專題04圓的方程九個重難點歸類（解析版）2023-2024學年高二數(shù)學上學期期中期末重難點歸類及真題訓練 （人教A版2019）

第第頁專題04圓的方程九個重難點歸類一、圓的方程圓的標準方程圓的一般方程定義在平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓，確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑方程圓心半徑注：當時，方程表示一個點；當時，方程沒有意義，不表示任何圖形．二、直線與圓的位置關系的判斷方法判斷方法幾何法由圓心到直線的距離與半徑長的大小關系來判斷代數(shù)法聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關于（或）的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個數(shù)來判斷相離相切相交三、圓與圓位置關系的兩種判斷方法（1）幾何法：由兩圓的圓心距d與半徑長的關系來判斷（如下圖，其中）．圖示d與的關系位置關系外離外切相交內切內含（2）代數(shù)法：設圓①，圓②，聯(lián)立①②，如果該方程組沒有實數(shù)解，那么兩圓相離；如果該方程組有兩組相同的實數(shù)解，那么兩圓相切；如果該方程組有兩組不同的實數(shù)解，那么兩圓相交．四、兩圓相交時公共弦所在直線的方程設圓①，圓②，若兩圓相交，則有一條公共弦，由，得③．方程③表示圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程．【重難點一求圓的方程】例1．圓關于直線對稱的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過求圓的圓心和半徑求得正確答案.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心為，半徑.設圓的圓心為，則，解得，圓的半徑為，所以圓的標準方程為.故選：A例2．（多選）若，，，四點共圓，則m的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】AD【分析】依題意設出圓的一般方程，代入坐標可得圓方程為，由點在圓上即可解得或.【詳解】根據(jù)題意可設圓方程為，將點，，代入可得，解得；即圓方程為，又點在圓上，所以，整理得，解得或.故選：AD確定圓的方程的方法確定圓的方程的方法（1）幾何法：利用圓的幾何性質等，直接求出圓的圓心和半徑，進而得到圓的標準方程．（2）待定系數(shù)法：假設圓的標準方程或者一般方程，由三個獨立條件得到三個方程，解方程組以得到圓的方程中三個參數(shù)即可【跟蹤練習】練習1．圓心在射線上，半徑為5，且經過坐標原點的圓的方程為（

）.A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心在射線上，設出圓心坐標，利用圓心到原點距離等于半徑求得圓心坐標，即可求出圓的方程.【詳解】因為圓心在射線上，故設圓心為，又半徑為5，且經過坐標原點，所以，解得或（舍去），即圓的圓心坐標為，則圓的方程為，即.故選：C練習2．已知點，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為直徑得到圓心坐標和半徑，然后求圓的方程即可.【詳解】由題意得圓心為，即，半徑，所以圓的方程為.故選：B練習3．中，．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求的外接圓的方程．【答案】(1)(2)．【分析】(1)求出邊的斜率，即可得到高線的斜率，用點斜式即可求得方程.(2)設圓的方程為一般式，代入點的坐標即可求出方程.【詳解】（1）直線的斜率所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為．（2）設的外接圓的方程為，則解得所以的外接圓的方程為．練習4．分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)過點，，且圓心在直線上；(2)過、、三點．【答案】(1)(2)【分析】（1）設圓心坐標為，由，解出，可求得圓心和半徑，得到圓的方程；（2）設直線的一般式方程，代入、、三點，求出系數(shù)即可.【詳解】（1）圓心在直線上，設圓心坐標為，圓過點，，則有即，解得，可得圓心坐標為，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）設過、、三點的圓的方程為，則有，解得，故所求圓的方程為.【重難點二點與圓的位置關系】例3．已知點為圓外一點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合點在圓外條件，及表示圓的方程可得答案.【詳解】因在圓外，則，得.又表示圓，則，得.綜上：.故選：D例4．若無論實數(shù)取何值，直線與圓相交，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二元二次方程表示圓的條件及點與圓的位置關系即得.【詳解】由圓，可知圓，∴，又∵直線，即，恒過定點，∴點在圓的內部，∴，即，綜上，.故選：A.判斷點與圓的位置關系的方法：判斷點與圓的位置關系的方法：（1）計算該點與圓的圓心距離，與半徑做比較即可；（2）把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的符號，并做出判斷．【跟蹤練習】練習1．若圓：過坐標原點，則實數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)圓的一般方程的定義，結合過原點列方程即可求解.【詳解】∵表示圓，∴∴.又圓過原點，∴，∴或（舍去）；.故選:C.練習2．已知點在圓的外部，則k的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件以及點在圓外，列出不等式求解，即得答案.【詳解】由題意圓滿足，點在圓的外部，得，即的取值范圍是故答案為：練習3．若點在圓內，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由關于的二次方程表示圓可得或，又由點在圓內可得，取交集即可.【詳解】解：由題可知，解得或，又因為點在圓內，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.練習4．過點可作圓的兩條切線，則實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】由題意可知，方程表示圓，點在圓外，列出不等式組，求解即可.【詳解】因為方程表示圓，過點可作圓的兩條切線，則點在圓外，所以，解得：.故答案為：.【重難點三直線與圓的位置關系】例5．若點在圓上，則直線與圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切C．相交 D．不確定【答案】B【分析】利用點線距離公式求圓心與直線的距離，結合半徑長即可判斷直線與圓的位置關系.【詳解】由圓的圓心為，半徑為2，所以到直線的距離，又在圓上，則，故，所以直線與圓相切.故選：B例6．已知圓上有四個點到直線的距離等于1，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】若圓上有4個點到直線的距離等于1，則到直線的距離小于1，代入點到直線的距離公式，可得答案.【詳解】由圓的方程，可得圓心為原點，半徑為2，若圓上有4個點到直線的距離等于1，則到直線的距離小于1，又直線的一般方程為，，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.判斷直線與圓位置關系的兩種方法：判斷直線與圓位置關系的兩種方法：（1）幾何法：由圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系判斷．（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．【跟蹤練習】練習1．已知點在圓內，則直線與圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，由點到直線的距離公式即可判斷直線與圓的位置關系.【詳解】因為點在圓內，則，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離.故選：C練習2．已知，則圓與直線的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】B【分析】由題意，可判斷直線恒過定點，而此點在圓的內部，故可得直線與圓的位置關系.【詳解】，直線轉化為，所以直線恒過定點，由，所以點在圓內，故直線與圓相交.故選：B.練習3．直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先由得，表示以為圓心，以為半徑的半圓，畫出圖像，由圖像，根據(jù)直線與圓位置關系，即可得出結果.【詳解】由得，表示以為圓心，以為半徑的半圓，其圖象如下：由圖像可得，當直線過點時，直線與曲線恰有一個公共點，此時；當直線過點時，直線與曲線恰有兩個公共點，此時；當直線與半圓切于半圓的右側時，只需圓心到直線的距離等于半徑，即，且，解得，因此，由圖像可得，為使直線與曲線恰有一個公共點，實數(shù)b的取值范圍為.故選：D.練習4．若直線與兩個圓都相離，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相離則圓心到直線的距離大于半徑可求解.【詳解】點到直線的距離，解得．點到直線的距離，解得．故的取值范圍是．故答案為：【重難點四圓的切線問題】例7．已知圓在點處的切線上一點在第一象限內，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圓的切線方程及基本不等即可求解．【詳解】易知圓在點處的切線的方程為，所以，，，所以，當且僅當，時，等號成立．所以的最小值為.故選：C.例8．已知直線，圓，若過l上一點A向圓C引切線，則切線長的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的性質，得到直線l上的點A到圓心C的距離最小時，切線長最小，結合點到直線的距離公式和圓的切線長公式，即可求解.【詳解】由圓的性質，可得當直線l上的點A到圓心C的距離最小時，切線長最小，因為圓，可得圓心，半徑為，則圓心到直線的距離為，即，所以切線長的最小值為.故選：D.求切線方程的常用方法求切線方程的常用方法（1）求過圓上一點的圓的切線方程的方法先求切點與圓心的連線所在直線的斜率，再由垂直關系知切線的斜率為，由點斜式方程可得切線方程．若或不存在，則切線的斜率不存在或為0，從而可直接得切線方程為或.（2）求過圓外一點的圓的切線方程的方法設切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出．注意：過圓外一點的切線必有兩條，當求得的值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數(shù)形結合求出．【跟蹤練習】練習1．已知圓心為的圓經過.兩點，且圓心在直線上(1)求的標準方程；(2)過點作的切線，求切線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設圓心，根據(jù)，可得，解得的值，可得圓心的坐標和半徑CA，從而得到圓C的方程．（2）分斜率是否存在進行討論，斜率存在時由點斜式設出直線方程，圓心到切線的距離等于半徑，得到方程，注意斜率不存在的情況．【詳解】（1）∵圓心C在直線上，設圓心，∵圓C經過點，

