人教版八年級下第十七章-勾股定理17.2勾股定理的逆定理【省一等獎】

勾股定理的逆定理考試目標(biāo)1.掌握勾股定理的逆定理；2.會用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形并解決簡單的實際問題.3.數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，方程思想.1.勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.如果三角形的三邊長分別為a，b，c，并且滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．2.勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．知識要點掃描【點撥】勾股定理逆定理的應(yīng)用：(1)判斷三角形的形狀；(2)證明兩條線段垂直；(3)實際應(yīng)用．3.互逆命題、互逆定理及其關(guān)系（1）下列命題的逆命題是真命題的是()A.若a=b,則|a|=|b|B.全等三角形的周長相等C.若a=0,則ab=0D.有兩邊相等的三角形是等腰三角形（2）“在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”的逆命題:__________________.

（三）勾股定理的逆定理的運用如圖24－18，已知AB＝4，BC＝3，AD＝12，DC＝13，∠B＝90°，則四邊形ABCD的面積為_______．36考點聚焦2.有一塊空白地，如圖，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m．試求這塊空白地的面積．

如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求△ABE的面積.考點聚焦（四）勾股定理與折疊問題解：∵長方形折疊，使點B與點D重合，∴ED=BE.設(shè)AE=xcm，則ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面積為3×4×=6(cm2).1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于點D，若AC＝3，則BD＝_____．（五）利用勾股定理解決立體圖形的最短路徑問題D考點聚焦1．[2015資陽]如圖24－14，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑的長是 (

)A【解析】如答圖，將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即最短路徑．由題意得A′D＝5cm，BD＝12－3＋3＝12(cm)，2．如圖24－15是一塊長、寬、高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊．一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A點相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是 (

)C3．我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖24－16，把枯木看做一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處．則問題中葛藤的最短長度是_______尺．25【解析】如答圖，一條直角邊(即枯木的高)長20尺，另一條直角邊長是5×3＝15(尺)，【點撥】在求幾何體表面上兩點之間的最短距離時，可以通過把立體圖形展開成平面圖形，利用勾股定理求出幾何體表面上兩點之間的距離來解決．【概念理解誤區(qū)】【錯因】已知等式左邊為兩個非負數(shù)之和，根據(jù)兩非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)同時為0，可得出c2＝a2＋b2且a＝b，利用勾股定理的逆定理，可得出△ABC為等腰直角三角形．【正解】等腰直角三角形

【易錯點】1．在已知三角形三邊的前提下，判斷這個三角形是否為直角三角形，首先要確定三條邊中的最大邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定．解題時，往往受思維定式的影響，誤認為如果是直角三角形，則c是斜邊，從而造成誤解．3．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這個性質(zhì)定理常用于證明一條線段是另一條線段的一半的數(shù)量關(guān)系，注意“直角三角形”這一前提條件．能力提升1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)A．3，4，5 B．1.5，2，2.5C．32，42，52D.A2.下列定理中，沒有逆定理的是(

)A．等腰三角形的兩個底角相等B．對頂角相等C．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．直角三角形兩個銳角的和等于90°B3.“同旁內(nèi)角互補”的逆命題是

，它是

命題．互補的兩個角是同旁內(nèi)角假n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22＋132＋142＋152＋1…4.在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，老師設(shè)計了如下數(shù)表：(1)請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，用含自然數(shù)n(n＞1)的代數(shù)式表示a，b，c，則a＝

，b＝

，c＝

；(2)猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論．5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，點D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，則BC的長為(

)A.－1

B.＋1C.－1

D.＋1D6.(2016·漳州)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是線段BC上的動點(不含端點B，C)．若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有____個.37.如圖，每個小正方形的邊長為1，A，B，C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為(

)A．90° B．60°C．45° D．30°8．如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是(

)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD

CB8.如圖，E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連結(jié)AE，BE，CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝_