訓練03圓的方程50道真題訓練（解析版）2023-2024學年高二數(shù)學上學期期中期末重難點歸類及真題訓練 （人教A版2019）

第第頁訓練03圓的方程50道真題訓練一、單選題1．（2023-24上·湛江期中）已知點，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為直徑得到圓心坐標和半徑，然后求圓的方程即可.【詳解】由題意得圓心為，即，半徑，所以圓的方程為.故選：B2．（2023-24上·武清·期中）已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】由點和圓的位置關系求解即可.【詳解】因為點在圓外，所以，解得：.，圓要表示圓，則即或，所以或故選：C.3．（2023-24上·九龍坡·期中）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結論，甲：該圓經過點；乙：該圓的圓心為；丙：該圓的半徑為1；?。涸搱A經過點.如果只有一位同學的結論是錯誤的，那么這位同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】假設乙、丙同學結論正確得出圓的方程，利用圓的方程檢驗甲、丁結論可得解.【詳解】假設乙、丙同學的結論正確，則該圓的方程為，代入點，方程不成立，此時甲結論錯誤，代入點，方程成立，此時丁的結論正確.故選：A4．（2023-24上·臨夏·期中）已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立點和點之間的關系式，再利用點的坐標滿足的關系式得到點的坐標滿足的條件，即可求出.【詳解】設，，由點是的中點，得，可得，又點在圓上運動，所以，將上式代入可得，，化簡整理得點的軌跡方程為：.故選：B5．（2022-23·西城·模擬預測）已知動點在直線上，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由題意求出切線長的表達式，結合二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由題可知圓的圓心為，半徑為，設，則，有，得，當時，.故選：C.6．（2023-24·西安·期末）直線繞原點按順時針方向旋轉后所得的直線與圓的位置關系是（

）A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心C．直線與圓相切 D．直線與圓無公共點【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的方程，再根據(jù)圓心與直線l的關系判斷作答.【詳解】直線過原點，斜率為，傾斜角為，依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過原點，因此直線l的方程為：，而圓的圓心為，半徑為，于是得圓心在直線l上，所以直線l與圓相交，過圓心.故選：A7．（2023-24上·期中）已知在圓上恰有兩個點到原點的距離為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系求得的取值范圍.【詳解】圓的圓心為，半徑為，依題意可知，以原點為圓心，半徑為的圓，與圓相交，，所以，即，所以.故選：C8．（2022-23·東城·二模）已知點在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關系，即可由斜率與傾斜角的關系求解.【詳解】圓心為，所以,所以過的切線的斜率為，設傾斜角為，則，由于，故，故選：D9．（2022-23上·寧河·期末）己知直線：被圓截得的弦長為，則點與圓上點的距離最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用直線被圓截得的弦長公式以及點與圓的位置關系求解.【詳解】由題可得，圓的半徑，圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦長為，解得或（舍去），則點的坐標為，該點到圓心的距離為，所以點到圓上點的距離最大值為，故選:A.10．（2022-23下·榆林·期末）若圓經過點，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.【詳解】圓經過點，，可得線段的中點為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.11．（2022-23上·許昌·期末）在平面直角坐標系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內的點，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點.若，則A點的橫坐標為（

）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【分析】由已知得，求得的方程，進而得，設，則，從而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結果.【詳解】如圖，由已知得，則，所以的方程為．

由解得．設，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點A的橫坐標為3．故選：B．12．（2022-23下·玉溪·期中）已知圓的方程為，設該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可得最長弦為直徑，最短弦為過且與最長弦垂直的弦，據(jù)此可得答案.【詳解】設圓圓心為M，則圓M：，則，半徑為.如圖，最長弦為過的直徑，長度為10.最短弦為過且與最長弦垂直的弦，設E，則由垂徑定理可得，.又，則.又，則四邊形的面積為：.故選：C

13．（2023-24上·寶山期中）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】計算兩圓的圓心和半徑，可得兩圓相離，有四條公切線，兩圓心坐標關于原點對稱，則有兩條切線過原點，另兩條切線與直線平行且相距為1，數(shù)形結合可計算四條切線方程，結合選項，即得解【詳解】由題意，圓的圓心坐標為，半徑為圓的圓心坐標為，半徑為如圖所示，兩圓相離，有四條公切線.

