高中數(shù)學考試壓軸題講義-最值位置不迷惑單調(diào)區(qū)間始與末（含答案）

【題型綜述】函數(shù)的最值函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點的縱坐標是最大值，圖象上最低點的縱坐標是最小值，對于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.函數(shù)的最值與極值的關系（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€（或者沒有）；（3）函數(shù)f(x)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；（4）對于可導函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.【典例指引】例1．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.例2．設函數(shù).(1)關于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例3．已知函數(shù)的一個極值為．（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，求實數(shù)的值．【新題展示】1．【2019江西新余市一中一?！恳阎瘮?shù)，．當時，若的最小值為3，求實數(shù)a的值；當時，若不等式的解集包含，求實數(shù)a的取值范圍．2．【2019寧夏石嘴山三中期末】已知函數(shù).（1）若的圖像過點，且在點處的切線方程為，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)恒成立，求整數(shù)的最小值.【同步訓練】1．已知函數(shù)（且），為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（Ⅱ）若函數(shù)只有一個零點，求的值．2．已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值．3．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求的值；(2)求函數(shù)在值域.4．設函數(shù)，.（1）關于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程.（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間.（Ⅲ）求在上的最大值和最小值.6．已知函數(shù)．（I）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）當時，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求的取值范圍．7．已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，且，使得，求證：.8．已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的極小值和極大值點。（2）求在上的最大值.9．已知函數(shù)，（）.（1）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)，若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍.10．已知函數(shù).（I）若處取得極值，求實數(shù)a的值；（II）在（I）的條件下，若關于x的方程上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.11．已知函數(shù)，（其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.12．已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．(3)在（1）的條件下，設

