高中數(shù)學(xué)《第3章 不等式》單元測試卷(二)(含解析)

高中數(shù)學(xué)《第3章不等式》單元測試卷(二)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知集合4={%|%—1<0},8={%設(shè)2—5工一6<0},則408=()

A.(—oo,l)B.(-6,1)C.(—1,1)D.(-8,6)

2.若。=2。汽b=log20.3,c=log32,則實數(shù)m2c之間的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

3.設(shè)集合M=-2%-3工0},N=[-2,0,2},則MnN=()

A.{0}B.{-2,0}C.{0,2}D.{-2,0,2}

4.若關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(l,+8),則關(guān)于尤的不等式箸>0的解集是()

A.(-00,-1)0(2,4-00)B.(-1,2)

C.(—1,2)D.(―8,1)u(2,+8)

5.對任意實數(shù)x,不等式/+bx+b>0恒成立，則b的取值范圍為()

A.(-oo,0]U[4,4-00)B.[0,4]

C.(0,4)D.(—oo,0)U(4,+oo)

6.已知集合，=區(qū)％威忖^虎第圖黑署/,腐=黑姆”濤:幽髓:善遇，則集合B中的點

所形成的圖形的面積為()

N氟D解「4__3

A.D.—,C.—D.—

434S

7.下列推理正確的是()

A.如果不買彩票，那么就不能中獎，因為你買了彩票，所以你一定中獎

B.因為a>b,a>c,所以a-b>a-c

C.若a,〃均為正實數(shù)，則Zga+IgbN[Iga,Igb

D.若。為正實數(shù)，ab<0,貝耳+常+*s_2后_=_2=_2

A.G叫凌B.遍曬》

c.C/D.G哪期3螺資球

9.已知正實數(shù)如〃滿足血+71=1,且使'+F取得最小值.若曲線y=/過點p（￡W）,則。的

值為（）

A.-1B.2C.2D.3

2

10.設(shè)落石,m為單位向量，且五.方=0，則口?（方+3）的最大值為（）

A.2B.V2C.1D.0

11.8.下列命題為真命題的是

A.已知G,b&R,則“七之《一？”是“4>。且》<?！钡某浞植槐匾獥l件

ab

B.已知數(shù)列2*｝為等比數(shù)列，則“出<牝”是“夕一：a5”的既不充分也不必要條件

C.已知兩個平面a,若兩條異面直線加，落滿足布二a,打uf且耀//p,為//a,則

a//P

D.三%e（-s,0）,使3%<4--成立

z當(dāng)

lX=1+

<2

^6（t為參數(shù)）與圓c：｛；二72甯（。為參數(shù)）的位置關(guān)系是（）

(y2+

v=2一

A.相離B.相切

C.相交且過圓心D.相交但不過圓心

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知函數(shù)y=loga（2x-1）4-l（a>0且aH1）的圖象過定點A,若點A也在函數(shù)f（x）=2%+b的

圖象上，則/*（k）g23）=.

14.若函數(shù)f（2x+l）的定義域為[一：,1],則函數(shù)/。一1）的定義域為.

2%—3y+2>0_?

15.對于不等式組3x-y—4W0的解（x,y）,當(dāng)且僅當(dāng)j二；時，z=;c+ay取得最大值，則實數(shù)

,x+2y+1>0U―

a的取值范圍是.

16,已知a>0,b>0,a+b=l,則此好的最小值為______.

ab

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

x-2

17.（/）討論函數(shù)=—/的單調(diào)性，并證明當(dāng)天>0時，（”2）/+x+2>0；

x+2

(〃)證明：當(dāng)ae[0,1)時，函數(shù)g(x)=g-^-a(x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為久a),

X

求函數(shù)43)的值域.

2x+a,r<1.，n、、

18.已知實數(shù)〃/!],函數(shù)/'(x)=??若川-a)=/(l+a)，求實數(shù)〃的值?

—x—2a>x?1.