兩圓心坐標關于原點對稱，則有兩條切線過原點，設切線，則圓心到直線的距離，解得或，當時，切線方程為，A正確；當時，切線方程為，即，B正確；另兩條切線與直線平行且相距為1，又由，設切線，則，解得，即切線方程分別為，；整理可得兩切線方程為和，所以C正確，D不正確.故選：D.14．（2022-23下·南寧·期末）已知圓：，直線：，直線與圓交于、，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線過定點，結合垂直關系求解弦長的范圍，即可由二倍角公式結合二次函數(shù)的性質求解.【詳解】直線：變形為，令和，解得，所以直線恒過定點，點在圓內部，當垂直于時，最短，此時所以,由于，故時，此時最大，且最大值為故選：B15．（2022-23下·南陽·期末）已知直線l：與x軸、y軸分別交于M，N兩點，動直線：和：交于點P，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所過定點和位置關系可得點P軌跡方程，然后利用點到直線的距離公式和兩點間的距離公式可得面積最小值.【詳解】根據(jù)題意可知，動直線過定點，動直線：，即過定點，因為，所以無論m取何值，都有，所以點P在以OB為直徑的圓上，且圓心坐標為，半徑為，設，則點P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B

16．（2022-23下·寶山·期末）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結合思想能求出的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因為直線與曲線恰有兩個公共點，由圖可得，即的取值范圍是．故選：B．17．（2022-23下·沙坪壩·期末）已知點為直線：上的動點，過點作圓：的切線，，切點為，當最小時，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用圓切線的性質推得四點共圓，，從而將轉化為，進而確定時取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.【詳解】因為圓：可化為，所以圓心，半徑為，

因為，是圓的兩條切線，則，由圓的知識可知，四點共圓，且，，所以，又，所以當最小，即時，取得最小值，此時的方程為，聯(lián)立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將轉化為，從而確定最小時的坐標，從而利用兩圓相減可得相交弦方程的技巧得解.18．（2022-23下·安慶·期中）若M、N為圓上任意兩點，P為直線上一個動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷直線與圓的位置關系，再過點P作圓的兩條切線，由圖形可得，從而利用直線上的動點到圓心的最小距離求得的最大值，由此得解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，設PA、PB是過點P圓的兩切線，且A、B為切點，如圖，顯然，當PM，PN為兩切線時取等號；因為PA、PB是過點P圓的兩切線，所以，，由圓的對稱性易得，顯然是銳角，在中，，又，所以，所以，∴．故選：B．.【點睛】關鍵點睛：本題解題的突破口是通過過點作圓的切線，化三動點問題為一動點問題，從而利用直線上的動點到圓心的最小距離求得的最大值，由此得解.二、多選題19．（2022-23上·安慶期末）已知方程，則下列說法正確的是（

）A．當時，表示圓心為的圓 B．當時，表示圓心為的圓C．當時，表示的圓的半徑為 D．當時，表示的圓與軸相切【答案】BCD【分析】將圓的一般方程化為標準方程，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，可圓的圓心坐標為，A中，當時，此時半徑為，所以A錯誤；B中，當時，此時半徑大于，表示圓心為的圓，所以B正確；C中，當時，表示的圓的半徑為，所以C正確；D中，當時，可得，方程表示的圓半徑為，又圓心坐標為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．故選：BCD.20．（2022-23上·廣州·期中）在同一直角坐標系下，直線與圓的位置可能為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)圓心的位置可確定的正負，由此可確定直線斜率的正負，進而確定可能的圖象.【詳解】對于ABC，由圓的圖象知圓心位于第一象限，，，直線斜率，則A正確，BC錯誤；對于D，由圓的圖象知圓心位于第四象限，，，直線斜率，則D正確.故選：AD.21．（2023-24上·酒泉·期中）若直線被圓截得的弦長為，則不可能是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，利用圓的弦長公式，求得圓心到直線的距離為，結合點到直線的距離公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，設圓心到直線的距離為，因為直線被圓截得的弦長為，可得，解得，則，即，解得.故選：ACD.22．（2022-23下·深圳·期中）一條光線從點射出，經軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】反射光線一定經過點關于軸的對稱點，考慮斜率不存在和斜率存在兩種情況，利用點到直線距離等于半徑列出方程，求出斜率，得到答案.【詳解】點關于軸的對稱點為，則反射光線一定經過點，由于圓心為，半徑為1，若反射光線的斜率不存在，此時反射光線方程為，與圓無交點，設反射光線的斜率為，則可得出反射光線為，即，因為反射光線與圓相切，則圓心到反射光線的距離，即，解得或，則反射直線的方程為或.故選：.