∴∴，解得,∴圓心C(?3,?2)，半徑，∴圓C的方程為（2）若直線的斜率存在時，設所求的切線方程的斜率為，則切線方程為，即，又圓心到切線的距離又由，即，解得∴所求的切線方程為或若直線的斜率不存在時，即不滿足要求.∴綜上所述，所求的切線方程為或練習2．已知圓：．(1)過圓外一點引圓的切線，求切線方程和切線長；(2)設點是直線上的一點，過點作圓的切線，切點是，求的面積最小值以及此時點的坐標．【答案】(1)切線方程為或，切線長為1(2)的面積最小值為2，此時【分析】（1）由題意，利用分類討論的解題思想，結合切線的性質以及點到直線的距離公式，根據(jù)勾股定理，可得答案；（2）由題意，利用數(shù)形結合的解題思想，求得點，可得答案.【詳解】（1）由題意，可作圖如下：

當切線斜率存在時，設切線的方程為，即，圓心到切線的距離是，，解得，切線方程為，即．當切線斜率不存在時，又與圓也相切，故所求切線方程為和．由圓的性質可知，切線長為．（2）由題意，可作圖如下：（3）（4）

當時，的面積最小值．又因為，所以直線的方程為．由，解得，即點的坐標為．此時的面積最小值為．練習3．已知圓求過點且與圓相切的直線方程．【答案】或【分析】根據(jù)圓切線的斜率是否存在分類討論進行求解即可.【詳解】由可知該圓的的圓心為，半徑為，當過點且與圓相切的直線不存在斜率時，方程為，因為，所以直線與圓相切，符合題意；當過點且與圓相切的直線存在斜率時，設為，方程為，所以有，即，綜上所述：圓相切的直線方程為或故答案為：或練習4．（忽視割線斜率不存在）已知圓，過點的切線方程是；過點的切線方程是.【答案】或【分析】求出圓的圓心和半徑，判斷點的圓的位置關系，再借助直線方程的點斜式求出切線方程；判斷點的圓的位置關系，分斜率存在與否求出切線方程作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點在圓上，直線斜率為，因此過點的圓的切線斜率為，方程為，即；顯然點在圓外，圓心到直線的距離為5，即直線是圓的切線，當切線斜率存在時，設切線方程為，即，于是，解得，切線方程為，即，所以過點的切線方程是或.故答案為：；或【重難點五圓的弦長問題】例9．已知圓，若過點的直線與圓相交于，兩個不同點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設，圓的圓心為，分析圓的圓心以及半徑，求出到直線的距離，由直線與圓的位置關系可得當最大時，弦長最小，而的最大值為，據(jù)此計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，則，

當最大時，弦長最小，在圓內部，故的最大值為，則的最小值為.故選：B．例10．已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負半軸上.(1)求圓的方程；(2)已知直線與圓相交于兩點，且的面積為8，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切,根據(jù)點到直線距離公式求出圓心,再應用圓的標準方程即可;（2）根據(jù)幾何法求弦長,再結合面積公式計算即可.【詳解】（1）由已知可設圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.（2）設圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或由于半徑由于半徑r、弦長距d、弦長l的一半構成直角三角形，所以利用求解【跟蹤練習】練習1．已知圓的圓心為原點，斜率為1且過點的直線與圓相切(1)求圓的方程；(2)過的直線交圓于、，若面積為，求直線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）過點且斜率為1的直線方程，再求出圓心到直線的距離即圓的半徑，從而得到圓的方程；（2）設到直線的距離為，由面積求出，再分斜率存在與斜率不存在兩種情況討論.【詳解】（1）過點且斜率為1的直線為，則圓心到直線的距離，所以半徑，則圓的方程為；（2）設到直線的距離為，則，解得，若直線斜率不存在，方程為，滿足題意；若直線斜率存在，設為，直線的方程為，因為，所以，解得，直線的方程為，即；綜上，直線方程為或.

