高中數(shù)學(xué)必修二7 .1 復(fù)數(shù)的概念

7.1復(fù)數(shù)的概念(精講)

思維導(dǎo)圖

~形如a+bi(a,6CR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=-i.

定義---------------------------------------

復(fù)數(shù)通常用字母Z表示，即z=a+6i(a,6GR),

復(fù)

數(shù)

的設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則a+bi=c+dioa=c且b=d,

概

念

①?gòu)?fù)數(shù)t=@+bi(。，b￡R)二發(fā)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(%b)

幾何意義②復(fù)數(shù)t=o+bi(a,b￡R)二^平面向量血

向量詡模叫做復(fù)數(shù)：=a+bi(a,6CR)的?；蚪^對(duì)值

復(fù)數(shù)t=o+bi的模記為團(tuán)或|a+bi|

|c|=|a+M|=Na?+b：

常見(jiàn)考法

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部

[例1]（1）（2021?廣東潮州?高一期末）復(fù)數(shù)z=i（l+i）的實(shí)部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

（2）（2021?浙江溫州?高一期末）i2021的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.~i

（3）（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=i-U+i）（a￡R,i為虛數(shù)單位）的虛部為2,貝ija=（）

A.-2B.2

C.-1D.1

【答案】（1）B（2）A（3）B

【解析】⑴???z=i（l+i）=i+i2=—1+i,.?.實(shí)部為一1,故選：B.

⑵因?yàn)閲?yán)'=（『嚴(yán)i=i,.寧⑼的虛部為1.故選:A.

（3）z=i1（a+i）=-l+“i,

由于復(fù)數(shù)z=i?（a+i）（a￡Ri為虛數(shù)單位）的虛部為2,?,.a=2,故選：B.

【一隅三反】

1（2021?廣東?深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)高一月考）若復(fù)數(shù)z滿足z=6i+罰，則z的虛部是（）

A.-2iB.6iC.1D.6

【答案】D

【解析】z=6i+2i2=-2+6i,則z的虛部6,故選:D.

2.（2021?福建莆田?高一期末）若復(fù)數(shù)z=l-玲，則z的虛部是（）

A.-2B.-2iC.2D.2i

【答案】A

【解析】因?yàn)閖2=—],所以i，=i?Xi?xi=i,z=1—2i5=1—2i?所以復(fù)數(shù)/的虛部是—2.故選：A.

3.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-p|=i-2,則z的虛部為()

33

A.—B.—C.iD.1

44

【答案】D

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,xeR,yeR,由z-卜卜i-2,得(x+負(fù))一廳行'=i一2,

即(x-a+y2)+yi=-2+i,解得，y=l,故z的虛部為1.故選：D.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的分類

【例2】(2021?福建省建甌市芝華中學(xué)高一月考)己知復(fù)數(shù)2=反烹詈+(/-5,w-6)i(,weR),試求實(shí)

數(shù)卬的值或取值范圍，使得z分別為：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).

【答案】(1)，〃=6；(2)1)0(1,6)u(6,+a));(3)不存在實(shí)數(shù)加使得z為純虛數(shù).

w?~—Sm—6=0Itn——=6

,，八'得，口，所以〃，=6,即當(dāng)帆=6時(shí)，z為實(shí)數(shù).

{m--1^0,[加工1且加二一1,

(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，有6Ho且川-1工0,所以〃2K-1且加片6且ZMWI,

即當(dāng)，1)5-1,1)。(1,6)"6,+00)時(shí)，z為虛數(shù).

IYT-5m-6w0,m*一1且機(jī)*6,

(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),/<m2-7TH+6所以■胴=6或胴=1,故不存在實(shí)數(shù)”使得z為純虛數(shù).

=0,

nV-1mw1且加H-1,

【一隅三反】

1.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(a+i)(l+2i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)“為()

A.—2B.2C.—D.!

22

【答案】B

。一2=0

【解析】由題意，z=(a+i)(l+2i)=(T)+(2a+l)喏z為純虛數(shù),則故選：B

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)a,6CR,i是虛數(shù)單位，則“a6R”是“復(fù)數(shù)aVi為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】?.?"”〃=(),則。=0或6=0”，"復(fù)數(shù)從為純虛數(shù)”則。=0且6x0,

?「劭=0”是"復(fù)數(shù)。-加為純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選：B

3.(2021?廣東?徐聞縣第一中學(xué)高一期中)已知復(fù)數(shù)z=(療+5利+6)+(疝-2m—15)i(meR).

(1)若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值：

【答案】⑴5或-3；⑵｛向，"5且機(jī)~3｝；(3)/n=-2.

【解析】⑴由題意，復(fù)數(shù)znW+Sm+eHW-2m_i5)i(,〃eR)

因?yàn)閺?fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，可得2〃?-15=0時(shí)，解得桃=5或-3,即實(shí)數(shù)m的值為5或-3.

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z是虛數(shù)，可得毋-2〃L15Ho時(shí)，解得“45且〃?w-3.

所以實(shí)數(shù)"?的取值范圍為仙|加工5且相?3｝.

(3)因?yàn)閺?fù)數(shù)z是純虛數(shù)，可得,'"-￥一:：°,解得帆=-2.

[m+5m+6=0

考點(diǎn)三復(fù)平面

【例3】(1)(2021?廣東電白?高一期中)設(shè)z=-3-2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))向量OZ；對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-4i,向量函對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-5+4i,則OZ；+困

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.-10+8iB.10-8i

C.0D.10+8i

⑶(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))復(fù)數(shù)z=x-2+(3-x)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范

圍是.

【答案】⑴C⑵C(3)(3,+oo)

【解析】(1)由題意知：z=-3-2i,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-3,-2),

故在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.