23．（2022-23下·臨滄·期中）已知圓，直線為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則下列各選項正確的是（

）A．四邊形面積的最小值為4B．四邊形面積的最大值為8C．當最大時，D．當最大時，直線的方程為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知，結合圖形，利用直角三角形、正方形的性質、直線方程以及點到直線的距離公式、勾股定理計算求解.【詳解】由圓的幾何性質可得，圓，半徑為2，如下圖所示：

對于，由切線長定理可得，又因為，所以，所以四邊形的面積，因為，當時，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；對于，因為無最大值，即無最大值，故四邊形面積無最大值，故B錯誤；對于，因為為銳角，，且，故當最小時，最大，此時最大，此時，故C正確；對于D，由上可知，當最大時，且，故四邊形為正方形，且有，直線，則的方程為，聯(lián)立，可得，即點，由正方形的幾何性質可知，直線過線段的中點，此時直線的方程為，故D正確.故選：ACD.24．（2023-24·上廈門期中）設有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經過點C．經過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為【答案】ABD【分析】對A根據(jù)圓心橫縱坐標關系即可判斷，對B和C代入，再利用判別式即可判斷，對D由圓的半徑不變即可判斷.【詳解】A選項，圓心為，一定在直線上，A正確；B選項，將代入得：，其中，方程無解，即所有圓均不經過點，B正確；C選項，將代入得：，其中，故經過點的圓有兩個，故C錯誤；D選項，所有圓的半徑為2，面積為，故D正確.故選：ABD.25．（2022-23上·蘇州·期中）數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美.在平面直角坐標系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下列說法正確的有（

）A．曲線C圍成的圖形有4條對稱軸B．曲線C圍成的圖形的周長是C．曲線C上的任意兩點間的距離不超過5D．若是曲線C上任意一點，的最小值是【答案】ABD【分析】去掉絕對值可得曲線的四段關系式，從而可作出曲線的圖像，由圖像即可判斷ABCD.【詳解】，當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓；當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓；當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓；當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓.曲線的圖像如下圖所示：對于A，易知曲線圖像有4條對稱軸，A正確；對于B，曲線圖形由4個半圓組成，故其周長為，B正確；對于C，由圖可知，曲線C上的任意兩點間的最大距離為，C錯誤；對于D，圓心到直線的距離為，到直線的距離，若使最小，則有，所以，得，D正確.故選：ABD.26．（2023-24·上蘇州期末）已知實數(shù)，滿足方程，則下列說法不正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】CD【分析】設，則只需直線與圓有公共點，利用點到直線的距離公式可得不等式求得z的范圍，可判斷A；同理可判斷D；設，利用幾何意義求得t的范圍判斷B；設，則直線和圓有公共點，進而可得不等式求得k的范圍判斷C.【詳解】由題意知方程即表示圓，圓心為，半徑為，對于A，設，則只需直線與圓有公共點，則，解得，

即的最大值為，A正確；對于B，設，其幾何意義為圓上的點到原點的距離，而上的點到原點距離的最大值為，即t的最大值為，故的最大值為，B正確；對于C，設，則，則直線和圓有公共點，則，解得，即的最大值為，C錯誤；對于D，設，則直線與圓有公共點，則，解得，即的最大值為，D錯誤；故選：CD27．（2022-23下·廈門·期末）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，，，點滿足．設點的軌跡為，則（

