工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題及答案

工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)Z]=l-2i,Z2=-6+2,，，則Z]+z2的幅角為[D]

A.---B.—C.0D.71

22

2.常數(shù)1的傅氏變換為[C]

A.久⑼B.而(①)C.2?(G)D.—!—+而(⑼

j①

3.函數(shù)/（2）="（匹?。?詁（蒼丁）在20點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是[C]

/、/、-4dudvdudv

A.瓦（尤,y）,v（x,y）在z0點(diǎn)口J微B.在z0點(diǎn);1=二―,二1=一

oxdydyox

acca

C.在z（）點(diǎn)〃（x,y）,以x,y）可微且‘■=」,』=----D./（z）在z（）點(diǎn)連續(xù)4.z=-l是函數(shù)

dxdydyox

（z+1）3-

/J.（,Z）x=———T的[B]

z（z2+l）3

A.二級零點(diǎn)B.三級零點(diǎn)C.二級極點(diǎn)D.三級極點(diǎn)

5.的傅氏變換為【B】

A.8(CD-co^B.2茄(3-g)C.2^>(<y)D.2萬

6.某級數(shù)在收斂圓內(nèi)【D】

（A）可以積分兩次（B）可能發(fā)散(C)可能收斂（D）絕對收斂

7.1的拉氏變換為【A】

11」+腐(s)

A.-B.—C.TI8(.v)D.

jsjs

8.sin3r的拉氏變換為【D]

11s3

A.----B.C.D.——

5-3s2+9+9

9.若函數(shù)/（z）在z0不連續(xù),則[D]

lim[/(z)-/(z)]=O

A.lim/(z)=/(z0)B.o

ZfZoZTZ0

C.lim/(z0+Az)=/(z0)D.皿[/⑶-/心)]^。

Az->0ZTZo

8

10.幕級數(shù)￡（3Z）”的收斂半徑是[B]

n=0

1

A.1B.一C.OD.3

3

11.函數(shù)/在z°=0展開成的泰勒級數(shù)是【A】

8n8n+l

A-

M=0，一F

oo2w+loc2n

c.y(-i)n———D-2.兩

七(2〃+l)!

12.設(shè)z0是/(z)的孤立奇點(diǎn)，Z。是/(z)的二級極點(diǎn)，則Res[/(z),Zo]=[D]

A.c,B.lim(z-z0)/(z)C.0D.lim

ZfZoaz

13.設(shè)2。是/(z)的孤立奇點(diǎn)，z0是/(z)的4級極點(diǎn)，則Res"(z),z0]=[A]

j3-i

—[(Z-Z)4/(2)J

A.lim0B.lim(z-z0)/(z)

ZTZ()dzZT%

n9(z-Zo)"(z)]

C.0D.lim

z->，:2odz

14.設(shè)Z]=6-7z,z2=-6+2i,，則Z]+z2的幅角為[A]

7171

A.——B.—C.OD.71

22

15.8的拉氏變換為[A]

88

A.-B.—C.8芯(5)D.—+8萬(5)

Sjs

16.若函數(shù)/(z)在z。不連續(xù),則【D】

B.lim[/(z)-/(z)]=O

A.lim/(z)=/(z0)o

ZTZ()ZfZo

C.lim/(z0+Az)=/(z0)D.lim/(z)^/(z0)

—ZTZ0

17.若/(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析且g(z)70,C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則，[/(z)/g(z*z=[A]

A.OB.2開"(0)/g(0)C.24iD.2)

18.函數(shù)/(2)=“(％田+4(乂力在20點(diǎn)解析的充要條件是[C]

/、/,___,.,..dudvdudv

A.%(九,y),y(x,y)x在z0點(diǎn)可r微B.在z0點(diǎn)二}=-^―，-^―=—^―

oxdydyox

c.在Zo點(diǎn)〃(x,y),v(x,y)可微且==}==-蘭D./(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)

dxdydyox

19j(z)=z3在z平面上[C]

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

20.設(shè)/(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

日產(chǎn)⑻

27117ti

A.——B.0C.271iD.——

4!2

21.若/(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則，[f(z>g(z)]jz=[A]

A.0B.2萬爐(0)g(0)C.2兀iD.In

22.20的拉氏變換為[A]

2020

A.——B.——C.40芯(s)D.—+5TU5(5)

sjsjs

23.sin5f的拉氏變換為【D]

1I5

A.-------B.-C.D.---------

s-5/+25/+25

24.常數(shù)5的傅氏變換為【C】

A.105(3)B.20公(少)C.10卷(tw)D.+5茄3)

j①

25.設(shè)/(z)在區(qū)域G內(nèi)解析,C為G內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，z°是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

z3

dz-[B]

(z-Z0)5

2兀i7ri

A.——B.0C.IniD.—

4!2

26./(z)=sinz+zcosz在z平面上【C】

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

27.基級數(shù)在收斂圓內(nèi)(A)

A.可以積分任意次B.必發(fā)散可能收斂，可能發(fā)散D.非絕對收斂

28.cos6r的傅氏變換為[B]

A.7r[S(a)+6)—S[a>-6)]B.7^8{a>+6)+8{(o-6)]

C.j7r[S(a)+6)—S(co-6)]D.j7r[S(cd+6)+8(a>—6)]

29.函數(shù)ln(l+z)在z0=0展開成的泰勒級數(shù)是【B】

A8_rt00H+l

-名不B-S(-ir^T

n=0

c.y(-i)n-------D.y(-i)n—

￡(2/7+1)!±(2〃)！

30.設(shè)/(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，z°是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

/⑶dz=[A]

(z-z(J

A.2%!包)B.0C.2萬礦(z。)D.2萬/⑷(0)

31.常數(shù)10的傅氏變換為[B]

A.205(。)B.20^5(co)C.10茁(<y)D.」-+10西3)

j①

32.設(shè)Z]=2-5，/2=-2+2i,,則[5Z]+5zz[=[B]

A.-15B.15C.25D.一25

33.sin6f的傅氏變換為[C]

A.萬忸(G+6)-3(口—6)]B.TI\3{CD+6)+6{CD-6)]

C.j^^co+6)-S^CD-6)]D."6(G+6)+3(G-6)]

34.z=-1是函數(shù)/(z)=—言中的[A]

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級極點(diǎn)D.三級極點(diǎn)

35.若函數(shù)/(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z()=x0+iy0連續(xù)，則【C】

A.a（x,y）在（龍（），兒）不連續(xù)B.v(x,y)在(/，打)不連續(xù)

C.u（x,y）,丫（乂?。┰?0，打）均連續(xù)D.lim/(z)^/(z0)

Zf/

36.10的拉氏變換為【A】

1010c,、

A.—B.—C.1OTUB（5）D.—+10^5(5)

sjsjs

37.函數(shù)cosz在z°=0展開成的泰勒級數(shù)是【D】

oon8〃+l

B.

oo2M+1002n

c.y(-ir———D.

占⑵2+1)!￡(2〃)!

38.的拉氏變換為【A】

39.幕級數(shù)在收斂圓內(nèi)【A】

A.可以微分任意次B.必發(fā)散C.可能收斂，可能發(fā)散D.非絕對收斂

81

40.幕級數(shù)￡——Z"的收斂半徑是【A】

?=()n+1

A.1B.+ooC.0D.2

41.函數(shù)/(2)=〃(%,四+，貝乂丁)在區(qū)域。內(nèi)解析的條件是[C]

.,5Mdvdudv

A.〃(x,y),v(x,y)在區(qū)域。內(nèi)可微B.在區(qū)域。內(nèi)一=—,—=——

dx2ydydx

,、一八，『3"dvdudv

C.在區(qū)域。內(nèi)u(x,y),v(x,y)可微且不—=——=——D.以上都不對

dxdydydx

42.函數(shù)于(z)=w(x,y)+iv(x,y)在％=x0+i%連續(xù)的條件是[C]

A.以工,田在(%,打)連續(xù)B.v(x,y)在(Xo，y(,)連續(xù)

C.lim/(z)=/(z0)D.lim/(z)/(z0)

ZTZoZTZo

43.2=1是函數(shù)/&)=；2])3的【A】

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級極點(diǎn)D.三級極點(diǎn)

44.設(shè)Z]=2-5i,z2=-2+2i,,則5Z]+5?2=[A]