練習2．直線被圓截得的最短弦長為.【答案】【分析】求出直線過定點，當時直線被圓截得的最短弦長，從而求出最短弦長.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，因為，當時直線被圓截得的最短弦長，最短弦長為.

故答案為：練習3．已知圓，圓的弦被點平分，則弦所在的直線方程是．【答案】【分析】求出圓心和半徑，根據(jù)垂徑定理得到⊥，從而求出，得到弦所在直線方程.【詳解】圓變形為，圓心為，半徑為2，因為圓的弦被點平分，所以⊥，其中，故，所以弦所在的直線方程是，即.故答案為：練習4．已知點，是圓C上的兩點，寫出滿足“被直線截得的弦長為”的一個圓C的標準方程.【答案】（答案不唯一）【分析】計算，確定垂直平分線方程，計算平行直線的距離得到圓半徑，確定圓心得到圓方程.【詳解】，則的垂直平分線斜率為，且過中點，故垂直平分線方程為，即，和平行，平行直線的距離為，故圓半徑，取圓心為滿足條件，故.故答案為：.【重難點六圓與圓的位置關系】例11．圓與圓的位置關系不可能是（

）A．內含 B．相交 C．外切 D．內切【答案】C【分析】利用圓的圓心在圓的內部，進行判斷即可.【詳解】圓的標準方程為，因為，所以圓的圓心在圓的內部，所以兩圓的位置關系不可能是外切．故選：C例12．已知圓：與圓：外離，則的取值范圍（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】先根據(jù)圓的方程得到兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓的位置關系為外離得到圓心距大于半徑之和，進而列出不等式可得.【詳解】圓：，圓心坐標為，半徑為圓：即，則，圓心坐標為，半徑為，因圓與圓外離，所以圓心距大于半徑之和，即，得，故選：D判斷圓判斷圓與圓的位置關系的一般步驟：①將兩圓的方程化為標準方程；②分別求出兩圓的圓心坐標和半徑；③求兩圓的圓心距；④比較與的大?。虎莞鶕?jù)大小關系確定圓與圓的位置關系．【跟蹤練習】練習1．已知圓，圓，如果這兩個圓有且只有一個公共點，則常數(shù).【答案】或0【分析】根據(jù)題意，分兩圓內切與外切，即可得到結果.【詳解】∵兩個圓有且只有一個公共點，∴兩個圓內切或外切，當兩圓內切時，可得，當兩圓外切時，可得，∴或0.故答案為：或0練習2．已知直線與圓始終有公共點，則圓與圓的位置關系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內切【答案】B【分析】求出圓與圓的圓心和半徑，由直線與圓始終有公共點，求出的范圍即可判斷得解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，直線與圓始終有公共點，得，解得，因此，而，顯然，所以圓與圓相離.故選：B練習3．（多選）已知，圓O：與圓：，則圓O與圓M的位置關系可能是（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】CD【分析】分別求出圓心坐標與半徑，再求出兩圓的圓心距，根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的關系即可得出結論．【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，圓O與圓M的半徑之和為，因為，所以，即，所以圓O與圓M的位置關系是外切或外離，故選：CD．練習4．若是圓上一動點，是圓上一動點，則的最小值是.【答案】【分析】首先判斷圓與圓之間的位置關系，然后根據(jù)點與點之間的距離求解；【詳解】圓的圓心，半徑,圓的圓心半徑，所以兩圓的位置外離，又在圓上，在圓上，則的最小值為，故答案為：5.【重難點七兩圓的公共弦和公切線問題】例13．“”是“圓與圓不存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用兩圓內含的定義以及充分必要條件關系判斷即可.【詳解】當兩圓無公切線時，即兩圓內含，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以兩圓的圓心距，則，解得，所以是圓與圓不存在公切線的既不充分也不必要條件.故選：D.例14．（多選）已知與相交于A，B兩點，則下列結論正確的是（