19.我市大學(xué)生創(chuàng)業(yè)孵化基地某公司生產(chǎn)一種“儒風(fēng)鄒城”特色的旅游商品,該公司年固定成本為

10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元；設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該旅游商品x千件并全部銷售完,

10.8--,0<x<10

每千件的銷售收入為R(x)萬元，且滿足函數(shù)關(guān)系：R(%)=30

1081000、?八

------------,X>10

x3X2

(1)寫出年利潤勿(萬元)關(guān)于該旅游商品x(千件)的函數(shù)解析式;

(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在該旅游商品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？

20.某公司計劃2014年在A,B兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9

萬元.48兩個電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，假定A,B兩個電視

臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分

配在兩個電視臺做廣告的時間，才能使公司的收益最大?最大收益是多少萬元,

/4w

21.已知黃璘=faa：4..-——(：si細(xì)》且:電潛：!).

,旗一第

(I)求礴:的定義域;

(n)求使舞磁海郵的益取值范圍.

22.對于函數(shù).翼:礴，若存在實數(shù)對（璃微），使得等式負(fù)酗帶礴/翻-璘=覆對定義域中的每一個客

都成立，則稱函數(shù)礴是“（琢斯型函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù),鬣礴=寓是否為“（穌期）型函數(shù)”，并說明理由；

（n）若函數(shù)鬣礴=嫡是“（%g型函數(shù)”，求出滿足條件的一組實數(shù)對觸擷h,

（也）已知函數(shù)資礴是“（璃朋型函數(shù)”，對應(yīng)的實數(shù)對鮑?哪為跳嘴.當(dāng)/憚口I時，/德=?/

-堿:般-物/獺^哪，若當(dāng)常比鵬圈|時，都有：U域域匕可，試求懶的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案:D

解析：解：?.?集合4={x\x-1<0}=(x\x<1},

B=(x\x2—5x—6<0}={x|-1<x<6},

AVB={x}x<6}=(—oo,6).

故選：D.

求出集合A,B,由此能求出4UB.

本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：

本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，推出a,b,c的范圍，從而得到它們之間的關(guān)系.

03-1

解：由題意，可知a=2>2°=1,b=log20.3<log22=—1>0<c=log32<log33=1,

a>c>b.

故選：B.

3.答案：C

解析：解：M={x|-lWxW3},N={-2,0,2)；

MCN={0,2}.

故選：C.

可解出集合M,然后進(jìn)行交集的運算即可.

考查描述法、列舉法的定義，一元二次不等式的解法，以及交集的運算.

4.答案：A

解析：解：因為不等式ax-b>0的解集是(1,+8),所以a=b>0,

所以翳>0等價于(x+l)(x-2)>0,

所以x<-1或x>2

故選A.

關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+8),可解得a=b>0,然后解分式不等式即可.

本題考查了一次不等式與分式不等式的求解能力，分式不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

5.答案:C

解析：

對任意實數(shù)x,不等式/+必+b>0恒成立，只需△=爐一4b<0即可求出Z?的取值范圍.

本題考查二次函數(shù)在R中的恒成立問題，可以通過判別式法予以解決，也可以分離參數(shù)A分類討

論解決，與前法相比較復(fù)雜，屬于容易題.

解：；對任意實數(shù)x,不等式無2+bx+b>0恒成立，

?'?可得△=b2—4b<0,

所以解得0<b<4.

故選C.

6.答案：D

解析：試題分析：令卜破限急,做拈心：1

卜=醪

二感=除底門帝觥3簿更螂，甯更螺，8中的點形成如圖陰影部分,

考點：集合的概念，簡單線性規(guī)劃。

點評：小綜合題，理解集合的意義，明確集合中元素是什么，結(jié)合圖形分析，計算三角形的面積。

7.答案：D

解析：解：對于4如果不買彩票，那么就不能中獎.即使你買了彩票，你也不一定中獎，故A錯

誤；

對于B,因為a>b,a>c,但是a-b不一定大于a-c,故B錯誤；

對于C,Iga、Igb可能為負(fù)值，不滿足均值不等式成立條件；

對于。，“為正實數(shù)，ab<0,貝哈+*_（常+*s2后噂=_2=_2,故正確；

故選：D

A中，即使你買了彩票，你也不一定中獎；8中，a—b不一定大于a-c；C中，Iga、1g人可能為負(fù)

值；由均值定理知。正確.

本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運用.

8.答案：C

解析：試題分析：先將不等式盤:-筑殿-檄:沖旗轉(zhuǎn)化為盤:-墩拆--碑”：項，結(jié)合二次函數(shù)的圖像可

得二次不等式的解集為朝爭3：曲Y魔，選C.

考點：二次不等式.

9.答案：B

解析：解析：解：~+~^=(w+n)(~+~)=1+16+^-+>17+2=25?當(dāng)且僅

當(dāng)n=4m,即m=n=機(jī)寸取等號，.?.點「弓白，.[=(表/，...。=^.故選：B先根據(jù)基本不等

式等號成立的條件求出血，〃的值，得到點P的坐標(biāo)，再代入到函數(shù)的解析式中，求得答案.本題

考查了基本不等式的應(yīng)用以及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：B

解析：

本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

由題意可設(shè)之=(1,0),b=(0,1)，c=Ccos9,sin9),代入30+石)，利用輔助角公式化簡即可求得

2(五+尤)的最大值.

解：由區(qū)b>e為單位向量，且3.4=0,可設(shè)==(1,0),h=(0,1)>c=(cosd,sind),

c?(a.+b)=(cos6,sin6)■(1,1)

=sind+cosd=V2sin(6+^)<V2.

c-(a+方)的最大值為近.

故選：B.

11.答案：C

解析:

選項,4中，^=+2=9+")：。0=》6<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分條件，所以M錯；

選項B中，由得’"二°或<f<°,，可以推出。4<。5：但若。4<。5，則該

[q>l[0<9<1

數(shù)列有可能是擺動的等比數(shù)列，如：1,-1,1,-1,1,-1……，此時推不出外<%<生，

ax044

所以3錯；選項。中，當(dāng)x°<0時，-F7=(-)10>(-)°=l?3X9>4XS所以。錯.

故答案為C.

12.答案：D

解析：解：把圓的參數(shù)方程化為普通方程得：(x-2)2+(y-l)2=4,

???圓心坐標(biāo)為(2,1),半徑r=2,

把直線的參數(shù)方程化為普通方程得：x-y+l=0,

???圓心到直線的距離d=4===V2<r=2,

又圓心(2,1)不在直線x-y+1=0上，

則直線與圓的位置關(guān)系為相交但不過圓心.

故選：D.

把圓的方程及直線的方程化為普通方程，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離

d,判定發(fā)現(xiàn)“小于圓的半徑r,又圓心不在已知直線上，則直線與圓的位置關(guān)系為相交但不過圓心.

本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，及直線與圓的位置關(guān)系，其中直線與圓的位置關(guān)系為：(d為

圓心到直線的距離，r為圓的半徑)04d<r,直線與圓相交；d=r,直線與圓相切；d>r,直線

與圓相離，是基礎(chǔ)題.

13.答案：2

解析：解：因為函數(shù)y=loga(2x-1)+l(a>0且a力1)的圖象過定點4(1,1),

又因為點A也在函數(shù)/(x)=2*+b的圖象上，

所以2i+b=1,解得b=-1,

所以f(x)=2—1,

則/(Iog23)=2'°貝3-1=3-1=2.

故答案為：2.

X

先確定函數(shù)y=loga(2x-1)+l(a>0且a*1)的圖象過定點A坐標(biāo)，再代入函數(shù)/(x)=2+b解

得b,再求函數(shù)值.

本題考查函數(shù)恒過定點，函數(shù)值的計算，對數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：［1,4］

解析：解：?.?函數(shù)/(2x+l)的定義域為［一;,1］,即一;WxSl,

0<2x+1<3,即函數(shù)/(%)的定義域為［0,3］,

由0Sx—1S3,得1SxW4.

函數(shù)/Q-1)的定義域為［1,4］.

故答案為：［1,4］.

由已知函數(shù)的定義域求得f(x)的定義域，再由在f(x)的定義域內(nèi)求解x的范圍得答案.

本題考查函數(shù)的定義域及其求法，關(guān)鍵是掌握該類問題的求解方法，是基礎(chǔ)的計算題.

15.答案：(一［,+8)

2%-3y+2>0

解析：解：由不等式組3x-y-4<0作可行域如圖，

%+2y+1>0

3x-y-4=0

聯(lián)立窗解喉”穴2,2).

當(dāng)a=0時，目標(biāo)函數(shù)化為z=x,由圖可知，可行解(2,2)使2=芯+(1丫取得最大值，符合題意；

當(dāng)a>0時，由2=%+(1)/,得、=一；》+(，此直線斜率小于0，當(dāng)在y軸上截距最大時z最大,

可行解(2,2)為使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay的最優(yōu)解，符合題意;

當(dāng)a<0時，由2=%+<1丫，得y=-：x+i此直線斜率為正值，要使可行解(2,2)為使目標(biāo)函數(shù)z=

x+ay取得最大值的唯一的最優(yōu)解，則一}>%c=3,即a>—也

綜上，要使當(dāng)且僅當(dāng)［二:時，z=x+ay取得最大值，則實數(shù)”的取值范圍是(一1+8).

故答案為：(―+00).

由約束條件作出可行域，然后對。進(jìn)行分類，當(dāng)a20時顯然滿足題意，當(dāng)a<0時，化目標(biāo)函數(shù)為

直線方程斜截式，比較其斜率與直線3c的斜率的大小得到a的范圍.

本題考查線性規(guī)劃問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵

是化目標(biāo)函數(shù)為直線方程斜截式，由直線在y軸上的截距分析z的取值情況，是中檔題.

16.答案：5

解析：解：已知Q>0,6>0,a+&=1,

2

則mi-id-+-4-a=—1+,—4a=——a+b+,—4a=1.+.-b+,—4a>1+2-b---4-a=5_，

abababab7ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=|時等號成立.

故答案為：5.

首先把關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用均值不等式求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，均值不等式的應(yīng)用.主要考查學(xué)生的運算能力和

轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

17.答案：(/)證明：/。)=翳蜻

r(x)=eY言+看)=^

??,當(dāng)％6(-00,-2)U(—2,+8)時，—(%)>0

???，(%)在(一8,-2)和(-2,+8)上單調(diào)遞增

??.x>0時，±|/>/(0)=-1

即(x—2)e%+%+2>0

(ex-a)x2-2x(ex-ax-a)x(xex-2ex+ax+2a)(x+2)(^^-ex+a)

(〃)g'Q)=-------------------------------=------------------------------------X+2_____

ae[0,1]

由(1)知，當(dāng)X>0時，f(x)=三靖的值域為(-1,+8),只有一解使得

小…￡€[。,2]

當(dāng)％e(0,t)時,g'O)<0,g(x)單調(diào)減；

當(dāng)X6(t,+oo),g(x)>0,g(x)單調(diào)增；

h(a)==e'+(￡+l)淆/=生

2

tt2~t+2

記S)=《,

在te(o,2］時，k，(t)=今翳>0,

故k(t)單調(diào)遞增，

所以/i(a)=k(t)e《，芻

解析：(/)本題利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)單調(diào)性得到x>0時，言靖>/(0)=-1,

故得證.

(〃)該題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用，重點是掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，并能構(gòu)建新的函數(shù)

fc(t)=—,

使得在te(0,2］時，k(t)單調(diào)遞增，從而得到函數(shù)人(。)的值域.

18.答案：解：當(dāng)時，I-ad，1+故*1-0=2(1-。)+a=2-a，

/(l+0=?(l+a)-L=-l?3a,

所以l-a=-l-務(wù)，解得a=-］,不合，舍去.

當(dāng)ad時，1-八1，1+火1，故川-a)=-(l-a)?2a=-l-a，

/(l+a)=2(l+a)+a=2+3a,

3

所以-l-a=2+%，解得。=-巳.

4

3

綜上，〃的值為一已.

4

解析：略

19.答案：解：(1)依題意，知當(dāng)0<x410時，W=%/?(%)-(10+2.7x)=8.1%--10,

當(dāng)x>10時，W=xR(x)-(10+2.7%)=98-噤-2.7x,

Z3

8.1%---10,0<x<10

：，W=<30

cc1000_、?八

98----------2n.7%,x>10

k3x

(2)①當(dāng)0cx<10時，由(I)得W，=8.1-^=(9+7,T),

2

令W，=8.1-二=0,得x=9.

10

???當(dāng)x€(0,9)時，Wf>0；當(dāng)％E(9,10)時，勿'<0,

???當(dāng)X=9時，有“nax=8.1X9———10—38.6.

②當(dāng)x>10時，VIZ=98-(―+2.7%)<98-2I—X2.7x=38,

3%3%

當(dāng)且僅當(dāng)噤=2.7x,即％=當(dāng)時，勿=38.