A.—15zB.15zC.5+5zD.5—5z'、

gzn

45.幕級數(shù)的收斂半徑是[B]

M〃！

A.1B.+ooC.0D.2

46.下列說法正確的是【A】

A.若/(z)在z。某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則/(z)在z0處解析

B.若/(z)在Z。不解析，則/(z)在Z。處不可導(dǎo)

C.若/(z)在Z。處不可導(dǎo)，則/(z)在Z。處不連續(xù)

D.若/(z)在z0處連續(xù)，則/(z)在z0可導(dǎo)

47.設(shè)Z。是/(z)的孤立奇點(diǎn)，Z。是/(z)的一級極點(diǎn)，則Res[/(z),zo]=[D]

A.C|B.1C.-1D.lim(z-z0)/(z)

ZfZo

48.z=l是函數(shù)/(z)=(21])3的【D】

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級極點(diǎn)D.三級極點(diǎn)

49.常數(shù)5的傅氏變換為【B】

A.105(0)B.10^>(<y)C.2萬(iy)D.-+5^(<y)

js

C為G內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，Z。是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分￡,且生dz=

50.設(shè)/(z)在單連域G內(nèi)解析,

Z-z0

[A]

A.2萬(/.(Zo)B.0C.27riD.27Vif(0)

5Le”的拉氏變換為【A】

3

D.

s?+9

52.暴級數(shù)的收斂半徑是【D】

I

A.4B.-C.0D.2

2

53./(z)=sinz在z平面上[C]

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

54.singf的傅氏變換為【C】

A.乃6(G+g)-5(0—g)]B.7I\8{CD+G)+8{a>-g)]

c.+D./rB(o+g)+5(G-G())]

55.7(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，貝ij￡1/(z)—g(z)]jz=[A]

A.0B.27爐(0)C.2兀iD.2兀

56.z=i是函數(shù)/(z)=-J-?的【D】

z(z+1)-

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級極點(diǎn)D.三級極點(diǎn)

57.設(shè)/(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，z°是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

￡產(chǎn)2-[A]

(z-z0)

A.2九甲(z。)B.0C.2汽iD.2"礦'(0)

58.幕級數(shù)在收斂圓上[C]

A.必收斂B.必發(fā)散C.可能收斂，可能發(fā)散D.絕對收斂

59.幕級數(shù)在收斂圓內(nèi)【D】

(A)收斂于非解析函數(shù)/(z)(B)必發(fā)散(C)可能收斂，可能發(fā)散(D)絕對收斂

60.函數(shù)/(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)的條件是【A】

A./(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)解析B./(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)

C./(z)在Z?？蓪?dǎo)D./(z)在連續(xù)且可導(dǎo)

61.函數(shù)sinz在Z。=0展開成的泰勒級數(shù)是【C】

00r〃QO〃+】

A-

n=0"?BRF

z2M00z2n

c.D.Z(T)"

M=0(2〃+1)!〃=0(W

62./(z)="在z平面上[C]

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

63.常數(shù)3的傅氏變換為[C]

D.-^―+7tS(CO)

A.6(y((y)B.2萬(⑼C.6萬((y)

j①

64.下列說法正確的是【B]

A.若/(Z)在Z。處可導(dǎo),則/(Z)在z0處解析

B.若/(Z)在Z。處解析,則/(Z)在z0處可導(dǎo)

C.若/(Z)在Z。處可導(dǎo),則/(Z)在處不連續(xù)

D.若/(Z)在Z。處連續(xù),則/⑶在4可導(dǎo)

65.5的拉氏變換為【A]

55

A.-B.—C.5TU8(5)D.---1"7n5(s)

jsjs

66.設(shè)Z]=3-4z,z2—2+3/,,則4Z1+6z?=[A]

A.2zB.2C.2+2iD.2-2/

67.設(shè)z。是/(z)的孤立奇點(diǎn)，z。是/(z)的本性奇點(diǎn)，則Res"(z),z0]=[D]

A.CjB.1C.-1D.C.I

68.COSgf的傅氏變換為【B】

A.1[53+g)-33-軟)]B.乃[5(G+g)+3(o-g)]

CJ乃+g)-5(0-g)]D.)"+g)+-g)]

69.7(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則￡,[/(z)+g(z)?z=[A]

