正式公開課用向量的方法求二面角

課題：利用法向量求二面角茂名市第十六中學(xué)：高二數(shù)學(xué)理科備課組主講人：呂宇云第一頁(yè)第二頁(yè)，共20頁(yè)。四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施lABO2、如何作二面角α—l—β的平面角？溫故知新

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做

，這條直線叫做

，這兩個(gè)半平面叫做

.二面角二面角的棱二面角的面1、二面角的定義：第二頁(yè)第三頁(yè)，共20頁(yè)。與面如圖，是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面你能找到所求二面角的棱嗎？第三頁(yè)第四頁(yè)，共20頁(yè)。探究新知問題：

二面角的平面角與兩個(gè)半平面的法向量的夾角有沒有關(guān)系？l第四頁(yè)第五頁(yè)，共20頁(yè)。

探究新知第五頁(yè)第六頁(yè)，共20頁(yè)。

探究新知第六頁(yè)第七頁(yè)，共20頁(yè)。問題：

法向量的夾角與二面角的大小是相等或互補(bǔ)。再次演示課件探究新知細(xì)心想一想，你將有新發(fā)現(xiàn)??！第七頁(yè)第八頁(yè)，共20頁(yè)。嘗試：已知兩平面的法向量分別為m=（0，1，0），

n=（0，1，1）,則兩平面所成的二面角為()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°

解析

即〈m,n〉=45°，其補(bǔ)角為135°.∴兩平面所成二面角為45°或135°.C練一練第八頁(yè)第九頁(yè)，共20頁(yè)。與面如圖，是直角梯形，所成的銳二面角的余弦值。求面例題精講【審題指導(dǎo)】本題是求二面角的余弦值，可重點(diǎn)關(guān)注向量法求二面角的余弦值.本題的特點(diǎn)是圖中沒有出現(xiàn)兩個(gè)平面的交線，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夾角解決，利用法向量的夾角解決體現(xiàn)了向量求解立體幾何問題的優(yōu)越性第九頁(yè)第十頁(yè)，共20頁(yè)。解：則設(shè)是面SCD的法向量，與面如圖，ABCD是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則啟示：求二面角的平面角可轉(zhuǎn)化為求兩法向量的夾角。第十頁(yè)第十一頁(yè)，共20頁(yè)。是平面SAB的法向量，就是二面角的平面角，所求銳二面角的余弦值為：令z=1解之得第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共20頁(yè)。結(jié)論：利用法向量求二面角的平面角避免了繁難的作、證二面角的過程。解題的關(guān)鍵是確定相關(guān)平面的法向量，如果圖中的法向量沒有直接給出，那么必須先創(chuàng)設(shè)法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步驟：建立坐標(biāo)系找點(diǎn)坐標(biāo)求法向量坐標(biāo)求兩法向量夾角定值第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共20頁(yè)。正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，求銳二面角A—DQ—A1的余弦值．

鞏固練習(xí)：第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共20頁(yè)。xyz第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共20頁(yè)。小結(jié)：1.利用法向量求二面角大小的優(yōu)勢(shì)：避免了繁難的作、證二面角的過程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算。2.利用法向量求二面角大小的關(guān)鍵：確定相關(guān)平面的法向量。3.利用法向量求二面角大小的缺點(diǎn)：計(jì)算量相對(duì)比較大。第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共20頁(yè)。課后思考

（2009·天津理，19）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥

AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=.(1)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(2)證明：平面AMD⊥平面CDE;(3)求銳二面角A—CD—E的余弦值.(1)解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)

AB=1，依題意得B(1,0,0),

C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共20頁(yè)。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.(2)證明又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共20頁(yè)。(3)解設(shè)平面CDE的法向量為u=（x,y,z)，令x=1,可得u=(