）．A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于，的兩點，，使得C．當，，三點不共線時，射線是的角平分線D．在上存在點，使得【答案】BC【分析】利用求軌跡方程的方法確定軌跡的方程可判斷A；設，，由兩點間的距離公式結合軌跡的方程可判斷B；由角平分線的定義可判斷C；設，由求出點的軌跡方程與聯(lián)立，可判斷D.【詳解】對于A，在平面直角坐標系中，，，點滿足，設，則，化簡得，即，所以A錯誤；對于B，假設在軸上存在異于，的兩點，，使得，設，，則，化簡得，由軌跡的方程為，可得，，解得，或，（舍去），所以B正確；對于C，當，，三點不共線時，，可得射線是的角平分線，所以C正確；對于D，若在上存在點，使得，可設，則，化簡得，與聯(lián)立，方程組無解，故不存在點，所以D錯誤．故選：BC．28．（2023-24上·嘉興·期末）已知曲線：（x，y不同時為0），則（

）A．上兩點間距離的最大值為B．若點在內部，則C．若與直線有公共點，則D．若與圓有公共點，則【答案】BC【分析】根據(jù)題意，作出曲線的圖象，再數(shù)形結合逐一判斷選項即可.【詳解】曲線的圖象是由半圓和此半圓分別關于軸、軸、原點對稱的圖象組合而成，如圖所示：

對于A，曲線上兩點間距離的最大值為，故A錯誤；對于B，由得，由得，所以當點在內部時，有，故B正確；對于C，由曲線的圖象可知，當直線與半圓相切時，截距最大，則由得或（舍去），當直線與半圓相切時，截距最小，則由得或（舍去），所以若與直線有公共點，則，故C正確；對于D，曲線：與坐標軸的交點為，，當圓過點和時，最小，最小值為2，當圓過點時，最大，最大值為，所以若與圓有公共點，則，故D錯誤.故選：BC三、填空題29．（2022-23下·唐山·期末）點A是圓上的一個動點，點，當點A在圓上運動時，線段的中點P的軌跡方程為.【答案】【分析】設，利用中點坐標公式可用x，y表示出，再根據(jù)點A在圓上，即可得到答案．【詳解】設，又點，則，所以，，又點A在圓上，則，即，所以線段AB的中點P的軌跡方程為．故答案為：．30．（2023-24上·臨夏·期中）動直線平分圓的周長，則的最小值．【答案】9【分析】先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】平分的周長，故圓心在直線上，故，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：931．（2022-23上·臨沂·期中）點為圓C：上一點，點B在圓C上運動，點M滿足．則點M的軌跡方程為．【答案】【分析】首先求出，設出，，利用向量關系，建立等量關系即可求解.【詳解】因為點在圓上，則，解得.設點，，則由題意可得，，解得，，又因為點滿足圓的方程，代入可得，化簡得.故答案為：32．（2023-24上·銀川·期中）若兩條直線與圓的四個交點能構成矩形，則.【答案】0【分析】由已知兩條直線是平行線，因此有圓心到它們的距離相等，從而可得結論.【詳解】由題意直線平行，因此圓心到它們的距離相等，所以，又，所以，即，故答案為：0.33．（2022-23上·期中）圓與直線相交于，兩點，則．【答案】【分析】將圓的方程化為標準方程，得到圓心到直線的距離，利用垂徑定理即可求得弦長．【詳解】圓的標準方程為，則圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，如圖所示，