綜合①、②知，當(dāng)x=9時，W取得最大值.

即當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在該旅游商品生產(chǎn)中獲得的年利潤最大.

解析：(1)當(dāng)0<久W10時，W=x/?(x)-(10+2.7x)=8.1尤一，一10,當(dāng)x>10時，W=x/?(x)-

(10+2.7x)=98—噗—2.7x,由此能求出年利潤加(萬元)關(guān)于該特許商品x(千件)的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)0<xW10時，由"=8.1-《=0,得x=9,推導(dǎo)出當(dāng)x=9時，卬取最大值，且uWx=38.6；

當(dāng)x>10時，WW38.由此得到當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在該特許商品生產(chǎn)中獲利最大.

本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查年利潤的最大值的求法.解時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想

和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.

20.答案：該公司在A電視臺做100分鐘廣告，在B電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大

收益是70萬元.

解析：設(shè)公司在A和8做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，

x+y<300,

由題意得500x+200y<90000,

,x>0,y>0,

目標(biāo)函數(shù)z=3000x+2000y.

x+y<300,

二元一次不等式組等價于卜x+2y<900,

、x之0,y皂0,

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域,

如圖陰影部分.

作直線l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,

平移直線/,從圖中可知，當(dāng)直線/過M點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

:x+y=300,

聯(lián)立

,5x+2y=900,

(x=100,

解得tv=200.

二點M的坐標(biāo)為(100,200),

zmax=3000x100+2000x200=700000,

即該公司在A電視臺做100分鐘廣告，在8電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是

70萬元.

【方法技巧】常見的線性規(guī)劃應(yīng)用題的類型

(1)給定一定量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收益最大.

(2)給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最小.

21.答案：(1)K-黑噂鷺b(2)當(dāng)嫻沖：1時，取值范圍為解③:；當(dāng)頓y蝴,《：：!時，器取值范圍為於鼻獺.

解析：試題分析：(1)由三竺；海得:?③鈿喔，所以函數(shù)的定義域為G或植第(4分)

怎一富

2H發(fā)，J?ill*1］日售北富，斗

(2)當(dāng)破軸：！時,由舞礴=舸覲：所以(Xx*；2.所以使.娜黨>娜的案

31—凰公一需

取值范圍為解③:；(3分)

當(dāng)瞰《：慚,?；：：:時，由魏礴=帆黑.手通=—工得：ocrl±＜l,所以12Kx硼，所以使負(fù)微海颯

A-'.4：,翦_富

的窄取值范圍為於海磁.（3分）

考點：函數(shù)定義域的求法；對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；分式不等式的解法。

點評：（1）在解分式不等式時，最好讓x前的系數(shù)都為正的，不然容易出錯。（2）由

H4

做蜜.?二飛礴=ib?uX1得：°靡?上喉”，容易出錯，易忘掉真數(shù)大于o的這個限制。

鐺一安甚塞一案

22.答案：（I）詳見解析；（II）物＜=[自=施（答案還有其他可能）；（遼羯噴幽噬鳥

解析：試題分析：（I）由給出的定義可知法蒯樸瑞,望解-嘮=額展開后的方程中如果不含x說明對

任意x都成立，則函數(shù)J附感是“（終題）型函數(shù)”，如果展開后的方程含x,則根據(jù)方程只能求出某

個或某些x滿足要求而不是每一個x都符合，則函數(shù)J躅檄不是“（再瓢）型函數(shù)（n）根據(jù)定義列出方

程，滿足方程的實數(shù)對應(yīng)有無數(shù)對，只取其中一對就可以（HI）難度系數(shù)較大，應(yīng)先根據(jù)題意分析出

當(dāng)儺a(chǎn)期?時，盛堂=，、、，此時既-就圖顧的。根據(jù)已知案您曬UJI時，

.學(xué)尊-項：

虱蹴=#升：哪1-琰#』=嫄-磁媒其對稱軸方程為富,=—。屬動軸定區(qū)間問題需分類討論,

意

在每類中得出蝴同網(wǎng)r時薪礴的值域即修第-礴的值域，從而得出嘉回電囿|時藪礴的值域，把兩

個值域取并集即為黎礎(chǔ)鳴期的顫:礴的值域，由:1*