高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第八章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程

第3節(jié)圓的方程考試要求掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.1.圓的定義和圓的方程知

識(shí)

梳

理定義平面內(nèi)到______的距離等于______的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：_______________圓心坐標(biāo)：________定點(diǎn)定長(zhǎng)D2＋E2－4F＞02.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).圓外圓上圓內(nèi)[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.診

斷

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)答案(1)√

(2)×

(3)×

(4)√解析(2)當(dāng)a＝0時(shí)，x2＋y2＝a2表示點(diǎn)(0，0)；當(dāng)a＜0時(shí)，表示半徑為|a|的圓.答案D3.(老教材必修2P120例3改編)過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(

) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.

答案C4.(2019·合肥模擬)已知A(1，0)，B(0，3)兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓的方程是(

) A.x2＋y2－x－3y＝0 B.x2＋y2＋x＋3y＝0 C.x2＋y2＋x－3y＝0 D.x2＋y2－x＋3y＝0答案A答案CD答案D考點(diǎn)一圓的方程【例1】(1)(一題多解)已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)(2)(2020·濰坊調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0，1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16解析(1)法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，又圓E的圓心在x軸的正半軸上，法二(幾何法)答案(1)C

(2)B規(guī)律方法求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)x2＋(y＋1)2＝4(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，角度1利用幾何意義求最值【例2－1】

已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題多維探究(2)設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，角度2利用對(duì)稱性求最值【例2－2】

已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(

)答案A規(guī)律方法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決.角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值答案12規(guī)律方法根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識(shí)或基本不等式求最值.解析(1)x2＋y2表示圓(x－2)2＋y2＝3上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖).連接A′C交圓C于Q，由對(duì)稱性可知考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題【例3】

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)(一題多解)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程； (2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解(1)法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.

因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).所以x0＝2x－3，y0＝2y.所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.【訓(xùn)練3】

已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo)； (2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.

解(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x