復(fù)數(shù)的幾何意義

10/2復(fù)數(shù)的幾何意義

。常考題型目錄

題型1復(fù)數(shù)的幾何意義.............................................................................3

?類(lèi)型1復(fù)數(shù)的幾何意義相關(guān)概念.............................................................3

?類(lèi)型2復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示......................................................................4

?類(lèi)型3根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).......................................................5

?類(lèi)型4實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).........................................................7

?類(lèi)型5判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限..........................................................8

?類(lèi)型6復(fù)數(shù)與向量..........................................................................10

?類(lèi)型7根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)求參數(shù)...............................................................12

?類(lèi)型8根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)求參數(shù)取值范圍......................................................13

?類(lèi)型9復(fù)數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題.....................................................................14

題型2復(fù)數(shù)的模...................................................................................15

?類(lèi)型1復(fù)數(shù)的模............................................................................15

?類(lèi)型2由復(fù)數(shù)的模求參數(shù)取值(范圍)......................................................18

?類(lèi)型3與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的軌跡方程問(wèn)題......................................................20

題型3共樂(lè)?復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算.....................................................................21

題型4復(fù)數(shù)的平方根與立方根.....................................................................24

國(guó)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一.復(fù)平面

定義：當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)直角坐標(biāo)系為復(fù)平面，工軸為實(shí)軸，詡為虛軸.

知識(shí)點(diǎn)二.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)任一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+/(a,beR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)6)是——對(duì)應(yīng)的.

(2)一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+〃(a,beR)與復(fù)平面內(nèi)的向量無(wú)=(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的.

【注意】實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

(1)實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；

(2)除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù),

(3)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實(shí)數(shù).

知識(shí)點(diǎn)三.共柜復(fù)數(shù)

1.共輾復(fù)數(shù)的概念：一般地，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)相等，而虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共鈍復(fù)

數(shù).

2.共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示：復(fù)數(shù)z的共能復(fù)數(shù)用;表示，因此，當(dāng)z=a+bi(a,bwR)時(shí)，有二=a-bi.

3.互為共柜復(fù)數(shù)的幾何意義：在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共輾復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸一對(duì)稱；反之,如果表示兩個(gè)復(fù)

數(shù)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于發(fā)軸一對(duì)稱，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共輾復(fù)數(shù).

知識(shí)點(diǎn)四.復(fù)數(shù)的模

1.定義：向量層的模/■叫做復(fù)數(shù)z=8+仇a,6WR)的模或絕對(duì)值

2.記法：復(fù)數(shù)z=a+與的模記為IN或|a+紂

3.公式：=\a+例=￥+向20,reR).

題型分類(lèi)

題型1復(fù)數(shù)的幾何意義

【方法總結(jié)】復(fù)數(shù)的幾何意義包含兩種情況

1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)：復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，利用這一點(diǎn)，可

把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題.

2.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)：復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用這一點(diǎn)，可把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為向量問(wèn)題.

?類(lèi)型1復(fù)數(shù)的幾何意義相關(guān)概念

【方法總結(jié)】復(fù)平面的有關(guān)概念介紹

1、復(fù)平面：建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面也稱為復(fù)平面.

2、實(shí)軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的都是實(shí)數(shù)，因此x軸稱為實(shí)軸.

3、虛軸：y軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外，對(duì)應(yīng)的都是純虛數(shù)，為了方便起見(jiàn)，稱y軸為虛軸.

【例題1-1】（多選）（2022?高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上

B.在復(fù)平面內(nèi)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在虛軸上

C.在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)

D.在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，故正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，在復(fù)平面內(nèi)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在虛軸上，故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，實(shí)數(shù)零對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在虛軸上，故錯(cuò)誤的.

故選：ABC

?類(lèi)型2復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示

【例題1-21(2022春?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)3+2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(2,3)B.(2,-3)C.(3,2)D.(-3,2)

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果.

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)0=3+2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2).

故選：C.

【變式1-2]1.(2023?高一課時(shí)練習(xí)成復(fù)數(shù)1-2i對(duì)應(yīng)的向量為晶，若0(2,-1),則點(diǎn)5)坐標(biāo)為.

【答案】(3,-3)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得百斤=(1,-2),沒(méi)□(口,口),由平面向量的坐標(biāo)可得點(diǎn)2勺坐標(biāo).

【詳解】解：復(fù)數(shù)1—2i對(duì)應(yīng)的向量為則方方=(1,-2),又￡7(2,-1),沒(méi)□(口□,

則用=⑷-2,D+1)=(1,-2),所以｛笄:二，解得｛￡^3，所以〃(3，-3).

故答案為：(3.-3).

【變式1-2]2.(2021?高一課時(shí)練習(xí))如果P是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)0+De。的點(diǎn)，分別指出

在下列條件下點(diǎn)P的位置.

(1)0,￡7>0;(2)Z7<0,￡7>0;

(3)Z7=0,n<0;(4)Z7<0.

【答案】(1)第一象限；

(2)第二象限；

(3)位于原點(diǎn)或虛軸的負(fù)半軸上；

(4)位于實(shí)軸下方(不包括實(shí)軸)

【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

【詳解】(1)。>0,口>0；點(diǎn)P在第一象限；

(2)Z7<0,D>0;點(diǎn)P在第二象限；

(3)Z7=O,Z7WO;點(diǎn)P位于原點(diǎn)或虛軸的負(fù)半軸上；

(4)O<0.點(diǎn)P位于實(shí)軸下方(不包括實(shí)軸).

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)O+口,De。對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為。(口H).

?類(lèi)型3根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

【例題1-3](2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))復(fù)平面上，點(diǎn)(2,-1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。=.

【答案】2-i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示寫(xiě)出答案.

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知口=2-i

故答案為：□=2-\

【變式1-3]1.(2023春?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形ABCD,三個(gè)頂點(diǎn)A,

B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是l+2i,-2+i,0,那么點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.1-3iB.3-iC.3+iD.-l+3i

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知口(1,2),。(0,0),

設(shè)。(口。，則由方萬(wàn)=W=>(-3,-1)={-D.-U)=□=3,￡7=1，所以。(3,1),因此對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：

3+i

故選：c

【變式1-3]2.(2023?高一課時(shí)練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)％寸應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-3+5i,3+2i.若與

靠近點(diǎn)5勺線段江利三等分點(diǎn)，則點(diǎn)6寸應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.1+3iB.-1+3iC.5+iD.1+4i

【答案】A

【分析】設(shè)口【口，口,由a為靠近點(diǎn)5勺線段勺三等分點(diǎn)得用=:無(wú)，然后列關(guān)于口o的方程

組，求得。、。可求得點(diǎn)Q寸應(yīng)復(fù)數(shù).

【詳解】解：設(shè)〃(aD),?:點(diǎn)口.%寸應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-3+5i,3+2i,

。(一3,5),0(3,2),則(￡7+3,U-5),~DD=(6,-3),

???皿靠近點(diǎn)。的線段。中)三等分點(diǎn)，

，:.｛廣+2=4,解得｛?=/

3I。-5=-2(￡7=3

???0(1,3),對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為1+3i.

故選：A.

【變式1-3】3(2022春湖北?高一宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中應(yīng)復(fù)平面內(nèi)若0(0,0),￡7(2,-1),￡7(1,4),

歷=無(wú)，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【答案】3+3i##3i+3

【分析】設(shè)口(口,D),由向量相等得出點(diǎn)中)坐標(biāo)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

【詳解】由題意用=(2,-1),設(shè)口[口,口,則方方=(。一1,。一4)

由方斤=W,則｛史；二1，解得怡二3，則點(diǎn)23,3)

所以點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i

故答案為：3+3i

【變式1-3】4.(2022?高一課時(shí)練習(xí))把復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)O,把所得向量

口立堯點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到向量。口，則點(diǎn)e寸應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【答案】-1+2i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的概念并進(jìn)行平移確定點(diǎn)O,進(jìn)而確定用與歷，進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),

所以點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),即向量用=(2,1),

所以向量無(wú)=(-1,2),即點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),

所以點(diǎn)夕寸應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i,

故答案為：-1+2i.