A.0B.271if(G)C.2乃iD.2兀

70.函數(shù)7(2)=〃(%,丁)+山(羽丁)在20=x()+a連續(xù)的條件是【C】

A.以工,力在(/,打)連續(xù)B.v(x,y)在(x(),yo)連續(xù)

C.u(x,y),v(x,y)均在(％0，%)連續(xù)D.u(x,y),n(x,y)均不在(%,比)連續(xù)

71.cos3f的拉氏變換為【c】

1153

A.----B.—C.----D.----

5-3s52+9s'+9

72./(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則積分，/(z)dz=[A]

A.0B.27Vif(G)C.2TliD.2%

73.嘉級數(shù)￡(2z)”的收斂半徑是[B]

n=0

1

A.1B.—C.0D.2

2

74.設(shè)z。是/(z)的孤立奇點(diǎn)，z0是/(z)的可去奇點(diǎn)，則Res"(z),z0]=[C]

A.1B.2C.0D.-1

75./(z)=cosz在z平面上【C】

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

二：填空題

2CSZ

1.設(shè)/(z)=~3°,則z=0是/(z)的3級極點(diǎn)

Z

2.若函數(shù)/(Z)在Z。=0處的導(dǎo)數(shù)為1,則/(Z)-z5/(Zo)在Z。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為【1】

3.函數(shù)/(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，3(z)—#"(Zo)在z0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為[0]

6.級數(shù)Z（5z）”的收斂半徑為【1/5

7.sinZr（Z為常數(shù)）的傅氏變換為/乃0（。+%）—%y—左））

8.10的幅角為【0】

9.函數(shù)/（z）在Z。點(diǎn)可導(dǎo)，/（z）在Z。點(diǎn)必【連續(xù)】

10.連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍然是【連續(xù)函數(shù)】

11.若函數(shù)/（Z）在Z。=1處可導(dǎo)，則/（z）-z2（（Z。）在Z。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為【―尸⑴】

12.f'zdz=[1/2]

[2coszdz

J0

l-ez

14.設(shè)/（z）=——,則z=0是/（z）的【4級】極點(diǎn)

Z

2

15./的拉氏變換為【不】

16.1的拉氏變換為【1/s】

2-ez

18.設(shè)/（z）=——,則z=0是f（z）的【5級】極點(diǎn)

Z'

1T

19.3+3i的幅角為【一】

4

20.〃'的傅氏變換為【2形（啰-1）]

21.5（，）的傅氏變換為【1】

22.Res[」v,0]=[0]

z

23.i的幅角為[-]

2sinzdz

26.解析函數(shù)的和、差、積仍然是【解析函數(shù)】

27.基級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上【解析】

28.dz=[0]

z-5

29.Re,v[—,0]=[-]

5z5

30.設(shè)f（z）=2-sm：c°sz,則z=（）是y（z）的【3級】極點(diǎn)

31.e'的拉氏變換為一一

32.級數(shù)Z（—2z）”的收斂半徑為[1/2]

33.6（。的拉氏變換為[11

800

34.設(shè)a〃=+i”,〃=1,2,…，若收斂，則X。“【收斂】

〃=1n=l

35.l+2i的模為J5

36.Res[—-,0]=[0]

z

37./的拉氏變換為【一】

38.級數(shù)Z（-3z）”的收斂半徑為[1/3]

39.在復(fù)數(shù)域內(nèi)，斷言|cosz|WI是錯誤的

40.C（。為常數(shù)）的傅氏變換為【2加75（口）】

41.Re5[—,0]=[-1

2z2

2-z5

42.設(shè)/（z）=——,則z=0是/（z）的【5級】極點(diǎn)

43.級數(shù)gz"的收斂半徑為1

44.5⑺的傅氏變換為[1]

45.在復(fù)數(shù)域內(nèi)，斷言|sinz|Wl是【錯誤的】

46.函數(shù)/（z）在z0點(diǎn)解析，f（z）在z0點(diǎn)必可導(dǎo)

47.級數(shù)￡（-z）"的收斂半徑為【1】

48.Re5[-,0]=1

z

71

49.1+i的幅角為【一】

4

50.設(shè)an=an+ibn,n=1,2,…，則￡%收斂的必要條件是liman-0

n=ln->co__________

三：名詞解釋

1.調(diào)和函數(shù)

