高中專題復習及考試要求 第八章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程

第3節(jié)圓的方程考試要求掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.1.圓的定義和圓的方程知

識

梳

理定義平面內(nèi)到______的距離等于______的點的軌跡叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：_______________圓心坐標：________定點定長D2＋E2－4F＞02.點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：(1)|MC|＞r?M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).圓外圓上圓內(nèi)[常用結(jié)論與微點提醒]1.圓心在坐標原點半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)答案(1)√

(2)×

(3)×

(4)√解析(2)當a＝0時，x2＋y2＝a2表示點(0，0)；當a＜0時，表示半徑為|a|的圓.答案D3.(老教材必修2P120例3改編)過點A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(

) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析設圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r.因為圓心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.

答案C4.(2019·合肥模擬)已知A(1，0)，B(0，3)兩點，則以AB為直徑的圓的方程是(

) A.x2＋y2－x－3y＝0 B.x2＋y2＋x＋3y＝0 C.x2＋y2＋x－3y＝0 D.x2＋y2－x＋3y＝0答案A答案CD答案D考點一圓的方程【例1】(1)(一題多解)已知圓E經(jīng)過三點A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標準方程為(

)(2)(2020·濰坊調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，以點(0，1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為(

)A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16解析(1)法一(待定系數(shù)法)設圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，又圓E的圓心在x軸的正半軸上，法二(幾何法)答案(1)C

(2)B規(guī)律方法求圓的方程時，應根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)x2＋(y＋1)2＝4(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0(2)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，角度1利用幾何意義求最值【例2－1】

已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.考點二與圓有關的最值問題多維探究(2)設t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，角度2利用對稱性求最值【例2－2】

已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(

)答案A規(guī)律方法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.角度3建立函數(shù)關系求最值答案12規(guī)律方法根據(jù)題中條件列出相關的函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值.解析(1)x2＋y2表示圓(x－2)2＋y2＝3上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖).連接A′C交圓C于Q，由對稱性可知考點三與圓有關的軌跡問題【例3】

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)(一題多解)直角頂點C的軌跡方程； (2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.

解(1)法一設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.

因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).所以x0＝2x－3，y0＝2y.所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).規(guī)律方法求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.【訓練3】

已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程.

解(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x