【變式1-3]5.(2021春?福建莆田?高一?？计谥?復(fù)平面內(nèi)有H,Z點(diǎn)，點(diǎn)U對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5+i,

向量無(wú)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-3-4i,向量方方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4+i,求O點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

【答案】6-4i

【分析】根據(jù)題意可知無(wú)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5+i,利用已知條件求出配對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得無(wú)對(duì)應(yīng)的

復(fù)數(shù)，即為口點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)B寸應(yīng)的復(fù)數(shù)是5+i,即方方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5+i,

因?yàn)橄蛄拷鼘?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-3-4i,向量配對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4+i,

nn=W-on,

所以方追示的復(fù)數(shù)是(-3-4i)-(-4+i)=1-5i,

故用=W+無(wú)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(5+i)+(1-5i)=6-4i,

所以￡7點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為6-4i.

?類(lèi)型4實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

【例題1-4](2023?高一課時(shí)練習(xí))與◎由同方向的單位向量為與，與◎由同方向的單位向量為與，它

們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是()

A.后對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1,瓦對(duì)應(yīng)虛數(shù)i

B,中對(duì)應(yīng)虛數(shù)i,耳對(duì)應(yīng)虛數(shù)i

C.再對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1,值對(duì)應(yīng)虛數(shù)-i

D.工對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1或-1,◎?qū)?yīng)虛數(shù)i或-i

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得才=（1,0）,已=（0,1）,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得4，斤2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

【詳解】解：由題意可知百=（1.0）,O2=（0.1）,

所以在復(fù)平面內(nèi)衣對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1,豆對(duì)應(yīng)虛數(shù)i.

故選：A.

?類(lèi)型5判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限

【例題1-5]實(shí)部為-2,虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】由題意可得復(fù)數(shù)z=-2+i,故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-2,1）,在第二象限，故選B.

【變式1-5]1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）歐拉恒等式e?+1=0（i為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式=cosO+isinB）特例：當(dāng)自變量。=OB寸,eiZ7=

cosO+isinO=-1彳導(dǎo)e?+1=。.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)口=e亍在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)歐拉公式苫=cos母+isi吟,再分析復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號(hào)即可.

【詳解】由題意e苧=cosy+isiny,顯然cos§>0,sin3>0,所以在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象

限；

故選：A.

【變式1-5]2.(2022春?河南商丘?高一校聯(lián)考期末)復(fù)數(shù)O=cos巴署-isin等在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

位于第__________象限.

【答案】四

【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,即可得到復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到其所在象限.

【詳解)口=cos-^―-isin=cos卜74n-g)-isin卜74TT+g).

nIT1V3

=cos--isin—=---i

3322

所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)5)，位于第四象限.

故答案為：四

【變式1-5】3.(2023?高一課前預(yù)習(xí))當(dāng)1<￡7<2時(shí)，復(fù)數(shù)。(2+i)-(4+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)即可判斷.

【詳解】D=Z7(2+i)-(4+i)=(20-4)+(H-1)i,

若1<□<2,則2￡7—4<0,D-1>0,

所以復(fù)數(shù)。在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

故選：B

【變式1-5]4.(2023?全國(guó)高一專題練習(xí))復(fù)數(shù)〃=(02-20+3)-(02-。+少，(06。)在復(fù)

平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可確定5寸應(yīng)的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的正負(fù)，由此可得結(jié)果.

【詳解】令4=4一20+3,則4=(一2尸一4x3=-8<0,.?.仃-2D+3>0恒成立；

1

令4=一(仃一￡7+；)=-4+Z7-；,則f_4x(-1)x(-0=-1<0-Z^+O-1<0恒

成立；

???。=(仃-20+3)—(行-￡7+；，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(02-2￡7+3,-4+。-；)，

???6寸應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

?類(lèi)型6復(fù)數(shù)與向量

【方法總結(jié)】

1復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b6R)可用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)表示，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a,b),

而不是(a,bi).

2.為了方便，我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b@R)說(shuō)成點(diǎn)Z(a,b)或說(shuō)成向量也，并且規(guī)定相等向

量表示同一復(fù)數(shù).

