《數(shù)學分析第二章》課件

數(shù)學分析第二章目錄CONTENCT引言極限理論連續(xù)函數(shù)導數(shù)與微分導數(shù)的應(yīng)用不定積分01引言數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，主要研究函數(shù)的極限、連續(xù)性、可微性、積分等基本概念和性質(zhì)。通過學習數(shù)學分析，可以培養(yǎng)學生對數(shù)學思維的嚴謹性和邏輯性的認識，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解決問題的能力。課程簡介理解函數(shù)極限的概念和性質(zhì)，掌握極限的運算法則和計算方法。理解函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性的概念和性質(zhì)，掌握判斷連續(xù)性、可微性和可積性的方法。掌握定積分和不定積分的概念和計算方法，理解微積分的基本定理。了解級數(shù)和冪級數(shù)的概念和性質(zhì)，理解函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件和方法。學習目標02極限理論極限的描述性定義極限的精確定義單側(cè)極限定義極限是當自變量趨近某一值時，函數(shù)值的變化趨勢。對于任意給定的正數(shù)$varepsilon$，存在另一個正數(shù)$delta$，當$|x-x_0|<delta$時，有$|f(x)-L|<varepsilon$。函數(shù)在某點的左極限和右極限，分別表示函數(shù)在該點的左鄰域和右鄰域的極限。極限的定義01020304唯一性有界性局部有界性保號性極限的性質(zhì)若函數(shù)在某點的極限存在，則該點附近的函數(shù)值也是有限的。若函數(shù)在某點的極限存在，則該點的函數(shù)值是有界的。若函數(shù)在某點的極限存在，則該極限值是唯一的。若函數(shù)在某點的極限存在且為正（負），則該點附近的函數(shù)值也為正（負）。在自變量趨近某一值時，函數(shù)值趨近于零的量。無窮小量在自變量趨近某一值時，函數(shù)值無窮大的量。無窮大量無窮小量與有限小量之比為無窮小量；兩個無窮小量之商可能為有限量、無窮大量或不存在。無窮小量的性質(zhì)無窮大量與有限大量之比為無窮大量；兩個無窮大量之商可能為有限量、無窮大量或不存在。無窮大量的性質(zhì)無窮小量與無窮大量03連續(xù)函數(shù)

連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義如果函數(shù)在某點的極限值等于函數(shù)在該點的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點連續(xù)。左極限和右極限對于函數(shù)在某點的連續(xù)性，需要分別考慮該點的左極限和右極限，并確保它們相等。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果一個函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上具有一致性、可積性和可微性等性質(zhì)。80%80%100%連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果函數(shù)在區(qū)間兩端取值為異號，則該區(qū)間內(nèi)必存在至少一個零點。如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則該區(qū)間內(nèi)必存在至少一個點，使得函數(shù)值等于區(qū)間兩端點函數(shù)值的平均值。如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且取值在兩個常數(shù)之間，則該區(qū)間內(nèi)必存在至少一個點，使得函數(shù)值等于這兩個常數(shù)的平均值。零點定理中值定理介值定理010203可微性的定義導數(shù)的幾何意義可微函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的可微性如果函數(shù)在某點的導數(shù)存在，則稱該函數(shù)在該點可微。函數(shù)在某點的導數(shù)表示該點處的切線斜率?？晌⒑瘮?shù)具有連續(xù)性、可積性和可導性等性質(zhì)。04導數(shù)與微分導數(shù)是描述函數(shù)在某一點附近的變化率的重要工具。導數(shù)是通過極限來定義的，表示函數(shù)在某一點處的切線的斜率。對于可導函數(shù)，其在某一點的導數(shù)值反映了函數(shù)在該點附近的變化趨勢和速度。導數(shù)的定義詳細描述總結(jié)詞總結(jié)詞詳細描述導數(shù)的性質(zhì)導數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和曲線的幾何形態(tài)等方面具有重要作用。導數(shù)具有一些基本的性質(zhì)，如線性性質(zhì)、乘積法則、商的導數(shù)法則、鏈式法則等。這些性質(zhì)使得我們可以利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和曲線的幾何形態(tài)等?？偨Y(jié)詞微分是導數(shù)的幾何解釋，它表示函數(shù)在某一點附近的小變化量。詳細描述微分是通過函數(shù)的增量與自變量增量的比值的極限來定義的，它可以看作是函數(shù)在某一點附近的小變化量。微分具有線性性質(zhì)，即函數(shù)的微分可以看作是一個線性函數(shù)，這使得微分在近似計算和誤差估計等方面具有廣泛應(yīng)用。微分的概念05導數(shù)的應(yīng)用如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導，且$f(a)=f(b)$，則存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導，則存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理中值定理如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在某點$x_0$的附近可導，且$g'(x_0)neq0$，則$lim_{xtox_0}frac{f'(x)}{g'(x)}=frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。洛必達法則洛必達法則常用于求解極限問題，特別是當分母的極限為0時，通過求導簡化計算。應(yīng)用洛必達法則導數(shù)與函數(shù)圖像的變化趨勢導數(shù)大于0時，函數(shù)圖像在該點處單調(diào)遞增；導數(shù)小于0時，函數(shù)圖像在該點處單調(diào)遞減。導數(shù)與極值函數(shù)的極值點處的一階導數(shù)為0，通過求二階導數(shù)可以判斷該點處是否為極值點。導數(shù)與切線斜率函數(shù)在某點的導數(shù)即為該點處的切線斜率。導數(shù)在幾何上的應(yīng)用06不定積分積分符號表示意義不定積分的定義不定積分通常用∫f(x)dx表示，其中∫是積分符號，f(x)是被積函數(shù)，dx是微分符號。不定積分在數(shù)學分析中具有重要的意義，它為研究函數(shù)的性質(zhì)和計算提供了基礎(chǔ)。不定積分也稱為原函數(shù)，是微分的逆運算。不定積分定義為函數(shù)f(x)的一個可導的線性組合，其導數(shù)為f(x)。線性性質(zhì)積分常數(shù)性質(zhì)比較性質(zhì)區(qū)間可加性不定積分的性質(zhì)01020304∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx∫[f(x)+c]dx=∫f(x)dx+c∫dx=∫f(x)dx+c如果f(x)≤g(x)，那么∫f(x)dx≤∫g(x)dx如果a<b<c，那么∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx+∫f(x)dx0102030405基本公式冪函數(shù)的積分三角函數(shù)的積分對數(shù)函數(shù)的積分反三角函數(shù)的積分對于任何常數(shù)c，有∫cdx=cx+c∫x^ndx=1/(n+1)*x^