如果二元實(shí)函數(shù)”(x,y)在區(qū)域。內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足拉普拉斯方程AH=0,則稱

H(x,y)為區(qū)域。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

2.對數(shù)函數(shù)

把指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù).即稱滿足方程e'v=z(zr0)的w為復(fù)數(shù)z的對數(shù)函數(shù)。

3.柯西積分定理

若函數(shù)/(z)在單連域。內(nèi)解析，則/(z)沿。內(nèi)任意一條閉曲線。有￡/(z)dz=0。

4.留數(shù)定理

若函數(shù)/(z)在正向簡單閉曲線。上處處解析，在C的內(nèi)部除有限個(gè)奇點(diǎn)Z”Z2,…，z,外處處解析，則有

1/(z)Jz=2加方Res[f(z),zk]。

k=\

5.留數(shù)

設(shè)Zo(Zo78)是函數(shù)/(Z)孤立奇點(diǎn)，。為去心鄰域0<匕一4|<5內(nèi)任一條圍繞點(diǎn)20的正向簡單閉曲

線，則稱積分一匚f/(z)dz為/(Z)在點(diǎn)Z0處的留數(shù)。

2乃iJC

6.拉氏變換

設(shè)函數(shù)/(f)當(dāng)/之0時(shí)有定義，且積分(S為復(fù)參量)在S的某個(gè)域內(nèi)收斂，則由此積分所確

定的函數(shù)尸(s)=「力稱為函數(shù)/⑺的拉氏變換.

J0

7.洛朗級數(shù)

把含有z-z0的正負(fù)整數(shù)次呆的級數(shù)叫洛朗級數(shù)。

8.m級零點(diǎn)

00

若/(z)在z0點(diǎn)的泰勒級數(shù)f(z)=W>“(z-Z。)"所含Z-z0的最低次幕為(z-Z。)'"，其中%,X0,則

n=m

稱Zo是/(Z)的加級零點(diǎn)。

9.本性奇點(diǎn)

如果函數(shù)/（z）在點(diǎn)z0的洛朗級數(shù)中，含有無限多個(gè)Z-Z。的負(fù)累項(xiàng)，則稱孤立奇點(diǎn)Z。是函數(shù)/（Z）的本性

奇點(diǎn)。

10.拉氏變換卷積定義

設(shè)函數(shù)力⑺,力⑺滿足條件，當(dāng)。<0時(shí)/?）=力⑺=0,則稱積分f/（T）_AQ—T）d7為函數(shù)工⑺

J0

與力⑺的卷積。

11.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式

若函數(shù)/（z）在正向簡單閉曲線C上及其內(nèi)部解析，則對于C內(nèi)的任意一點(diǎn)Z。有

（n,

y（z0）=—f―/⑶dz（〃=i,2,…）。

J°2勿kz-z。嚴(yán)'

12.解析函數(shù)

如果函數(shù)/（z）在區(qū)域。內(nèi)處處解析，稱/（z）是區(qū)域。上的解析函數(shù)。

13區(qū)域

平面點(diǎn)集。是連通的開集，稱。是區(qū)域。

14.m級極點(diǎn)

如果函數(shù)/（Z）在點(diǎn)Z0的洛朗級數(shù)中，只含有有限多個(gè)Z-Zo的負(fù)基項(xiàng)，且關(guān)于（Z-Z°）T的最高呆為

m

（z-zoy,則稱孤立奇點(diǎn)z0是函數(shù)/（z）的加級極點(diǎn)。

15.函數(shù)/（z）在Z。點(diǎn)解析

如果函數(shù)/（z）在點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域Nf（Zo）內(nèi)處處可導(dǎo)，則/（z）在點(diǎn)Zo解析。

16.付氏變換卷積定義

已知函數(shù)/⑺,%。），稱積分「力（7）力?—7）dr為函數(shù)/”）,/,?）的卷積

J—8

17.孤立奇點(diǎn)

如果函數(shù)/（2）在點(diǎn)Z。不解析，但在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z—Z°|<S內(nèi)處處解析，則稱Z。為/（Z）的孤

立奇點(diǎn)。

18.可去奇點(diǎn)

如果函數(shù)/（Z）在點(diǎn)Z。的洛朗級數(shù)中，不含有Z-Z。的負(fù)基項(xiàng)，則稱孤立奇點(diǎn)Z0是函數(shù)/（Z）的可去奇點(diǎn)。

19.付氏變換

若函數(shù)/?）在（-8,+0。）上滿足：（1）在任意有限區(qū)間上滿足狄氏條件；（2）絕對可積，即"收

斂。稱E3）=力叫做/⑺的傅氏變換.