【例題1-6](2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))在復(fù)平面上，作出表示下列復(fù)數(shù)的向量：

4=1+2i,4=1-2i,么=2i,&=-4.

~~0*

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】4=1+2i,4=1-2i,。3=2i,0=-4對(duì)應(yīng)復(fù)平面的坐標(biāo)分別為

0(1,2),0(1,-2),0(0,2),0(-4,0),其表示的復(fù)數(shù)的向量分別為：如下圖所示：

【變式1-6](2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))如圖所示，平行四邊形0ABC的頂點(diǎn)0,A,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別

(2)無(wú)付應(yīng)的復(fù)數(shù)；

⑶:(寸應(yīng)的復(fù)數(shù)及長(zhǎng)度.

【答案】⑴-3-2\

⑵5-2i

⑶歷

【分析】(1)根據(jù)平面向量坐標(biāo)表示公式，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)平面向量減法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)平面加法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、平面向量模的公式、復(fù)數(shù)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求

解即可.

【詳解】(1)因?yàn)橛?—萬(wàn)方，

所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-21

(2)因?yàn)榉浇?方方-方方，

所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

(3)因?yàn)闊o(wú)=無(wú)+歷，

所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.

所以|萬(wàn)4=Vl2+62=V37.

?類(lèi)型7根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)求參數(shù)

【例題1-7】(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))復(fù)數(shù)。=(0一J-(O+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)口=口+2圖象上，

則0=()

A.2B.0C.1D.-1

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即可求得結(jié)果.

【詳解】???可應(yīng)的點(diǎn)為(〃一；,一口一；)，二一￡7-；=0-(+2,解得：□=-1.

故選：D.

【變式1-7】1?(2020?高一課時(shí)練習(xí))復(fù)數(shù)。=-2/7)+(ZJ2-□-2)i(i為虛數(shù)單位，口e。對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)在虛軸上，則

4.□豐誠(chéng)口豐'B.D=0且0=2C.D=0或。=2D.￡7=0

【答案】C

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，實(shí)部為零列方程，由此求得學(xué)勺值.

【詳解】-.Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,???4—2口=0,解得口=?；颉?2.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)虛軸的概念，屬于基礎(chǔ)題.

【變式1-7]2.(202。高一課時(shí)練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)lgO+0-2D-3)i(i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)在實(shí)軸上很U實(shí)數(shù)m的值為

A.-1B.3C.-1或3D.1

【答案】B

【解析】結(jié)合復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上的條件以及對(duì)數(shù)的知識(shí)，求得小勺值.

【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，所以U-2D-3=0,解得O=-1或。=3.又。>0,

所以￡7=3.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上的條件，考查對(duì)數(shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

【變式1-7】3.設(shè)(1+i)sin。-(1+icosO)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y+1=0上則tan。的值為.

【答案】;

【解析】由題意，得sin。-1+sin。-cos。+1=0,/.tan^=

?類(lèi)型8根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)求參數(shù)取值范圍

【例題1-8]設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，貝!]()

A.6?>0,Z?>0B.6/>0,/?<0C?〃>0,q￡RD?a>0,〃6R

【答案】D

【解析】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部大于零，虛部可為任意實(shí)數(shù).

a2-a-6

【變式1-8]1.求實(shí)數(shù)。分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=------—+(a2-2a-15)i(“GR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿

a+3

足下列條件：在復(fù)平面的第二象限內(nèi)；

C

a2-a-6u

-----<0-

【解析】點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則J"3解得a<-3.

a2-2a-15>0,

【變式1-8】2.(2022春?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末)已知復(fù)數(shù)2+(Z7-1)i(其中i為虛數(shù)單位)

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)型取值范圍是()

A.Z7>1B.1C.￡7<1D.Z7<1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得1<0,即可得出.

【詳解】因?yàn)椤?2+(￡7-1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以。-1<0,解得1.

故選：D.

