四川省南充市閬中中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

閬中中學(xué)高2023級2023年秋12月月考數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時間：120分鐘）第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得出集合，再根據(jù)交集定義求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋炙?故選：B.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式即可得出答案.【詳解】要使得函數(shù)有意義，必須解得，則該函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：A3.如圖，過原點(diǎn)的直線與單位圓交于兩點(diǎn)，其中P點(diǎn)在角的終邊上，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義可求出.【詳解】設(shè)，在單位圓上且P點(diǎn)在角的終邊上，根據(jù)余弦函數(shù)的定義可得，.故選：B.4.已知，，，則a，b，c大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值比較大小即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.5.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.6.關(guān)于x的函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，t＝x2﹣ax+2a在[1，+∞）上為增函數(shù)，且在[1，+∞）上大于0恒成立，得到關(guān)于a不等式組求解．【詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且在上大于0恒成立．則，解得．實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．7.今年月日，日本不顧國際社會的強(qiáng)烈反對，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上；有種半衰期在萬年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度與時間（年）近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)且.若時，；若時，.則據(jù)此估計，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時，大約需要（

）（參考數(shù)據(jù):）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件得，解方程組求出的值，當(dāng)時，在等式兩邊取對數(shù)即可求解.【詳解】由題意得:，解得，所以，當(dāng)時，得，即，兩邊取對數(shù)得，所以，即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時，大約需要年.故選：B.8.已知函數(shù)若，，且，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給分段函數(shù)畫出函數(shù)圖象，得到的取值范圍，由將轉(zhuǎn)化為的式子，即可用關(guān)于的式子表示，然后對討論，求出函數(shù)的值域即可．【詳解】函數(shù)的圖象如下圖：據(jù)題意，得，，.討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，.分析知，的取值范圍是.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程思想，分段函數(shù)的應(yīng)用問題，屬于難題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】利用集合間的基本關(guān)系判定即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所以B是A的真子集，所以，或，.故選：AD.10.某同學(xué)求函數(shù)的零點(diǎn)時，用計算器算得部分函數(shù)值如表所示：f(2)≈?1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈?0.084f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.5625)≈0.066則方程的近似解（精確度0.1）可取為（）A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75【答案】AB【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)存在定理即得【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，結(jié)合表格可知，方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625）內(nèi)，又精確度0.1，∴方程的近似解（精確度0.1）可取為2.52，2.56.故選：AB．11.已知函數(shù)，.記，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.函數(shù)的最小值為C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則或【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)定義寫出的分段函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)而畫出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】令，則或，所以或，令，則或，所以或，綜上，，函數(shù)圖象如下，由圖知：的最小值為，在上單調(diào)遞增，或時，恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.所以A、C錯，B、D對.故選：BD12.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式由內(nèi)到外計算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，故.故答案為：.14.不等式與不等式是同解不等式，則__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，結(jié)合一元二次不等式解法進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，即，即，解得，因?yàn)橐彩堑慕?，所以，解得，此時，即，解得，滿足題意，故故答案為：.15.若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用商數(shù)關(guān)系，化簡為，再利用平方關(guān)系求解.【詳解】由得，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16.函數(shù)，在區(qū)間[-2021，2021]上的最大值為P，最小值為Q.則P+Q=___________.【答案】2【解析】【分析】把已知的函數(shù)式變形，得到．令，可知該函數(shù)為奇函數(shù)，然后由奇函數(shù)的圖象的對稱性求得函數(shù)的最值，由此求得的值．【詳解】，設(shè)，則，則為奇函數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則最小值為，即，．．故答案為：2．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.若集合．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合，，再進(jìn)行交集運(yùn)算即可求解；（2）解不等式求集合，根據(jù)并集的結(jié)果，列不等式即可求解.【小問1詳解】解：，，.【小問2詳解】解：，或，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.（1）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值；（2）計算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義求出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡求得結(jié)果；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，以及對數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由角終邊上一點(diǎn)，得，故.（2）解：.19.(1)已知是關(guān)于x的方程的一個實(shí)根，且α是第三象限角，求的值；(2)已知，且，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由已知方程求，利用同角關(guān)系將轉(zhuǎn)化為由表示的式子，由此可求其值，(2)由條件結(jié)合平方關(guān)系求，，由此求結(jié)果.【詳解】(1)∵是關(guān)于x的方程的一個實(shí)根，且α是第三象限角，∴或（舍去），∴.(2)由題設(shè)，，解得，∴.20.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象．（1）補(bǔ)全函數(shù)的圖象并寫出函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）圖象見解析，（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于軸對稱畫出圖象，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求出解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論求得的最小值．【小問1詳解】圖象見下：令，則，，函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，，解析式為.【小問2詳解】，對稱軸為，當(dāng)時，即，最小值為；當(dāng)時，即，最小值為；當(dāng)時，即，最小值為.．21.黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）.（1）分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1），（2）A產(chǎn)品投入6萬元，B產(chǎn)品投入4萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是7萬元【解析】【分析】（1）由題設(shè)，，根據(jù)圖象上數(shù)據(jù)得解；（2）列出企業(yè)利潤的函數(shù)解析式換元法求得函數(shù)最值得解.【小問1詳解】設(shè)投資為萬元，A產(chǎn)品的利潤為萬元，B產(chǎn)品的利潤為萬元由題設(shè)，，由圖知，故，又，所以．從而，．【小問2詳解】設(shè)A產(chǎn)品投入萬元，則B產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元則，令，則，當(dāng)時，，此時.故A產(chǎn)品投入6萬元，B產(chǎn)品投入4萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是7萬元.22.已知函數(shù)．判斷并證明函數(shù)的奇偶性；判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)定義判斷并證明即可，根據(jù)定義證明單調(diào)性的步驟證明即可，