=

+，求證：，參考數(shù)據(jù)：

.【題型綜述】函數(shù)的最值函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點的縱坐標是最大值，圖象上最低點的縱坐標是最小值，對于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.函數(shù)的最值與極值的關系（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；（3）函數(shù)f(x)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；（4）對于可導函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.【典例指引】例1．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【思路引導】（1）求切線方程首先求導，然后將切點的橫坐標代入導函數(shù)得切線斜率，然后根據(jù)點斜式寫直線方程即可，（2）求函數(shù)在某區(qū)間的最值問題，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間的單調(diào)性確定最值的取值地方從而計算得出最值點評：對于導數(shù)的幾何意義的應用問題，特別是導數(shù)切線方程的求法一定要做到非常熟練，這是必須得分題，而對于函數(shù)最值問題首先要能準確求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)所給區(qū)間確定函數(shù)去最值的點即可得到最值例2．設函數(shù).(1)關于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】（1）方程等價于，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得的取值范圍；（2）恒成立等價于恒成立，兩次求導，求得的最小值為零，從而可得實數(shù)的取值范圍.學*科網(wǎng)試題解析：（1）方程即為，令，則，當時，隨變化情況如表：↗極大值↘，當時，，的取值范圍是.例3．已知函數(shù)的一個極值為．（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，求實數(shù)的值．【思路引導】（1）由題意得，函數(shù)有兩個極值為和令，從而得到實數(shù)的值；（2）研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，明確函數(shù)的最大值，建立關于實數(shù)的方程，解之即可.學*科網(wǎng)試題解析：（1）由，得，令，得或；令，得；令，得或.所以函數(shù)有兩個極值為和令.若，得，解得；若，得，解得；綜上，實數(shù)的值為或5.學*科網(wǎng)（2）由（1）得，，在區(qū)間上的變化情況如下表所示：【新題展示】1．【2019江西新余市一中一模】已知函數(shù)，．當時，若的最小值為3，求實數(shù)a的值；當時，若不等式的解集包含，求實數(shù)a的取值范圍．【思路引導】當時，化簡的表達式，利用絕對值的幾何意義，求解最小值然后求解a即可．當時，即，通過x的范圍，轉(zhuǎn)化去掉絕對值符號，推出a的范圍．【解析】2．【2019寧夏石嘴山三中期末】已知函數(shù).（1）若的圖像過點，且在點處的切線方程為，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)恒成立，求整數(shù)的最小值.【思路引導】（1）根據(jù)且求得函數(shù)解析式，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）函數(shù)恒成立等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立，根據(jù)零點存在定理確定極值點的范圍，可得的范圍，從而可得結(jié)果.【解析】（1）函數(shù)過點可知，①，，（2）由可知，因為，所以原命題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立.設，可設，在單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一的，使得且當時，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，所以當時，有極大值，也為最大值，且又，所以，∴，可知，所以的最小值為1.【同步訓練】1．已知函數(shù)（且），為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（Ⅱ）若函數(shù)只有一個零點，求的值．【思路引導】(1)由導函數(shù)的解析式可得．(2)由，得，分類討論和兩種情況可得．（Ⅱ），，令，得，則①當時，，極小值所以當時，有最小值，因為函數(shù)只有一個零點，且當和時，都有，則，即，因為當時，，所以此方程無解．②當時，，學*科網(wǎng)極小值點評：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．2．已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值．【思路引導】（1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）當k﹣1≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，f（x）min=f（0）=﹣k；當1＜k≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k﹣1]上遞減，（k﹣1，1]上遞增，；當k＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞減，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e．試題解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.學*科網(wǎng)當x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：x(－∞，k－1)(k－1)(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)當k－1≤0，即k≤1時，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)＝－k.當0<k－1<1，即1<k<2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1.當k－1≥1，即k≥2時，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.學*科網(wǎng)3．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求的值；(2)求函數(shù)在值域.【思路引導】（1）求得的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由已知切線的方程可得的方程組，解方程即可得到所求；（2）求得的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可得到函數(shù)在值域.4．設函數(shù)，.（1）關于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】（1）方程在一個區(qū)間上有解，可以轉(zhuǎn)化為有解，研究該函數(shù)的單調(diào)性和圖像使得常函數(shù)和該函數(shù)有交點即可。（2）該題可以轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，令研究這個函數(shù)的單調(diào)性和最值即可?！喈敃r，隨變化情況如下表：13+0-↗極大值↘∵，，，∴當時，，∴的取值范圍為（2）依題意，當時，恒成立令，學*科網(wǎng)5．已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程.（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間.（Ⅲ）求在上的最大值和最小值.【思路引導】(Ⅰ)首先利用導函數(shù)求得切線的斜率為，結(jié)合函數(shù)在可得切線過點，則切線方程為：．(Ⅱ)結(jié)合函數(shù)的定義域求解不等式和可得單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．則，．（）時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，，．∴，∴．學*科網(wǎng)6．已知函數(shù)．（I）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）當時，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求的取值范圍．【思路引導】(Ⅰ)對函數(shù)求導可得，令得．分類討論可得當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；(Ⅱ)當時，函數(shù)的解析式，則，討論函數(shù)的單調(diào)性可得，，且，則的取值范圍是.（II）當時，，令，得．將，，變化情況列表如下：100↗極大↘極小↗由此表可得，．又，故區(qū)間內(nèi)必須含有，即的取值范圍是．學*科網(wǎng)7．已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，且，使得，求證：.【思路引導】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)導數(shù)值大于零或小于零的不等式的解；（2）根據(jù)題意對進行分類討論，當時顯然不行，時，不能有，設，則由即可，利用單調(diào)性即可證出.點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題.處理導數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會.8．已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的極小值和極大值點。（2）求在上的最大值.【思路引導】（1）當時，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得在區(qū)間上的極小值和極大值點；（2）分兩種情況，討論，分別利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到在上的極大值，與區(qū)間端點值的函數(shù)值比較即可的結(jié)果.試題解析：（1）當時，，令，得或，當變化時，的變化情況如下表：極小值極大值當時，函數(shù)取得極小值，，函數(shù)取得極大值點為.9．已知函數(shù)，（）.（1）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)，若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】（1），恒成立，即求在上恒成立（2）函數(shù)在上有零點，等價于方程在上有解，化簡，得.設，研究單調(diào)性，畫出圖像即得解.試題解析：（1）由題意，得的定義域為，.，∴、隨的變化情況如下表：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以.在上恒成立，∴.10．已知函數(shù).（I）若處取得極值，求實數(shù)a的值；（II）在（I）的條件下，若關于x的方程上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.【思路引導】（Ⅰ）求導數(shù)，把代入導函數(shù)為零可得關于的方程，解之可得實數(shù)的值，檢驗是否有極值即可；（Ⅱ）求，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合其變化規(guī)律可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得答案.11．已知函數(shù)，（其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】（1）先根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，解出，再求導函數(shù)零點，根據(jù)導函數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（2）先化簡，再求導數(shù)，利用參變分離轉(zhuǎn)化為研究兩曲線交點個數(shù)問題：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖像有兩個不同交