則由垂徑定理可知，.故答案為：.34．（2022-23上·亳州·期末）已知圓經過，兩點，且圓心在直線上，直線經過點，且與圓相交所得弦長為，則直線的方程為.【答案】或【分析】由已知求出圓的標準方程，利用直線與圓的位置關系結合勾股定理，可得圓的圓心到直線的距離，分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，利用點線距公式列方程求出直線的斜率，可得直線的方程．【詳解】設圓的圓心坐標為，依題意，有，解得，所以，所以圓的標準方程為.設圓的圓心到直線的距離為，則，解得①若直線的斜率不存在，則，符合題意，此時直線的方程為.②若直線的斜率存在，設直線的方程為，即，則，解得.此時直線的方程為故答案為：或35．（2022-23上·唐山·期末）已知圓：，圓：，過圓上的任意一點P作圓的兩條切線，切點為A，B，則四邊形面積的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得四邊形面積，結合圓的性質求的最大值即可.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，四邊形面積，∵，∴四邊形面積的最大值為.故答案為：.36．（2022-23下·浦東新·期末）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點、的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系中，、，點滿足，則的最小值為.【答案】【分析】設點，利用已知條件求出點的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運算性質可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】設點，由可得，整理可得，化為標準方程可得，因為為的中點，

所以，，記圓心為，當點為線段與圓的交點時，取最小值，此時，，所以，.故答案為：.37．（2022-23下·天水·期末）直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍．【答案】【分析】由題意求得所以，，從而求得，再根據(jù)直線與圓的位置關系可求得點到直線距離，再結合面積公式即可求解.【詳解】因為直線分別與軸，軸交于，兩點，所以，，因此．因為圓的圓心為，半徑，設圓心到直線的距離為，則，因此直線與圓相離．又因為點在圓上，所以點到直線距離的最小值為，最大值為，即，又因為面積為，所以面積的取值范圍為．故答案為：

38．（2022-23上·三門峽·期末）過作圓與圓的切線，切點分別為，，若，則的最小值為．【答案】/【分析】利用圓切線的性質，結合代入法、二次函數(shù)的性質進行求解即可.【詳解】圓，顯然，半徑為1，圓，顯然，半徑為2，因為是分別是圓，圓的切線，所以，因為，所以有，即，化簡，得代入中，得，所以當時，的最小值，故答案為：

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是利用圓的切線性質得到等式.39．（2022-23下·泰安·期中）若直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍為．【答案】【分析】曲線表示以原點為圓心、半徑為1的半圓，數(shù)形結合求得當直線與曲線恰有一個公共點的實數(shù)b的取值范圍作答．【詳解】曲線，即，表示以原點為圓心、1為半徑的半圓（位于y軸及右側的部分），如圖，

