【備戰(zhàn)2021-專項突破】專題10.2-全等三角形、相似三角形、勾股定理（2）（解析版）

專題10.2全等三角形、相似三角形、勾股定理備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)精選考點專項突破卷（2）一、單選題1．如圖，△ACB≌△A'C'B'，∠ACB=70°,∠ACB'=100°,則∠BCA'的度數(shù)為(

)A．30° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ACB≌△A'C'B'，∠ACB=70°，∴∠ACB=∠A′CB′=70°，又∵∠ACB'=100°，∴∠BCB'=∠ACB'-∠ACB=100°-70°=30°，∴∠BCA′=∠B′CA′-∠B′CB=70°-30°=40°.故答案為C.【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，直線a∥b∥c，則下列結(jié)論不正確的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理定理列出比例式，判斷即可．【詳解】A、∵a∥b∥c，∴，本選項結(jié)論正確，不符合題意；B、∵a∥b∥c，∴，本選項結(jié)論正確，不符合題意；C、∵a∥b∥c，∴，本選項結(jié)論正確，不符合題意；D、連接AF，交BE于H，∵b∥c，∴△ABH∽△ACF，∴，本選項結(jié)論不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，AD＝3，BE＝1，則BC的長是（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，進(jìn)而得出△CEB≌△ADC，就可以得出AD＝CE，再利用勾股定理就可以求出BC的值．【詳解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴CE＝AD＝3，在Rt△BEC中，，故選D．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC長是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】過點作于，然后利用的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：過點作于，是的角平分線，，，，解得．故選：．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE，交BC于點M；分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P、Q，作直線PQ，交BC于點N；連接AM、AN．則MAN的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．13【答案】C【分析】根據(jù)題意由作圖可知，DE垂直平分線段AB，PQ垂直平分線段AC，推出MA＝MB，NA＝NC即可解決問題．【詳解】解：由作圖可知，DE垂直平分線段AB，PQ垂直平分線段AC，∴MA＝MB，NA＝NC，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故選：C．【點睛】本題考查基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意并靈活運用垂直平分線段性質(zhì)解決問題．6．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，連接BC1，則BC1的長為（）．A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=AC1，∠BAC1=90°，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【詳解】∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，∴AC=AC1=2，∠CAC1=60°，∵AB=3，AC=2，∠BAC=30°，∴∠BAC1=90°，∴在Rt△BAC1中，BC1=．故選B．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時注意：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．7．如圖所示，已知在三角形紙片ABC中，BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，在AC邊上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，則DE的長度為（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．9【答案】A【分析】利用勾股定理列式求出，再利用翻折的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，∴AB＝＝＝15，由翻折的性質(zhì)得，AE＝DE，AB＝BD＝15，∴CD＝BD﹣BC＝6，在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，即62+（12﹣DE）2＝DE2，解得DE＝7.5．故選：A．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)翻折前后的兩個圖形能夠重合得到相等的線段并轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此類題目的關(guān)鍵．8．如圖，四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積為（）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】由題意在BC上截取一點E使得BE=BA,并連接DE，證得進(jìn)而求出和即可求出四邊形的面積．【詳解】解：由題意在BC上截取一點E使得BE=BA,并連接DE，∵平分，∴，∵，∴,,∵，，，，∴,∴,,∴四邊形的面積為:;故選：C．【點睛】本題考查四邊形綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和角平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4．在邊BC上取一點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與以C、D、P為頂點的三角形相似，甲認(rèn)為這樣的點P只存在1個，乙認(rèn)為這樣的點P存在不止1個，則（）A．甲的說法正確 B．乙的說法正確C．甲、乙的說法都正確 D．甲、乙的說法都不正確【答案】B【分析】分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP兩種情況討論可分別得到和，均可求出BP值，可得點P有2個.【詳解】解：∵AB∥DC，∠ABC＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，如圖，①若△ABP∽△PCD，則，即，解得：BP＝2；②若△ABP∽△DCP，則，即，解得：BP＝；所以這樣的點P有2個，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，靈活的利用有一個角相等且這個角兩邊的線段對應(yīng)成比例的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵.10．如圖，在中，點，分別是，的中點，與交于點，連接．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正確的個數(shù)有（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】由點D，E分別是邊AC，AB的中點知DE是△ABC的中位線，據(jù)此知DE∥BC且，從而得△ODE∽△OBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一判斷可得．【詳解】解：∵點D，E分別是邊AC，AB的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BC且，∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，∴△ODE∽△OBC，∴，故，故①正確；∴，又∵，∴，故②正確；，故③正確；，故④正確；故4個結(jié)論均正確，故選：A；【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題11．如圖，AB=DE，AB∥DE．請?zhí)砑右粋€條件____________使△ABC△DEF．【答案】BC=EF或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，∠B=∠DEF，具備了一組邊和一組角對應(yīng)相等，還缺少邊或角對應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法及圖形進(jìn)行選擇即可．【詳解】要使△ABC≌△DEF，已知∠B=∠DEF，AB=DE，則可以添加BC=EF，運用SAS來判定其全等；

也可添加一組角運用AAS來判定其全等，如∠A=∠D，或∠ACB=∠DFE．

故答案為：BC=EF或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)健．12．一棵垂直于地面的大樹在離地面6m處折斷，樹的頂部落在離大樹底部8m處，大樹折斷之前的高度是________．【答案】16m【分析】在折斷的大樹與地面構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜邊的長，進(jìn)而可求出大樹折斷之前的高度．【詳解】解：如圖，

在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，

由勾股定理，得：AC===10(米)，

∴AC+AB=10+6=16米，即大樹折斷之前有16米高．

故答案為：16米．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是在直角三角形ABC中運用勾股定理求出AC的長．13．已知，則______．【答案】．【分析】根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積解答即可．【詳解】∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，可根據(jù)比例的基本性質(zhì)直接求解．14．如圖，線段CD兩個端點的坐標(biāo)分別為C（1，2）、D（2，0），以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，若點B坐標(biāo)為（5，0），則點A的坐標(biāo)為__________．【答案】（2.5，5）．【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對應(yīng)點坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出A點坐標(biāo)．【詳解】解：∵以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)，將線段CD放大得到線段AB，∴B點與D點是對應(yīng)點，則位似比為：5：2，∵C（1，2），∴點A的坐標(biāo)為：（2.5，5）故答案為（2.5，5）．【點睛】本題考查位似圖形的應(yīng)用，熟練掌握位似圖形的相似比和兩點間的距離公式是解題關(guān)鍵．15．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BD∥AC，且BD＝BC過點D作DE⊥BC，垂足為E．若CE＝2，則BD的長為_______．【答案】17【分析】依據(jù)AAS證明△BED≌△CAB得DE=AB=8，設(shè)BE=x，則BD=x+2，由勾股定理列方程求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵BD//AC，∴∠ACB=∠EBD，∵DE⊥BC，∴∠DEB=90?∴∠A=∠DEB在△ABC和△EBD中∴△BED≌△CAB(AAS)∴DE=AB=8設(shè)BD=x，則BE=x-2在Rt△BED中，由勾股定理得，，即：解得，x=17，即BD=17，故答案為：17．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，得出DE=AB=8是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖，AB⊥CD，且AB=CD，E，F(xiàn)是AD上兩點，CF⊥AD，BE⊥AD．若CF=8，BE=6，AD=10，則EF的長為__________________．【答案】4【分析】只要證明△ABE≌△CDF，可得AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，再根據(jù)線段的和與差求出ED的值，最后求出EF的值．【詳解】解：∵AB⊥CD，CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，∵AD=10，∴ED=AD-AE=10-8=2∴EF＝FD-ED=6-2=4，故答案為4．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．17．在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，則木竿PQ的長度為_______m．【答案】2.4【分析】過N點作ND⊥PQ于D，先根據(jù)同一時刻物高與影長成正比求出QD的影長，再求出PQ即可．【詳解】解：如圖，過N點作ND⊥PQ于D，

