專題03 半角模型（原卷版）（人教版）

專題03半角模型【基本模型】應(yīng)用：①利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形；②利用翻折構(gòu)造全等三角形?！纠}精講】例1．（基本模型1）已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點(diǎn)．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．例2．（基本模型2）（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．例3．（基本模型3）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是（直接寫結(jié)論，不需證明）；（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫出△DEF的周長．例4．（培優(yōu)綜合）問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時(shí)，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長線上時(shí)，請你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練】1．（2019秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．2．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求的度數(shù).3．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．4．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：____；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）【課后訓(xùn)練】1．如圖所示，是邊長為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長.2．如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點(diǎn)O．(1)求邊AB的長；(2)求∠BAC的度數(shù)；(3)如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．3．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點(diǎn)，連接，，．（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當(dāng)周長最小時(shí)，求的度數(shù)；（3）如圖③，若四邊形為正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．5．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過點(diǎn)G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．（1）求證：四邊形BFGH是正方形；（2）求證：ED平分∠CE