小學奧數(shù)-直線型面積講義圖文版

第一講直線型面積〔一〕第一講直線型面積〔一〕教學目標教學目標熟練運用直線型面積的最根本性質——等積變形；熟練掌握直線型面積的兩個模型：〔1〕等積變形〔2〕鳥頭模型知識精講知識精講直線型面積求解是在以三角形、長方形、正方形、梯形等一些規(guī)那么圖形為根底上進行的。最根本的思想是等積變形。一、等積變形①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，那么可知直線平行于．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．如圖在中，分別是上的點如圖=1\*GB2⑴(或在的延長線上，在上)，那么板塊一、等積變形如圖，長方形的面積是平方厘米，點、、分別是長方形邊上的中點，為邊上的任意一點，求陰影局部的面積．此題是等底等高的兩個三角形面積相等的應用．連接、．∵，∴．同理，，，∴(平方厘米)．【穩(wěn)固】圖中的、、分別是正方形三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是，那么陰影局部的面積是．如圖，有三個正方形的頂點、、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長為10厘米，求陰影局部的面積．對于這種幾個正方形并排放在一起的圖形，一般可以連接正方形同方向的對角線，連得的這些對角線互相都是平行的，從而可以利用面積比例模型進行面積的轉化．如右圖所示，連接、、，那么，根據(jù)幾何五大模型中的面積比例模型，可得，，所以陰影局部的面積就等于正方形的面積，即為平方厘米．【穩(wěn)固】右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是厘米，求三角形的面積．【穩(wěn)固】(2023年西城實驗考題)如圖，與均為正方形，三角形的面積為6平方厘米，圖中陰影局部的面積為．【穩(wěn)固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長為10厘米，那么圖中陰影面積為多少平方厘米？長方形的面積為36，、、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影局部面積是多少？解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下列圖：可得：、、，而即；而，．所以陰影局部的面積是：解法二：特殊點法．找的特殊點，把點與點重合，那么圖形就可變成右圖：這樣陰影局部的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，那么有：．【穩(wěn)固】在邊長為6厘米的正方形內任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與點連接,求陰影局部面積．(2007首屆全國資優(yōu)生思維能力測試)是邊長為12的正方形，如下圖，是內部任意一點，、，那么陰影局部的面積是．〔法1〕特殊點法．由于是內部任意一點，不妨設點與點重合(如上中圖)，那么陰影局部就是和．而的面積為，的面積為，所以陰影局部的面積為．〔法2〕尋找可以利用的條件，連接、、、可得右上圖所示：那么有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以陰影局部的面積是：即為：．(2023年四中考題)如右圖，，，陰影局部面積為5平方厘米，的面積是平方厘米．連接．根據(jù)題意可知，的面積為面積的，的面積為面積的，所以的面積為面積的．而的面積為5平方厘米，所以的面積為(平方厘米)．【穩(wěn)固】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點，的長是長的3倍，的長是長的3倍．那么三角形的面積是多少平方厘米？如圖，大長方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個小長方形組合而成．求陰影局部的面積．如圖，將大長方形的長的長度設為1，那么，，所以，陰影局部面積為．(2023年第七屆〞希望杯〞二試六年級)如圖，在三角形中，三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26．那么三角形的面積是．根據(jù)題意可知，，所以，那么，故．是長方形內一點，的面積是，的面積是，求的面積是多少？由于是長方形，所以，而，所以，那么，所以．如右圖，過平行四邊形內的一點作邊的平行線、，假設的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？根據(jù)差不變原理，要求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差，相當于求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差．如右上圖，連接、．由于，所以．而，，所以(平方分米)．如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積．連接交于點，并連接．如下列圖所示，可得，所以與面積相等(同底等高)，所以有：，因為，所以．【穩(wěn)固】如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積．(2023年〞華杯賽〞決賽)右圖中，和是兩個正方形，和相交于，等于的三分之一，三角形的面積等于6平方厘米，求五邊形的面積．連接、，由于與平行，可知四邊形構成一個梯形．