J-CO

20.指數(shù)函數(shù)

對任意的復(fù)數(shù)z=x+iy,規(guī)定函數(shù)卬=6*（85^+1$出y）為復(fù)數(shù)2的指數(shù)函數(shù)

四：計(jì)算題

1.計(jì)算下列積分

4z-2」

(1)-------?dz

Z(Z—1)2

4z—2

被積函數(shù)/(z)=-~~"在園周目=4內(nèi)有一級極點(diǎn)z=0和二級極點(diǎn)z=l,

4Z-2

由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：Res"(z),0]=lim-------=-2

』(z—l)-

2

于是由留數(shù)定理得[，-1rdz=2%i{Res[f(z),O]+Res[/(z),l]}

cosz,

--rvrdz

U(z-/)10

函數(shù)cos：。.在園周忖=3內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)z0=z,而函數(shù)/(z)=cosz在忖=3上及其內(nèi)部解析。

(z-i)

于是由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式有:

.2兀i,⑼「、17iiI

dz=----f(0=----cos—+

9:9!I2

2兀i..

-----sini

9!

fl⑸’

2.(1)求一-i—及其相應(yīng)的主值。

(22J

主值為”

(2)判別函數(shù)/(z)-2(sinxchy+icosxshy)在那些點(diǎn)可導(dǎo)，在那些點(diǎn)解析。

u(x,y)—2sinxchy,v(%,)?)=2cosxshy,ux=2cosxchy,uv=2sinxshy

顯然“(X,y),v(x,y)在復(fù)平面上處處可微且〃*=vUy=一匕

所以函數(shù)/(z)在復(fù)平面上是處處可導(dǎo)，處處解析。

1

3.函數(shù)/(z)在圓環(huán)域2<|z—3|<6內(nèi)是處處解析，試把/(z)在該域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。

(z-2)(z-l)

由于2<|z-3|<6,所以

1100(-l)"-(-2)n

于是y(z)=

(z—2)(z—1)z—2z—1"=0(z—3嚴(yán)

4.(1)將復(fù)數(shù)一JJ+i化為三角表示式和指數(shù)表示式。

一J5+i的三角表示式為：一百+i=2cos.+isin包

(66

5/r.

-V3+z的指數(shù)表示式為—仃+7=26不'

(2)計(jì)算(3+式稅+。

‘拒+J(V3+,=26(cos,+zsin葛)(V3+?)

=26(COS5^-4-zsin5^)(V3+z)

=26(-V3-I)

5.(1)將復(fù)數(shù)-叵+二化為三角表示式和指數(shù)表示式。

22

V3I，〃一幺十一#,V3z57r..57

1—的二角表示式為：1——cos---F1sin—

2-22---26-------6

J3/V3z—1

-----1—的指數(shù)表示式為F—=e6

2222

f4iYfV3i]

(2)計(jì)算-----1--------1--

2222

V7V/

=(cos5?+isin5?

V3

~T2

6.(1)求(l-ig)及其相應(yīng)的主值。

—+/ln2

主值為e3

(2)判別函數(shù)/(z)=2ex(cosy4-isiny)在那些點(diǎn)可導(dǎo)在那些點(diǎn)解析

vxx

u(x,y)=2e'cosy,v(x,y)=2esiny,ux=2ecosy,uy=-2esiny

顯然〃(x,y),y)在復(fù)平面上處處可微且〃產(chǎn)匕，，弓=-匕

所以函數(shù)/(z)在復(fù)平面上是處處可導(dǎo)，處處解析。

7.計(jì)算下列積分

r4z-8.

