<3,1>q3n－6＝4,兩式相乘,得aeq\o\al<6,1>q3<n－1>＝8,即aeq\o\al<2,1>qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64,所以aeq\o\al<n,1>·q＝64,即<aeq\o\al<2,1>qn－1>n＝642,即2n＝642,所以n＝12.[答案]B二、填空題<本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上>13．在△ABC中,BC＝2,B＝eq\f<π,3>,當△ABC的面積等于eq\f<\r<3>,2>時,sinC＝________.[解析]由三角形的面積公式,得S＝eq\f<1,2>AB·BCsineq\f<π,3>＝eq\f<\r<3>,2>,易求得AB＝1,由余弦定理,得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·coseq\f<π,3>,得AC＝eq\r<3>,再由三角形的面積公式,得S＝eq\f<1,2>AC·BCsinC＝eq\f<\r<3>,2>,即可得出sinC＝eq\f<1,2>.[答案]eq\f<1,2>14．若變量x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y≤4,,x－y≤2,,3x－y≥0,>>則3x＋y的最大值是________．[解析]畫出可行域,如圖陰影部分所示,設(shè)z＝3x＋y,則y＝－3x＋z,平移直線y＝－3x知當直線y＝－3x＋z過點A時,z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y＝4,,x－y＝2,>>可得A<3,1>．故zmax＝3×3＋1＝10.[答案]1015．國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理,實行征收附加稅政策．現(xiàn)知某種酒每瓶70元,不加附加稅時,每年大約產(chǎn)銷100萬瓶,若政府征收附加稅,每銷售100元要征稅k元<叫做稅率k%>,則每年的產(chǎn)銷量將減少10k萬瓶．要使每年在此項經(jīng)營中所收取附加稅金不少于112萬元,則k的取值圍為________．[解析]設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶,則銷售收入每年70x萬元,從中征收的稅金為70x·k%萬元,其中x＝100－10k.由題意,得70<100－10k>k%≥112,整理得k2－10k＋16≤0,解得2≤k≤8.[答案][2,8]16．觀察下列等式：12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6,12－22＋32－42＝－10,…照此規(guī)律,第n個等式可為12－22＋32－…＋<－1>n－1n2＝________.[解析]分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況．第n個等式為12－22＋32－…＋<－1>n－1n2.當n為偶數(shù)時,分組求和：<12－22>＋<32－42>＋…＋[<n－1>2－n2]＝－<3＋7＋11＋15＋…＋2n－1>＝－eq\f<\f<n,2>×3＋2n－1,2>＝－eq\f<nn＋1,2>.當n為奇數(shù)時,第n個等式為<12－22>＋<32－42>＋…＋[<n－2>2－<n－1>2]＋n2＝－eq\f<nn－1,2>＋n2＝eq\f<nn＋1,2>.綜上,第n個等式為12－22＋32－…＋<－1>n－1n2＝<－1>n＋1eq\f<nn＋1,2>.[答案]<－1>n＋1eq\f<nn＋1,2>三、解答題<本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟>17．<本小題滿分10分>在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若m＝<a2＋c2－b2,－eq\r<3>a>,n＝<tanB,c>,且m⊥n,求B的值．[解]由m⊥n得<a2＋c2－b2>·tanB－eq\r<3>a·c＝0,即<a2＋c2－b2>tanB＝eq\r<3>ac,得a2＋c2－b2＝eq\f<\r<3>ac,tanB>,所以cosB＝eq\f<a2＋c2－b2,2ac>＝eq\f<\r<3>,2tanB>,即tanBcosB＝eq\f<\r<3>,2>,即sinB＝eq\f<\r<3>,2>,所以B＝eq\f<π,3>或B＝eq\f<2π,3>.18．<本小題滿分12分>在等差數(shù)列{an}中,S9＝－36,S13＝－104,在等比數(shù)列{bn}中,b5＝a5,b7＝a7,求b6.[解]∵S9＝－36＝9a5,∴a5＝－4,∵S13＝－104＝13a7,∴a7＝－8,∴beq\o\al<2,6>＝b5·b7＝a5·a7＝32,∴b6＝±4eq\r<2>.19．<本小題滿分12分>解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax<a∈R>.[解]原不等式可化為ax2＋<a－2>x－2≥0?<ax－2><x＋1>≥0.<1>當a＝0時,原不等式化為x＋1≤0?x≤－1；<2>當a>0時,原不等式化為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<2,a>>><x＋1>≥0?x≥eq\f<2,a>或x≤－1；<3>當a<0時,原不等式化為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<2,a>>><x＋1>≤0.①當eq\f<2,a>>－1,即a<－2時,原不等式等價于－1≤x≤eq\f<2,a>；②當eq\f<2,a>＝－1,即a＝－2時,原不等式等價于x＝－1；③當eq\f<2,a><－1,即－2<a<0時,原不等式等價于eq\f<2,a>≤x≤－1.綜上所述：當a<－2時,原不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－1,\f<2,a>>>；當a＝－2時,原不等式的解集為{－1}；當－2<a<0時,原不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<2,a>,－1>>；當a＝0時,原不等式的解集為<－∞,－1]；當a>0時,原不等式的解集為<－∞,－1]∪eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2,a>,＋∞>>.20．<本小題滿分12分>設(shè)△ABC的角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知a＝1,b＝2,cosC＝eq\f<1,4>.<1>求△ABC的周長；<2>求cosA的值．