由于面積為6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根據(jù)梯形蝴蝶定理或相似三角形性質，可知的面積為12平方厘米，的面積為6平方厘米，的面積為3平方厘米．那么正方形的面積為平方厘米，所以其邊長為6厘米．又的面積為平方厘米，所以(厘米)，即正方形的邊長為3厘米．那么，五邊形的面積為：(平方厘米)．如圖，長方形的面積，三角形的面積是，三角形的面積是，那么三角形的面積是多少？方法一：連接對角線．∵是長方形∴∴，∴，∴∴．方法二：連接，由圖知，所以，又由，恰好是面積的一半，所以是的中點，因此，所以(第七屆〞小機靈杯〞數(shù)學競賽五年級復賽)如下圖，三角形中，是邊的中點，是邊上的一點，且，為與的交點．假設的面積為平方厘米，的面積為平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面積是平方厘米．，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)．如圖，長方形的面積是2平方厘米，，是的中點．陰影局部的面積是多少平方厘米？如下列圖，連接，、的面積相等，設為平方厘米;、的面積相等，設為平方厘米，那么的面積為平方厘米．，．所以有．比擬②、①式，②式左邊比①式左邊多，②式右邊比①式右邊大0.5，有，即,．而陰影局部面積為平方厘米．(年第一屆〞學而思杯〞綜合素質測評六年級試)如圖，，，被分成個面積相等的小三角形，那么．由題意可知，，所以，；又，所以，同樣分析可得，所以．【穩(wěn)固】〔2023年清華附中入學測試題〕如圖，在角的兩邊上分別有、、及、、六個點，并且、、、、的面積都等于1，那么的面積等于．(2023年四中入學測試題)如圖，，，，，線段將圖形分成兩局部，左邊局部面積是38，右邊局部面積是65，那么三角形的面積是．連接，．根據(jù)題意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面積是40．(2023年走美六年級初賽)如下圖，長方形內的陰影局部的面積之和為70，，，四邊形的面積為．利用圖形中的包含關系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進而求出四邊形的面積．由于長方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為．另解：從整體上來看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色局部的面積，而三角形面積三角形面積為長方形面積的一半，即60，白色局部的面積等于長方形面積減去陰影局部的面積，即，所以四邊形的面積為．【穩(wěn)固】(2023年〞華杯賽〞初賽)如下圖，矩形的面積為24平方厘米．三角形與三角形的面積之和為平方厘米，那么四邊形的面積是平方厘米．(清華附中分班考試題)如圖，如果長方形的面積是平方厘米，那么四邊形的面積是多少平方厘米？如圖，過、、、分別作長方形的各邊的平行線．易知交成中間的陰影正方形的邊長為厘米，面積等于平方厘米．設、、、的面積之和為，四邊形的面積等于，那么，解得(平方厘米)．板塊二鳥頭模型如圖在中，分別是上的點，且，，平方厘米，求的面積．連接，，，所以，設份，那么份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．【穩(wěn)固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影局部)、乙兩局部，，，，乙局部面積是甲局部面積的幾倍？連接．∵，∴，又∵，∴，∴，．如圖在中，在的延長線上，在上，且，，平方厘米，求的面積．連接，，所以，設份，那么份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，，三角形的面積是多少？由于，所以可以用共角定理，設份，份，那么份，份，由共角定理，設份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面積是平方厘米的面積為平方厘米，，求的面積．，設份，那么份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米如圖，三角形面積為，延長至，使；延長至，使；延長至，使，求三角形的面積．(法)此題是性質的反復使用．連接、．∵，，∴．同理可得其它，最后三角形的面積．(法)用共角定理∵在和中，與互補，∴．又，所以．同理可得，．所以．如圖，平行四邊形，，，，，平行四邊形的面積是，求平行四邊形與四邊形的面積比．連接、．根據(jù)共角定理∵在和中，與互補，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．如圖，將四邊形的四條邊、、、分別延長兩倍至點、、、，假設四邊形的面積為5，那么四邊形的面積是．連接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．如圖，，，，，．求．此題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是〞當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比〞的反復運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的種情況．最后求得的面積為．課后練習課后練習(第三屆“華杯賽〞初賽試題〕一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的，黃色三角形面積是．問：長方形的面積是多少平方厘米？如圖，在平行四