(1)4------；------dz

J|ZR(Z-2)2(Z-1)

4z_8

被積函數(shù)/(z)=--羽5在園周忖=4內(nèi)有一級極點(diǎn)Z=2和一級極點(diǎn)z=1,

4

由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：Re5[/(Z),2]=lim------=4

z->2(Z—1)

于是由留數(shù)定理得

函數(shù)——%?在園周同=3內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)Z。=i,而函數(shù)/(z)=z8+/在忖=3上及其內(nèi)部解析。

(z-i)

于是由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式有：

Jl2l=\(z-z)10J9!9!1

2兀ii

=---e

9!

8.計(jì)算下列積分

r8z-8.

1)f------------2-dz

』W=4(Z-2)(Z-1)

8z—8

被積函數(shù)f(z)=------------r在園周|z|=4內(nèi)有一級極點(diǎn)z=2和一級極點(diǎn)z=1,

(z-2)(z-l)211

Q-_Q

由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：Res"(z),2]=lim-----、=8

t(z-iy

于是由留數(shù)定理得

o

Z+COSZ

(2)dz

(Z-O10

Q

Z+COSZ

函數(shù)在園周|z|=3內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)z0=i,而函數(shù)/(z)=z8+cosz在|z|=3上及其內(nèi)部解析。

(z-O10

于是由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式有:

8

Z+COSZdz=^/⑼(i)2萬，

=----cos

(z-z)109!9!

2萬，..

-----sinz

9!

9.(1)將復(fù)數(shù)-J'-i化為三角表示式和指數(shù)表示式。

-i的三角表示式為：一百一i=2(cos--isin—

I66

5乃.

-V3-Z的指數(shù)表示式為一百—i=2J廠

(2)計(jì)算(―4_尸/_0

(-V3-/J'(V3-i)=26^COS-^--zsin系)(V3-z)

=26(cos5^-zsin5^)(V3-z)

=26(-V3+Z)

10.函數(shù)/(z)=.2)(%°在圓環(huán)域2<|z—1|<6內(nèi)是處處解析，試把/(z)在該域內(nèi)展開成洛朗級

數(shù)。34.由于2<|z—1|<6,所以

181

于是y(z)==Z]〃.2

”=o(z—1/

11.(1)求+及其相應(yīng)的主值。

--+/ln2

主值為e3

(2)判別函數(shù)/(z)=2/+3y2i在那些點(diǎn)可導(dǎo)，在那些點(diǎn)解析。u(x,y)=2x2,v(x,y)=3y2,

ux=4x,wv=0,vx=0,vy=6y

顯然u(x,y),v(x,y)在復(fù)平面上處處可微且uy=-vx,

-3

由〃<=八有x--y,

x>2'

3

因此c-R方程僅在直線*=：y上成立

3

所以函數(shù)/(z)僅在直線x=上可導(dǎo)，在復(fù)平面上函數(shù)/(z)是處處不解析。

12.(1)將復(fù)數(shù)化為三角表示式和指數(shù)表示式。

1一百i的三角表示式為：1一J^i=2(cosM—isin2]

1-73/的指數(shù)表示式為1—后》=26于

(2)計(jì)算(1—4)gj)

(鵬陽一內(nèi)喈一人嗚)回力

=26(cos2^-zsin2兀~^卓)一,

=26(V3-zj

13.函數(shù)/9)=1^］在圓環(huán)域1<上一2|<2內(nèi)是處處解析，試把/(z)在該域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。

由于l<|z—2|<2,所以

于是/⑶=.=2名］(一1)"/+^^］

z(l—z)2"+"(z—2嚴(yán)」

14.(1)求L〃(l+ig)及其相應(yīng)的主值。

(2)判別函數(shù)/。)=21+3}^在那些點(diǎn)可導(dǎo)，在那些點(diǎn)解析。〃(x,y)=2x\v(x,y)=3y3,

22

Ux=6x,uy=0,vx=0,Vv=9y

顯然u(x,y),v(x,y)在復(fù)平面上處處可微且uy=-vr,

由〃x=v、,有x=±4,

因此C-R方程僅在曲線x=-和x=島上成立

所以函數(shù)/(z)只在僅在曲線尤=—￡y和x=&上可導(dǎo)，在復(fù)平面上函數(shù)/(z)是處處不解析。

15.函數(shù)/(z)=q2；.1)在圓環(huán)域2<|z-2|<6內(nèi)是