）．A．直線AB的方程為B．過A，B兩點，且過點的圓的方程為C．與的公切線的長度為D．以線段AB為直徑的圓的方程為【答案】AD【分析】由圓與圓的位置關系，直線方程，圓的方程對選項逐一判斷，【詳解】由解得或，即，，對于A，直線AB的方程為，故A正確，對于B，設過A，B兩點，且過點的圓的方程，得，解得，圓的方程為，故B錯誤，對于C，的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為2，兩圓半徑相等，則與的公切線的長度為，故C錯誤，對于D，中點為，，則以線段AB為直徑的圓的方程為，故選：AD【跟蹤練習】練習1．（多選）已知圓和圓相交于A，兩點，則下列說法正確的是（

）A．B．直線的方程為C．線段的長為D．到直線的距離與到直線的距離之比為【答案】ABC【分析】利用圓的性質可判定A項，利用兩圓的公共弦方程公式計算可判定B項，利用弦長公式可判定C項，利用點到直線的距離公式可判定D項.【詳解】對于A項，因為兩個圓相交，所以圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對于B項，因為圓和圓相交于A，兩點，所以兩圓方程相減得到，即，故B正確；對于C項，圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對于D項，因為圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯誤．故選：ABC．練習2．（多選）已知圓，圓（

）A．若，則圓與圓相交且交線長為B．若，則圓與圓有兩條公切線且它們的交點為C．若圓與圓恰有4條公切線，則D．若圓恰好平分圓的周長，則【答案】AD【分析】A、B將圓化為標準形式，確定圓心和半徑，判斷圓心距與兩圓半徑的關系，再求相交弦長判斷；C由題意知兩圓相離，根據(jù)圓心距大于兩圓半徑之和及圓的方程有意義求參數(shù)范圍；D由題意相交弦所在直線必過，并代入相交弦方程求參數(shù)即可.【詳解】A：時圓，則，半徑，而圓中，半徑，所以，故，即兩圓相交，此時相交弦方程為，所以到的距離為，故相交弦長為，對；B：時圓，則，半徑，同A分析知：，故兩圓相交，錯；C：若圓與圓恰有4條公切線，則兩圓相離，則，而圓，即，所以，錯；D：若圓恰好平分圓的周長，則相交弦所在直線必過，兩圓方程相減得相交弦方程為，將點代入可得，對.故選：AD練習3．兩相交圓與的公共弦所在的直線方程為，以公共弦為直徑的圓的方程為.【答案】【分析】將兩圓的方程相減即可得公共弦所在的直線方程；設所求圓的方程為：，得圓心，代入直線，求解即可.【詳解】解：將與的方程相減，得，即兩圓的公共弦所在直線方程為：；因為不在直線上，所以設所求圓的方程為：，即：，其圓心，因為圓心在直線上，所以，解得，故所求方程為，即.故答案為：；練習4．已知圓與圓(1)求經過圓與圓交點的直線方程：(2)求圓與圓的公共弦長．【答案】(1)(2)【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共弦所在直線的距離，根據(jù)弦長的幾何求法即可求得答案.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經過圓與圓交點的直線方程為；（2）圓的圓心為，半徑為1，到直線的距離為，故圓與圓的公共弦長為.【重難點八與圓有關的軌跡問題】例15．已知點，點在的圓周上運動，點滿足，則點的運動軌跡圍成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，由動點轉移法求得點軌跡方程，由方程確定軌跡后可得面積．【詳解】設，，由得是線段中點，∴，又在圓上，，即，∴點軌跡是半徑為1的圓，面積為，故選：A．例16．在平面直角坐標系中，圓C過點，且圓心C在上．(1)求圓C的方程；(2)若點D為所求圓上任意一點，定點E的坐標為，求直線DE的中點M的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設出方程，將點坐標代入得到關于參數(shù)的方程組，通過解方程組得到參數(shù)值，從而確定其方程；（2）首先設出點M的坐標，利用中點得到點D坐標，代入圓的方程整理化簡得到的中點M的軌跡方程.【詳解】（1）由已知可設圓心，又由已知得，從而有，解得：．于是圓C的圓心，半徑．所以，圓C的方程為,（2）設，則由M為線段ED的中點得：，解得，又點D在圓C：上，所以有，化簡得：．故所求的軌跡方程為．求軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：根據(jù)題目條件，建立關于動點的幾何關系，再利用有關公式(如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等)進行整理、化簡．（2）代入法：如果動點依賴于另一動點，而又按某個規(guī)律運動，則可先用表示，再把代入它滿足的條件便得到動點的軌跡方程．【跟蹤練習】練習1．已知定點，點B為圓上的動點．(1)求AB的中點C的軌跡方程：(2)若過定點的直線與C的軌跡交于M，N兩點，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設，由中點坐標公式得出點的坐標，代入，即可得到的軌跡方程；（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，驗證是否滿足題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，利用圓心距，半徑，半弦長的關系，即可求解.【詳解】（1）設點的坐標為，則點的坐標為，點為圓上的動點，化簡得，故的軌跡方程為．（2）由圓可得，圓心坐標為，半徑，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是，所以，滿足條件；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，化簡得，因為，故圓心到直線的距離，由圓心到直線的距離公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或．