當直線經過點時，；當直線經過點時，；當直線和圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑可得，求得（舍去），或，觀察圖象，得當直線與曲線恰有一個公共點，實數(shù)b的取值范圍為.故答案為：【點睛】方法點睛：處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法．40．（2022-23上·滁州·期末）已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是．【答案】24【分析】根據(jù)幾何知識，將問題轉化為圓上的兩點到直線的距離和最大問題，根據(jù)兩個點形成的夾角結合圓的性質即可求出最大值.【詳解】由題意，實數(shù)，，，滿足，，，設，，∴,是圓：上兩點，且，，，∴，記：，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為．設的中點為，過作的垂線，垂足為，如圖所示．表示的是,兩點到直線的距離之和的倍，又，∴表示的是到直線的距離的倍．∵是直角三角形，∴，∴在圓上運動，∴到直線的距離最大值為，又，∴的最大值是24．故答案為：24.四、解答題41．（2023-24上·深圳·期中）根據(jù)下列條件，分別求相應圓的方程.(1)圓心為，過點；(2)與軸相交于、兩點，且半徑等于.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出圓的半徑，再代入標準方程即可求得結果；（2）易知圓心在線段的垂直平分線上，求出圓心坐標代入標準方程即可.【詳解】（1）由題意，圓的半徑為，又圓心為，所以圓方程為；（2）因為圓與軸相交于、兩點，故圓心在線段的垂直平分線上，又、，所以線段的垂直平分線為，不妨設圓心坐標為，由半徑為且過點可得，解得；當圓心為時，圓方程為；當圓心為時，圓方程為；因此所求圓的方程為或.42．（2023-24上·天水期中）已知.(1)求點到直線的距離；(2)求的外接圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線的兩點式求得直線的方程為，由點到直線距離公式即可求出結果；（2）設的外接圓的方程為，代入坐標聯(lián)立解方程組即可求得結果.【詳解】（1）直線的方程為，化簡可得，所以點到直線的距離.（2）設的外接圓的方程為，將的坐標代入，得，即解得；故所求圓的方程為.43．（2023-24上·期中）已知圓經過三點．(1)求圓的一般方程；(2)過點的直線與圓交于兩點，，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）待定系數(shù)法設出圓的一般方程解方程組即可求得答案.（2）利用直線與圓的位置關系，分兩種情況討論可得答案.【詳解】（1）設圓的一般方程為，把三點坐標代入可得，解得，所以圓的一般方程為．（2）由（1）得圓的標準方程為，即圓心為，半徑為．當直線與軸垂直，即時，此時，符合題意；當直線與軸不垂直時，設該直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為．綜上，直線的方程為或．44．（2023-24上·溫州·期中）已知點，動點P滿足，記點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C方程；(2)若直線上存在點M滿足，求實數(shù)m的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點距離公式化簡計算即可；（2）法一，利用點與圓，直線與圓的位置關系解不等式即可；法二，聯(lián)立直線方程與圓C方程利用判別式計算即可.【詳解】（1）設，則，∵，，；（2）法一、（即M在圓C上及圓C的內部），，，，；法二、由題意可知直線與圓C有交點，聯(lián)立方程，，化簡得，，.45．（2023-24上·蘭州·期中）如圖，已知圓及點.(1)若點在圓上，求直線與圓的相交弦的長度；(2)若是直線上任意一點，過點作圓的切線，切點為，當切線長最小時，求點的坐標，并求出這個最小值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）將點代入求出的值，進而求出直線方程，最后由弦長公式求出弦長即可.（2）根據(jù)圓心到直線上的點的距離最小時切線長最小求解即可.【詳解】（1）易知圓的標準方程為，則，半徑.將點代入圓的方程，得，所以，故直線的斜率.因此直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，所以.（2）因為，所以當最小時，最小，又當與直線垂直時，最小，所以，所以.由題易得過點且與直線垂直的直線方程為，聯(lián)立，得，所以.46．（2023-24上·徐州·期中）已知圓過點，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)若從點發(fā)出的光線經過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算的垂直平分線，計算交點得到圓心，再確定半徑得到答案.（2）根據(jù)垂直和中點得到關于直線對稱的點為，即為所求直線.【詳解】（1），則的垂直平分線的斜率為，中點為，故的垂直平分線為，，解得，即圓心為，圓的半徑，故圓方程為.（2）反射光線恰好平分圓的圓周，故反射光線過圓心，設關于直線對稱的點為，則，且，解得，即，，故反射光線為，即.47．（2022-23上·浙江·期中）已知在梯形中，，，，，為中點.(1)求直線的方程；(2)求的外接圓的方程及該圓上一點到點的距離的最小值.【答案】(1)(2)外接圓的方程為，圓上一點到點的距離的最小值【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行的知識可得出直線的斜率，結合點坐標解出直線的方程；（2）先根據(jù)題意求出D點的坐標，再求出中點點坐標，可判斷出，從而得出的外接圓方程，利用點與圓的位置關系，可求出圓上一點到點的最小值.【詳解】（1）解：因為梯形，，故，所以，又直線過點，所以直線的方程為：，即；（2）設點，則①又由，得②聯(lián)立①②，解得或，當時，四邊形為平行四邊形，故舍去，故，因為為中點，所以由中點坐標公式得，所以得到直線斜率不存在，斜率為0，所以，即是以為直角的直角三角形，所以的外接圓圓心為的中點，半徑，所以外接圓方程為，由，得圓上一點到點的最小值為，所以的外接圓的方程為，該圓上一點到點的距離的最小值為.

48．（2023-24上·保定·期中）已知圓C：，．(1)證明：圓C過定點．(2)當時，過作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求直線AB的方程；(3)當時，若直線l：與圓C交于M，N兩點，且，其中O為坐標原點，求k的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）化簡