∴，

又∵AB=2，BC=1.5，DN=PM=1.2，NM=0.8，

∴，∴QD=1.6，

∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4（m）．

故答案為：2.4．【點睛】在運用相似三角形的知識解決實際問題時，要能夠從實際問題中抽象出簡單的數(shù)學(xué)模型，然后列出相關(guān)數(shù)據(jù)的比例關(guān)系式，從而求出結(jié)論．18．如圖，是的高，，點在邊上，點在邊上，，垂足為，當(dāng)時，則_________．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵是的高，∴BC⊥AD∵∴SR//BC∴△ASR∽△ABC∴∵∴，即∴，即．故答案為：．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握并運用定理與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰好落在邊AD上的點F處，點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰好落在線段BF上的H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【分析】①根據(jù)折疊、矩形的性質(zhì)進(jìn)行推理即可；②根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊的比計算分析即可；③由矩形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定定理計算分析即可；④由矩形的性質(zhì)可得CD的長，根據(jù)CE＝CD﹣ED求得CE的值，則可求得答案．【詳解】解：①由折疊的性質(zhì)可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．故①正確；②由折疊的性質(zhì)可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴＝＝＝，∴2S△BFG＝5S△FGH；故②正確；③∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝＝8，設(shè)GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AG＝3，∴FD＝2；同理可得ED＝，∴＝＝2，＝＝，∴≠，∴△ABG與△DEF不相似，故③錯誤；④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴＝，∴4CE＝5ED．故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論的序號為①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知中，，，直角的頂點是中點，兩邊．分別交．于點．，給出下列四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④四邊形的面積隨著點．的位置不同發(fā)生變化，當(dāng)在內(nèi)繞頂點旋轉(zhuǎn)時（點不與．重合），上述結(jié)論中始終正確的有________（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）．【答案】①②【分析】利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷．【詳解】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠APE＝∠CPF，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中點，

∴AP＝CP，

又∵AP＝CP，∠EPA＝∠FPC，∠EAP＝∠FCP＝45°

∴△APE≌△CPF（ASA），同理可證△APF≌△BPE，

∴AE＝CF，△EPF是等腰直角三角形，S四邊形AEPF＝S△ABC，①②正確，④錯誤，四邊形的面積是固定的；

∵旋轉(zhuǎn)過程中，EF的長度的變化的，故EF≠AB，③錯誤，

始終正確的是①②，

故答案為：①②．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的中位線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．三、解答題21．已知：如圖，是的中點，，．求證：．【答案】見解析【分析】由中點定義得AM=BM，在利用SAS判定兩個三角形全等證明即可．【詳解】解：∵是的中點，∴在和中．【點睛】本題考查SAS定理及其應(yīng)用，觀察圖形，找出圖中隱含的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．22．已知：如圖，在中，為的中點，，垂足分別為，且．（1）求證：；（2）若，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)已知利用HL定理證明，即可得證；（2）連接AD，利用HL定理易得證，根據(jù)已知數(shù)據(jù)利用分割法即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的中點，∴，∵，垂足分別為，∴，在與中∴，∴．（2）解：連接，∵，垂足分別為，∴，在與中∴，∴，∴，又∵∴．【點睛】本題主要考查直角三角形全等證明．掌握HL定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，是本題的解題關(guān)鍵．23．如圖，在中，于點為上的點，．（1）求證：（2）若求的長．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）由題意可得AD=DP，由“HL”可證Rt△ADB≌Rt△PDC，可得結(jié)論；

（2）可求∠CPD=60°，∠PCD=30°，由直角三角形的性質(zhì)可求PB的長．【詳解】解：（1）∵BD⊥AC，∠PAC=45°，

∴∠DPA=∠PAC=45°，

∴AD=DP，且AB=CP，

∴Rt△ADB≌Rt△PDC（HL），

∴CD=BD；

（2）∵，∠DPA=45°，

∴∠CPD=60°，

又∵BD⊥AC，

∴∠PCD=30°，∵AB=CP，∴CP=2，∴PD=1，

∴CD=．∴BD=，∴PB=.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，熟練運用全等三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．24．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，點D在AB上，且BD＝CD．（1）求BD的長．（2）求△BDC的面積．【答案】（1）BD＝cm；（2）cm2．【分析】（1）由勾股定理逆定理判斷出∠BAC＝90°，設(shè)BD＝CD＝xcm，則AD＝(8－x)cm，對Rt△ADC由勾股定理列方程，解出x，即可求出BD；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，設(shè)BD＝CD＝xcm，則AD＝(8－x)cm．在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2＋AC2＝CD2，即(8－x)2＋62＝x2，解得x＝，即BD＝cm．（2）S△BDC＝BD·AC＝××6＝cm2．【點睛】此題考查的是勾股定理及逆定理，本題關(guān)鍵在于設(shè)出未知數(shù)，借助勾股定理列方程求解．25．如圖，在平行四邊形中，過點作垂足為，連接為線段上一點，且．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出∠C+∠B=180°、∠ADF=∠DEC，結(jié)合∠AFD+∠AFE=180°（鄰補(bǔ)角互補(bǔ)）、∠AFE=∠B（已知）即可得出∠AFD=∠C，進(jìn)而可證出△ADF∽△DEC；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出CD=AB=8，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入各線段長度可求出DE的長度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB=8．

∵△ADF∽△DEC，∴∴DE=16．

∵AD∥BC，AE⊥BC