【變式1-8]3.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))若復(fù)數(shù)口=(30-2)+(。-1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

第四象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【答案】(|,1)

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)(3Z7-2)+(￡7-1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，

所以｛卻二2；/,解得|<口<1,

所以m的取值范圍為

故答案為：(|,1)

?類(lèi)型9復(fù)數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題

【例題1-9]已知a、bER,那么在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a-bi,-a-bi的兩個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系

是()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于

直線y=尤對(duì)稱

【答案】B

【解析】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a-bi,-a-bi的兩個(gè)點(diǎn)為(n,-%和(-a,-。)關(guān)于y軸對(duì)

稱.

【變式1-9]l.i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)zi、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若方=2-3i,

則Z2=..

【答案】-2+3i

【解析】復(fù)數(shù)zi=2-3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Pi(2,-3),則復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為尸2(-2,3)，故Z2=-2

+3i.

【變式1-9]2.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))在復(fù)平面上，無(wú)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1-2i,若點(diǎn)〃關(guān)于實(shí)軸

的對(duì)稱點(diǎn)為O,則空過(guò)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【答案】-1+2i##2i-1

【分析】數(shù)形結(jié)合得到口次寸應(yīng)的坐標(biāo)為(-1,2),從而寫(xiě)出答案.

【詳解】點(diǎn)O關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為〃，配對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1-2i,坐標(biāo)為(-1,-2),

則配對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(-1,2),故對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i.

故答案為：-1+2i

題型2復(fù)數(shù)的模

?類(lèi)型1復(fù)數(shù)的模

【例題2-1]求復(fù)數(shù)zi=6+8i與Z2=4-隹的模，并比較它們的模的大小.

【解析】’累=6+8i,Z2=-1?-的

3

-

0>2

【變式2-1]1.（2022春?福建福州?高一?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,2）,則

10=（）

A.1B.2C.V5D.5

【答案】C

【分析】先由題給條件求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)模的定義去求?a

【詳解】復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,2）,

則￡7=-1+2i,貝（II。=]（一1）2+22=商

故選：C

【變式2-1]2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)&=3+i,&=-1+2i,4在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)分別為。。,若四邊形為平行四邊形（。為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)），則復(fù)數(shù)4的模為（）

A.V17B.17C.V15D.15

【答案】A

【分析】令4=O+a,結(jié)合已知有濟(jì)=定-定，列方程求參數(shù)a、b,進(jìn)而求復(fù)數(shù)的模.

【詳解】若口3=0+0,則晶=（O,D）,而仍=（3,1）,=（-1,2）,

由四邊形OOO%平行四邊形（巾復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)），

所以用=濟(jì)=用_玩=（-1-0,2-￡7）,即,貝|j｛十~4

所以|烏|=J版+>=V17.

故選：A

【變式2-1]3.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)的向量方與瓦氐寸應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是-2+i,3+

2i,則國(guó)=.

【答案】Vio

【分析】先利用向量運(yùn)算求出配對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，然后求解模長(zhǎng)可得答案.

【詳解】W+OQ

???對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-2+i)+(3+2i)=l+3i,???\DD\=Vl2+32=VlO.

故答案為：V10

【變式2-1]4.(2023?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)&=1+i,&=-1+i,復(fù)數(shù)4和4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別為A、B,O為原點(diǎn)，則AAOB的面積為.

【答案】1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，分別求點(diǎn)2曲坐標(biāo)，再判斷AOO木形狀,即可求面積.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)&=1+i,4=-1+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。(1,1),

￡7(-1,1),\UU\=\口口=V2,\DD\=2，滿足|￡7。2+\口/=所以乙□□口=90。，△□□口

的面積么￡7￡7￡7=gXIEJU\Iun\=1.

故答案為：1

【例題2-2]已知復(fù)數(shù)Z滿足z+團(tuán)=2+8i,求復(fù)數(shù)Z.

【解析】設(shè)2=。+〃(。,bGR),則|z|=-\Ja2+b2,

代入方程得a+bi+yja2+b2=2+8i,

a+\a2+b2=2,\a=-15,

.:v解得

b=8,[b=8.

【變式2-2】L若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，且回=小,則復(fù)數(shù)z=()

A.1+2iB.-1-2iC.±l±2iD.1+2i-1-2i

【答案】D

【解析】依題意可設(shè)復(fù)數(shù)Z=a+2ai（aeR）,

由|z|=小彳導(dǎo)\jcr+4a2=小,解彳導(dǎo)a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.