練習2．已知平面內兩個定點A，B及動點P，若（且），則點P的軌跡是圓．后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，直線：，直線：，若P為，的交點，則的最小值為．【答案】/【分析】先通過直線和過的定點以及垂直關系求出點軌跡，然后根據(jù)阿波羅尼斯圓的特點找到使恒成立的點，最后根據(jù)兩點之間線段最短求最小值即可.【詳解】直線：即，過定點直線：即，過定點又，故，則點在以線段為直徑的圓上，即點的軌跡為，即，假設存在點，使恒成立，設則，整理得，與的軌跡對照得，解得，即存在點，使，即，所以，即的最小值為.故答案為：.練習3．設為坐標原點，，若上存在點，使得，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用兩點距離公式先求得P軌跡方程，結合圓的位置關系計算即可.【詳解】設點，由，可知，整理可得點的軌跡方程為，即與存在交點，易知，圓心距為，因此，解得．故答案為：.練習4．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，若動點P滿足．(1)求動點P的軌跡方程；(2)若直線l過點M，且點N到直線l的距離為1，求直線l的方程，并判斷直線l與動點P的軌跡方程所表示的曲線C的位置關系．【答案】(1)(2)；相交【分析】（1）設點P坐標，直接代入，整理可得動點P的軌跡方程.（2）設出直線l的方程，由點N到直線l的距離為1，可計算得直線l的方程，再根據(jù)（1）問所得曲線C為圓，由圓心到直線的距離可判斷兩者位置關系.【詳解】（1）設，由題意得.又，N（1，0），所以，整理得.故動點P的軌跡方程為.（2）顯然圓的圓心坐標為C（2，0），半徑為，當直線l的斜率不存在時，不符合題意.設直線l的方程為，即因為點N到直線l的距離為1，所以，解得，所以直線l的方程為，即，所以圓心C到直線l的距離為，因為，所以直線l與曲線C相交.【重難點九圓的最值問題】例17．已知是實數(shù)，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切時直線的斜率取到最值，即可求解.【詳解】實數(shù)，滿足方程，即，表示以為圓心，半徑等于的圓．過原點作圓的切線，由，求得，由于可看作時圓上一點與原點的斜率，故其最大值為，的最小值為，故選：A

例18．（多選）已知圓，直線，點P在直線l上運動，直線PA，PB分別切圓C于點A，B．則下列說法正確的是（

）A．四邊形PACB的面積最小值為 B．M為圓C上一動點，則最小值為C．的最小值為 D．最短時，PC長度最短【答案】ACD【分析】對于選項ACD：根據(jù)切線性質可知，，結合圓的性質分析求解；對于B：根據(jù)圓的性質結合點到直線的距離分析求解.【詳解】對于選項ACD：由切線長定理可得，且，則，所以四邊形的面積，因為，可知取到最小值等價于取到最小值，等價于取