⑵由題意可知：6>Z,'=(5,-4).OZ；=(—5,4),二兩+鬲'=(5,T)+(-5,4)=(0,0).

，西+因?qū)?yīng)的復(fù)數(shù)是0.故選：C

|x-2>0

（3）因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以八解得x>3.故答案為：（3,+oo）

[3-x<0

【一隅三反】

1.（2021建國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)z=3+4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Z，則對(duì)應(yīng)的向量無(wú)|為（）

A.-3-4iB.4+3iC.-4-3iD.-3+4i

【答案】A

【解析】：復(fù)數(shù)z=3+4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z（3,4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為7.（-3,-4）

對(duì)應(yīng)的向量應(yīng)?=-3-4i故選：A.

2.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)z=（4-2e）+（a2-a-2）?的共物復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a的

值為（）

A.a=0或a=2B.a=0

C.a^l,且a#2D.a#l或a#2

【答案】A

【解析】?.?復(fù)數(shù)乞=（a3a）+Q2-a"”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，.??也打力，.,.aR或故選:A.

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面中的下列哪個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（）

A.方=（1,2）B.。方=（-3,0）

C.反=（。，|）D.OD=（-1，-2）

【答案】C

【解析】向量反=（（），|）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為|/,是純虛數(shù).故選：C

4.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）四邊形A88是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，已知A、B、C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)

的復(fù)數(shù)分別是l+3i,-i,2+i,則向量而所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A.l-2iB.2+2iC.2-2iD.3+6i

【答案】D

【解析】依題意A（1,3）,6（O,T）,C（2,1）,所以AC中點(diǎn)為g,2）,所以￡>（3,5）,

所以加=（3,6）,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為3+6i.故選：D

考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)

【例4】（1）（2021?吉林吉林?高三月考（文））若復(fù)數(shù)z=?,其中i為虛數(shù)單位，則|z|=（）

A.V2B.1C.也D.2

2

（2）（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程/z/+2z=13用i的解是0

A.3掰iB.4+3i

因?yàn)?3—2x20,故所以x=于不符合要求，故z=4+3i.故選：B

【一隅三反】

1.（2021?安徽滁州,高一期中）若復(fù)數(shù)z滿足z-（l+i）=2i,則z的模是（）

A.72B.2C.MD.10

【答案】C

【解析】由z—（l+i）=2i,得z=2i+（l+i）=l+3i,則|z|=JI5.故選：C

2.（2021?浙江浙江?高一期末）若復(fù)數(shù)z滿足z+25=3-i,則|z|=（）

A.1B.72C.6D.2

【答案】B

【解析】設(shè)z=a+砥。,6eR）,則2=所以。+加+2（。-沆）=3-i,fi|J3a—bi=3—i,

所以a=l,0=1,z=\+i,所以|z|=ViTT=VL故選：B

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=（序⑼+（/+2w-3）j是純虛數(shù)，其中如GA,則/z/-—,z=

【答案】12-12/

【解析】由條件知愧鴛血所以行,

因此z=\2i,故/z/=12,5=-12上故答案為：12；-12;

4.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2,則2=

【答案】1

【解析】設(shè)2=。+5(兄〃€1<),所以z+|z|=a+Ai+，6+從=2,

所以1+&+從=2,解得[：=：,所以z=i.故答案為：1

b=01。=0

考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用

【例5】(1)(2021?河北?張家口市第一中學(xué)高一月考)已知a,6wR,(a-l)i—b=3-2i,z=Q+i尸,則

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.z的虛部是2B.|z|=2

C.z=-2iD.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

(2)2021哈國(guó)福一課時(shí)練習(xí))已知“"cR,若b+(a-6)i>2(7?為虛數(shù)單位)，則”的取值范圍是()

A.a>2或4〈一1B.々>1或。<一2C.-l<a<2D.-2<a<\

【答案】(1)D(2)A

【解析】⑴由復(fù)數(shù)相等可得廠解得?所以z=(i+i)“"=(i+i)2=2i,

z的虛部是2,所以A選項(xiàng)正確；

|z|=|2i|=2,所以B選項(xiàng)正確；

z=-2i，所以C選項(xiàng)正確；

z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，所以1)選項(xiàng)不正確.

故選：D.

(2)由題意，/-6+(a->2故/-b+(a-為實(shí)數(shù)

\a-b=Q,

?>>,?a~-a—2>0(a-2)(a+1)>0?-a>2或a<—1故選：A

[a-h>2

【一隅三反】

1.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))(多選)實(shí)數(shù)*,y滿足(l+i)x+(l-i)y2設(shè)z=x+yi,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

B.『z/二'尬'

C.z的虛部是i

D.z的實(shí)部是1

【答案】ABD

[x+y-2=0,

【解析】實(shí)數(shù)必y滿足（l+i）x+（lT）y3,可化為iR,二八解得x可二1,

[x-y=0,

/.z=xtri=l+i.

對(duì)于A,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1）,位于第一象限，故A正確.

對(duì)于B,/z/=477=0,故B正確.

對(duì)于C,z的虛部是1,故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,z的實(shí)部是1,故D正確.

故選:ABD.

2.（2021?山東萊西?高一期末）（多選）設(shè)復(fù)數(shù)z=m（3+i）-（2+i）,i為虛數(shù)單位，加eR,則下列結(jié)論正

確的為（）

A.當(dāng)2;<〃?<1時(shí)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

B.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線x-2y+l=0上，則加=1

C.若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則機(jī)=：

D.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z',。為原點(diǎn)，若|兩卜而，則機(jī)=2

【答案】AC

【解析】由z=m（3+i）-（2+i）,得z=（3，w-2）