【變式2-2】2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，對(duì)應(yīng)向量的模為

3,且實(shí)部為西，則復(fù)數(shù)z等于（）

A.3-V5iB.V5-3iC.V5+2iD.V5-2i

【答案】D

【分析】由已知可設(shè)。=V5+a（D<0）,根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解辛值即可.

【詳解】解：設(shè)〃=V5+a（/J<0）,則|O|2=（V5）2+^=32,解得。=-2,所以O(shè)=VS-2i.

故選：D.

?類(lèi)型2由復(fù)數(shù)的模求參數(shù)取值（范圍）

【例題2-3］（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（倔。在第四象限，若［。|=3,

則口=（）

A.3-V5iB.V5-3iC.V5+2iD.V5-2i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，以及模長(zhǎng)公式，可得答案.

22

【詳解】由題意，得O=痣+a,（U<0）,則|。|2=（V5）+Lf=3,解得O=—2（2舍去），所以

￡7=V5-2i.

故選：D.

【例題2-4］已知復(fù)數(shù)z=1-2疝（機(jī)dR）,H|z|<2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

【答案小坐，用

【解析】由+4他2,解得一坐9/W坐

【變式2-4]1.設(shè)復(fù)數(shù)zi=a+2i,Z2=-2+i,且|zi|<\zi\,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,-1)U(1,+oo)B.(-1,1)C.(1,+oo)D.(0,+oo)

【答案】B

2

【解析】因?yàn)閨zi|=q〃+4,|Z2|=#+1=小,所以y1+4(小，即/+4<5,所以a<\,

即-1<a<1.

【變式2-412.已知復(fù)數(shù)z滿足z=-|z|,則z的實(shí)部()

A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0

【答案】B

【解析】設(shè)z=a+砥a、〃eR),則a+/?i=-yja2+b2,：.b=0,a=-\a\,.".a<0,故不大于

0.

【變式2-4]3.(多選)(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))復(fù)數(shù)0=(萬(wàn)-1)+(￡7-1)i,HeR,下列結(jié)

論正確的是()

A.若z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，則￡7<-1

B.若z是純虛數(shù)，則0=±1

C.當(dāng)口牛1時(shí)，z是虛數(shù)

D.當(dāng)￡7=2時(shí)，|。=10

【答案】AC

【分析】根據(jù)給定復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念及幾何意義，逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.

【詳解】復(fù)數(shù)￡7=(4-1)+OeR,

對(duì)于A,z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，貝可§]；；；，解得口<-1,A正確；

對(duì)于B,z是純虛數(shù)，貝(,解得。=-1,B不正確；

對(duì)于C,當(dāng)口時(shí)，復(fù)數(shù)z的虛部￡7-1H0,z是虛數(shù)，C正確；

對(duì)于D,當(dāng)Z7=2時(shí)，O=3+i,貝[||O|=J32+F=干母，D不正確.

故選：AC

【變式2-4]4.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))下面給出的幾個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的命題，

①若(4-4)+(4+3D+2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)口=±2

②復(fù)數(shù)+1)i(Oe。是純虛數(shù)

③復(fù)數(shù)。=-sin100°+匕。$100°在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。位于第三象限

①如果復(fù)數(shù)。滿足|。+"+|。一"=2,則|O—2i-1|的最小值是2

以上命題中,正確命題的序號(hào)是.

【答案】②③

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義逐個(gè)檢驗(yàn)可得

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?4一4)+(4+3H+2)i為純虛數(shù)，所以｛4Ws或2、0，

解得口=2,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)?。eR,所以4+1/0,所以(￡^+1)i是純虛數(shù),故②正確；

對(duì)于③，因?yàn)橐籹in100°<0,cos100°<0,所以。=-sin1000+icos100°在

復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故③正確；

對(duì)于④，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，|O+i|+|O-i|=2表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)。(0,-1)

和到點(diǎn)0(0,1)的距離之和，又因?yàn)?2,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在線段AB上,

而|0-2i-11表示點(diǎn)Z到點(diǎn)口(1,2)的距離，

所以其最小值為|￡7。=7(1-0)2+(2-1)2=V2,故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

?類(lèi)型3與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的軌跡方程問(wèn)題

【例題2-5](2023?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)z滿足I。-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則

A.(61)2+萬(wàn)=1B.(□-1)2+4=1C.4+(0一1)2=1D.C2+(0+1)2=1

【答案】C

【分析】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易.此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)(X,y)和點(diǎn)(0,

1)之間的距離為1,可選正確答案C.