[解]<1>∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×eq\f<1,4>＝4,∴c＝2,∴△ABC的周長為a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.<2>∵cosC＝eq\f<1,4>,∴sinC＝eq\r<1－cos2C>＝eq\r<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,4>>>2>＝eq\f<\r<15>,4>,∴sinA＝eq\f<asinC,c>＝eq\f<\f<\r<15>,4>,2>＝eq\f<\r<15>,8>∵a<c,∴A<C,故A為銳角,∴cosA＝eq\r<1－sin2A>＝eq\r<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<15>,8>>>2>＝eq\f<7,8>.21．<本小題滿分12分>已知數(shù)列{an}滿足a1＝5,a2＝5,an＋1＝an＋6an－1<n≥2>．<1>求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；<2>求數(shù)列{an}的通項公式．[解]<1>證明：∵an＋1＝an＋6an－1<n≥2>,∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3<an＋2an－1><n≥2>．又a1＝5,a2＝5,∴a2＋2a1＝15,∴an＋2an－1≠0<n≥2>,∴eq\f<an＋1＋2an,an＋2an－1>＝3<n≥2>,∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項,3為公比的等比數(shù)列．<2>由<1>得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n,則an＋1＝－2an＋5×3n,∴an＋1－3n＋1＝－2<an－3n>．又∵a1－3＝2,∴an－3n≠0,∴{an－3n}是以2為首項,－2為公比的等比數(shù)列,∴an－3n＝2×<－2>n－1,即an＝2×<－2>n－1＋3n<n∈N*>．22．<本小題滿分12分>某廠用甲、乙兩種原料生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,制造1tA,1tB產(chǎn)品需要的各種原料數(shù)、可得到利潤以及工廠現(xiàn)有各種原料數(shù)如下表：原料每種產(chǎn)品所需原料<t>現(xiàn)有原料數(shù)<t>AB甲2114乙1318利潤<萬元/t>53—<1>在現(xiàn)有原料條件下,生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品各多少時,才能使利潤最大？<2>每噸B產(chǎn)品的利潤在什么圍變化時,原最優(yōu)解不變？當超出這個圍時,最優(yōu)解有何變化？[解]<1>設(shè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品分別為xt,yt,則利潤z＝5x＋3y,x,y滿足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x＋y≤14,,x＋3y≤18,,x≥0,,y≥0,>>作出可行域如圖：當直線5x＋3y＝z過點Beq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<24,5>,\f<22,5>>>時,z取最大值37eq\f<1,5>,即生產(chǎn)A產(chǎn)品eq\f<24,5>t,B產(chǎn)品eq\f<22,5>t時,可得最大利潤．<2>設(shè)每噸B產(chǎn)品利潤為m萬元,則目標函數(shù)是z＝5x＋my,直線斜率k＝－eq\f<5,m>,又kAB＝－2,kCB＝－eq\f<1,3>,要使最優(yōu)解仍為B點,則－2≤－eq\f<5,m>≤－eq\f<1,3>,解得eq\f<5,2>≤m≤15,則B產(chǎn)品的利潤在eq\f<5,2>萬元/t與15萬元/t之間時,原最優(yōu)解仍為生產(chǎn)A產(chǎn)品eq\f<24,5>t,B產(chǎn)品eq\f<22,5>t,若B產(chǎn)品的利潤超過15萬元/t,則最優(yōu)解為C<0,6>,即只生產(chǎn)B產(chǎn)品6t,若B產(chǎn)品利潤低于eq\f<5,2>萬元/t,則最優(yōu)解為A<7,0>,即只生產(chǎn)A產(chǎn)品7t．模塊綜合測評<二><時間120分鐘,滿分150分>一、選擇題<本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的>1．數(shù)列1,3,7,15,…的通項an可能是<>A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1[解析]取n＝1時,a1＝1,排除A、B,取n＝2時,a2＝3,排除D.[答案]C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是<>A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}[解析]不等式化為x2－4x－5>0,所以<x－5><x＋1>>0,所以x<－1或x>5.[答案]B3．在正項等比數(shù)列{an}中,a1和a19為方程x2－10x＋16＝0的兩根,則a8·a10·a12等于<>A．16 B．32C．64 D．256[解析]∵{an}是等比數(shù)列且由題意得a1·a19＝16＝aeq\o\al<2,10><an>0>,∴a8·a10·a12＝aeq\o\al<3,10>＝64.[答案]C4．下列不等式一定成立的是<>A．lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x2＋\f<1,4>>>>lgx<x>0>B．sinx＋eq\f<1,sinx>≥2<x≠kπ,k∈Z>C．x2＋1≥2|x|<x∈R>D.eq\f<1,x2＋1>>1<x∈R>[解析]選項具體分析結(jié)論Algeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x2＋\f<1,4>>>≥lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2\r<x2·\f<1,4>>>>＝lgx,當且僅當x2＝eq\f<1,4>時,即x＝eq\f<1,2>不正確B當sinx<0時,不可能有sinx＋eq\f<1,sinx>≥2不正確C由基本不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|正確D因為x2＋1≥1,所以eq\f<1,x2＋1>≤1不正確[答案]C5．在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,ac＝3,且a＝3bsinA,則△ABC的面積等于<>A.eq\f