數(shù)列的極限函數(shù)的極限

第二章極限與連續(xù)極限是貫穿高等數(shù)學(xué)始終的一個重要概念，是這門課程的基本推理工具。極限研究的是在自變量的某個變化過程中，函數(shù)的變化趨勢。數(shù)列作為可看作一種特殊的函數(shù)，如今，我們先從數(shù)列入手研究函數(shù)的極限。

2.1數(shù)列的極限函數(shù)的極限例如：數(shù)列，可見當無限增大時，無限接近1，則。1、定義：對于數(shù)列，若當自然數(shù)無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù),則稱為當趨于無窮時數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于。記作或；若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散。（一）數(shù)列的極限如果用平面直角坐標系中點表示數(shù)列地n項，那么數(shù)列以A為極限的幾何意義可表述為：當n無限變大時，數(shù)列所對應(yīng)的點都會靠近在直線y=A的上下，且越來越靠近。（圖2.3）2、數(shù)列極限的幾何意義：當n無限變大時，數(shù)列所對應(yīng)的點多落在點A的鄰域內(nèi)，直觀講：當n無限變大時，由于是任意小數(shù)列所對應(yīng)的點密集地落在點A的鄰域。（圖2.2）y=A圖2.3

例如：數(shù)列，當n無限變大時，數(shù)列不趨向于一個確定數(shù)，所以發(fā)散。定理：（單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限． 若數(shù)列收斂，則數(shù)列有界。（二）函數(shù)的極限1.時函數(shù)f(x)的極限定義1當無限變大時，恒有（是任意小的整數(shù)），則稱常數(shù)為函數(shù)當趨向正無窮大時的極限。記作或2.時函數(shù)f(x)的極限定義2當無限變大時，恒有（是任意小的整數(shù)），則稱常數(shù)為函數(shù)當趨向負無窮大時的極限。記作或)(xf)()(-￥??xAxf

3.時函數(shù)f(x)的極限定義3設(shè)函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在內(nèi)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為當（讀作“趨近于”）時函數(shù)的極限.記作 或定義4設(shè)函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在此半鄰域內(nèi)從右側(cè)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當時函數(shù)的右極限。記作 或4.時函數(shù)f(x)的極限

5．時函數(shù)f(x)的極限定義5設(shè)函數(shù)在點的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在此半鄰域內(nèi)從左側(cè)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當時函數(shù)的左極限.記作或定理：當時，函數(shù)以為極限的充要條件是當與時，函數(shù)均以為極限。定理：若時（或），函數(shù)有極限，則必存在的一個鄰域（除外），（或0的一個鄰域之外），在此鄰域內(nèi)函數(shù)有界。證明：以為例，已知