【詳解】\n-n\=J仔+(口-ip=1,則仔+(口-1)2=

1.故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取公式法或幾何法，

利用方程思想解題.

題型3共機(jī)復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算

【方法總結(jié)】

⑴當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+hi的虛部。=0時(shí)，有Z=；,也就是，任一實(shí)數(shù)的共粗復(fù)數(shù)是它本身.

(2)在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共期復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，并且它們的模相等.

【例題3-1］如果x-1+yi與i-3x是共輾復(fù)數(shù)，貝按數(shù)*=y=.

【答案】］-1

f,f1

x-1=-3xX=T

【解析】由已知得T4.

心=-1y=-1

【變式3-1］1.(2022春新疆阿克蘇?高一校考期末)若復(fù)數(shù)￡7=2+i,則。在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

()

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-2,-1)

【答案】A

【分析】求出方，進(jìn)而可得與在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】。=2+i,則口=2-口,在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),

故選：A.

【變式3-1】2.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)。的共期復(fù)數(shù)方=1+2i(i為虛數(shù)單位)，則。在

復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(1,一2)

【分析】利用共輾復(fù)數(shù)的定義可得出復(fù)數(shù)。，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.

【詳解】由共輾復(fù)數(shù)的定義可得□=1-2i,因此，O在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).

故答案為：(1,-2).

2

【變式3-1】3.已知復(fù)數(shù)Zi=m2+1-(m+m)\z2=2-(1-3m)i(mGR)互為共輛復(fù)數(shù)，求m的

值.

【答案】m=1

w2+1=2,

【解析】由已知得，所以機(jī)=1,即當(dāng)，”=1時(shí)，ZI與Z2是共輾復(fù)數(shù).

m2-\rm--1-3m,

【變式3-1】4.(多選)(2022春?黑龍江綏化?高一校考期末)下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，其中正確的是()

A.復(fù)數(shù)O=D+0(0,口€。是實(shí)數(shù)的充要條件是。=0

B.復(fù)數(shù)0=D+是純虛數(shù)的充要條件是口力0

C.若。1,4互為共匏復(fù)數(shù)，則44是實(shí)數(shù)

D.巷口1,4互為共輾復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱

【答案】AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)，共輾復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)，。=0,0時(shí)，。+03是純虛數(shù).A正確，B錯(cuò)誤，

口、=D+a(D,￡76D),則4=5=□一口,所以4口2=(￡7+0)(0-3石+U是實(shí)數(shù)，

C正確；

當(dāng)a是實(shí)數(shù)時(shí)，其共輾復(fù)數(shù)是它本身，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是同一點(diǎn)，不關(guān)于虛軸對(duì)稱，D錯(cuò).

故選：AC.

【例題3-2】下列命題中：

①任意兩個(gè)確定的復(fù)數(shù)都不能比較大?。?/p>

②z+z=Ooz是純虛數(shù)；

③z=z=zeR.

正確的是________.

【答案】③

【解析】當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，故①錯(cuò).當(dāng)z=0時(shí)，"=0,此時(shí),2+7=

0,但Z不是純虛數(shù)，故②錯(cuò).

若二=a+bi(a,hGR)與z=a-bi相等,b=-b,所以b=0,

所以z=a為實(shí)數(shù)，若z=a為實(shí)數(shù)，則工=a,所以z=N,故③正確.故填③.

【變式3-2]1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共拆復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()

A??。

oF

B??D

A.AB.BC.CD.D

【答案】B

【解析】表示復(fù)數(shù)Z的點(diǎn)A在第二象限，設(shè)z=a+bi?R),且?<0,8>0,則z的共柜復(fù)

數(shù)z=a-bi,/.a<0,-b<0,故應(yīng)為B點(diǎn).

【變式3-2]2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z的模長(zhǎng)為1,在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且

滿足|￡7+方|=1，則刀=（）

A.；+條B.f+fiC1-^iD.：-事

22222222

【答案】C

【分析】設(shè)。=U+M口,06R）,且0>o,o>0,利用|。+口=1得0，模長(zhǎng)為1得口,求出怎

可得方

【詳解】設(shè)口=□+□WR）,因?yàn)樵趶?fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

所以0>0,。>0,由|〃+口=|2。=1得。=，

因?yàn)閺?fù)數(shù)z的模長(zhǎng)為1,所以J。2+療=g+廳=1,解得Z7=冷,

所以￡7=扛爭(zhēng)，刀=：一爭(zhēng).

故選：C.

題型4復(fù)數(shù)的平方根與立方根

【例題4-1]（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列命題：①i是-1的一個(gè)平方根；②-i是一個(gè)負(fù)數(shù)；③如果O+

O=3+4i（□，口eD）網(wǎng)口=3,口=4.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0jB.ljC.2jD.3j

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)有（士y=-何知①的正誤，，負(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的概念可知②的正誤，復(fù)數(shù)相等時(shí)注意

參數(shù)De?？膳袛啖鄣恼`.

【詳解】①由（士/=-1,則i是-1的一個(gè)平方根，正確；

②-i是一個(gè)虛部為-1的純虛數(shù)，實(shí)數(shù)分正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤；

③如果0+O=3+4i,當(dāng)口，口€00寸0=3,0=4,當(dāng)口，口W例不一定。=3,0=4,錯(cuò)誤；

故正確命題為1個(gè).

故選：B

【變式4-1】1.(2021春福建廈門(mén)?高一廈門(mén)雙十中學(xué)?？计谥?2+2gk勺平方根為.

【答案】±(6+。

【分析】設(shè)口=O+口口,根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到1%?27f，解得答案.

【詳解】設(shè)2+2愿勺平方根為￡7=。+口□，則爐=(Z7+DD)2=4一萬(wàn)+2000=2+2圾口,

叱常?瑞,解得怡智或怡工f，w=士限+小

故答案為：±(百+0.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的平方根，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

【變式4-1】2.(2023?高一課時(shí)練習(xí))復(fù)數(shù)2i的平方根.

【答案】1+儂-1-口

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)2i的平方根為。=D+□口,則4=(￡7+￡7。2=20,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列方程組

可解得.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)2i的平方根為。=Z7+口,

則行=(￡7+8)2=20,

所以爐-爐+2/7/70=2/7,

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得二P=0,解得。=口=1或。=口=-1,

(200=2

所以￡7=1+皈。=-1-□.

故答案為：1+四—1-D

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4-1】3.(2022春福建?高一福建師大附中?？计谥?在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，-4的所有平方根為

并由此寫(xiě)出-4的一個(gè)四次方根.

【答案】±2i1+i,1-i,-1+i,-1-i之一

【分析】由題意利用虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算,得出結(jié)論.

【詳解】解：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，?；（±2i）2=-4,故-4的所有平方根為±2i.

-4=4（cos￡7+isin￡7）,故它的四次方根為以（cos2戶’+isin2廣鄉(xiāng),

故它的f四次方根夜償+iy）=1+i,同理可得1-i,-1+i,-1-也為-4的四次方根;

故答案為：±2i;1+i,1-i,-1+i,-1一i之一.

【例題4-2]（2022春?上海浦東新?高一上海師大附中?？计谀┮阎匠特?￡7+4=0的兩個(gè)根在復(fù)

平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為。，則△?？谥校┟娣e為（）

AqB.乎C.2D.4

【答案】B

【分析】解方程4+0+4=0求出兩個(gè)復(fù)數(shù)根，從而可得￡7、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出|。。|，I□%□□□,

進(jìn)而可得三角形的面積

【詳解】解：方程+￡7+4=0的根為。=也聲=芍蟲(chóng)，

即a=-g+苧，‘4=一；一竽,

所以0（-5,苧