初中數(shù)學(xué)八大模型練習(xí)題

2020中考專題——初中幾何模型大全

一、輔助圓

模型1共端點(diǎn)，等線段模型

如圖①，出現(xiàn)“共端點(diǎn)，等線段”時，可利用圓定義構(gòu)造輔助圜.

如圖②，若OA=OB=OC,則/、B、C三點(diǎn)在以。為留心，為半徑的圓上.

如圖③，常見結(jié)論有：乙ACB二g乙AOB,乙BAC=*LBOC.

模型分析

???OA=OB=OC,

A.B.C到點(diǎn)O的距離相等.

A.B.C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，CM為半徑的圓上.

??LACB是AB的|M|周角，LAOB是AB的留心角，

???上ACB=J乙AOB.

同理可證4乙8OC.

(1)若有共端點(diǎn)的?:條等線段，可考慮構(gòu)造輔助圓.

(2)和浩鋪助吃層方仲利川苗的柞脂抉i束解決體度同順.

模型2直角三角形共斜邊模型)

圖①

模型分析,

如圖①、②，RtMBC和&△"￡?共斜邊⑷S,取48中點(diǎn)O,

根據(jù)百角三角形斜邊中線等于斜邊一半，

可得：OC=OD=OA=OB,

???A,B、U。四點(diǎn)共圓.

(1)共斜邊的兩個直角三角形,同側(cè)或異側(cè)，都會得到四點(diǎn)共圓;

(2)四點(diǎn)共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是證明

缶唐和笑市舞的徐若:>一

二、“8"字模型與飛鏢模型

如圖所示，AC.8D相交于點(diǎn)。,

連接/￡)、BC.

結(jié)論：乙A+乙D=LB+乙C.

模型分析

證法一：；乙AOB是4A0D的外角,i正法二：???Z4+乙。+44?！?gt;=180°,

???44+4。=18()°-Z.AOD.

??,4408是△BOC的外角，■■■48+4C+480c=180°,

???乙B+/LC=￡AOB.Zfl+ZC=180°~/_BOC.

■■-Z.A+LD=Z.B+/.C.乂???LAOD=LBOC,

■■乙4+乙D=AB+乙C.

(1)因為這個圖形像數(shù)字8,所以我們往往把這個模型稱為8字模型.

raw曳微則往往#n何緯合目山wta缶農(nóng)口#田到

模型2角的飛鏢模型

如圖所示，有結(jié)論:

乙D=AA+乙B+乙C.

模型分析

解法一：如圖①，作射線4D

???43是ZU8。的外角,

:.Z3=Z.fi+Zl.

???44是△"1/）的外角，

44=ZC+N2.

???Z.80c=43+44.

乙BDC=LB+乙1+乙2+乙C.

???（BDC=LBAC+/.B+乙C.

解法二：如圖②，連接8c

vZ.2+Z.4+Z.D=I8O\

r0=180*-（42+乙4）.

ZJ+42+ZL3+乙4+44=180°,

44+乙1+乙3=180°-（乙2+44）.

乙。=乙/+41+乙3.

(1)因為這個圖形像《鏢，所以我們往往把這個模型稱為飛鏢模型.

(ok的出刑左n陽丹AM門山班》依rtHL+仙tu

模型3邊的“8”字模型

如圖所示，AC.8D相交于點(diǎn)0,

連接BC.

結(jié)論：AC+BD>AD+BC.

模型分析

vOA+OD>AD?

OB+OOBC?

由①+②得：

OA+OD+OB+OOBC+AD.

即：AC+BD>AD+BC.

模型4邊的飛鏢模型

如圖所示有結(jié)論:

AB+AOBD+CD.

模型分析

如圖，延長8。交力。于點(diǎn)及

???4BMC"B+4E+EC,

AB+AE>BE,

???AB+AOBE+EC①

vBE+EC=BD+DE+EC,

DE+EOCD,

???BE+EC>BD+CD.②

由①②可得：

4R+4r>?n+rn

三、角平分線四大模型

模型1角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線

如圖.P是4/ON的平分線上一點(diǎn)，

過點(diǎn)P作以J.OM于點(diǎn)/,PBLON

于點(diǎn)8,貝i]P3=E4.

模型分析,

利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角

相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口.

，丁二Q中學(xué)數(shù)字

模型2截取構(gòu)造對稱全等

如圖.尸是4MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)

/是射線匕任意一點(diǎn)，在ON上截取

OB=OA,連接P8,則△OP84ZSO/M.

模型分析,

利用角平分線圖形的對稱性,在用的兩邊構(gòu)造對稱全等二角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)

角相等.利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移,這是經(jīng)常使用的一種解題坤巧............

、心「5Q中學(xué)收字

模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形

如圖，P是aMCW的平分線上一點(diǎn)，APLOP

于尸點(diǎn)，延長/P交CW于點(diǎn)8,則△408是等

腰三角形.

模型分析,

構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)

而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系r起來.....

￡了3Q中宇窺字

模型4角平分線+平行線

如圖,尸是乙MCW的平分線上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作

PQ//ON,交OMJ：點(diǎn)。，則△P。。是等腰三角

形.

模型分析

有角平分線時，常過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線,構(gòu)造等腰三角形,為證明結(jié)

論提供更多的條件，體現(xiàn)「角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系.

'耗:「3Q中宇射學(xué)

四、截長補(bǔ)短

模型截長補(bǔ)短

ABCD

如圖①，若證明線段/8、CD.￡尸之間存在

I__|

EFEF=AB+CD,可以考慮破長補(bǔ)短法.

①

截長法：如圖②，在E尸上截取EG=/8,再證明

|_1_|

EGFGF=CQ即

②

補(bǔ)短法：如圖③，延長至，點(diǎn)，使BH=CD,

1_____L\

ABH再證明尸即可.

模型分析

截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截K,指在長線段中截取一段等于已

知線段；補(bǔ)短，指將?條短線段延長，延長部分等于已知線段.該類題H中常出現(xiàn)等腰

三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完或證明過程.....

'七丁5Q卬字級字

五、手拉手模型

如圖，是等腰三角形、ZU0E是等腰三角形，AB=AC,HE.乙BAC=LDAEr\

結(jié)論：連接8。.CE,則有△84〃金404￡

模型分析

如圖①.

LBAD=Z,BAC-^DAC.

LCAE=LDAE-LDAC.

vLBAC=LD.4E=a,

2BAD=/_CAE.

在△84。和△C4￡中.

:.△BAD'^dCAE.

圖②.圖③同理可證.

(I)這個圖形是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰：.角形構(gòu)成.在相*i位過變化的同時.

始終存在一對全等三角形.

(2)如果把小等腰三角形的腺長看作小手，大等腰?飽影的腰長看作大手，兩個等股三

角形仃公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手，所以把這個模型稱為手拉手模笈.

(3)手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合,在考試中作為幾何琮合題目出現(xiàn).

N二T3Q中物學(xué)

六、三垂直全等模型

模型三垂直全等模型

如圖.Z.D=Z.^C4=Z￡=9(r.BC=AC

結(jié)論：RtA5CDRIAC4E

模型分析

說到三垂直模型，不得不說嚇弦圖，弦圖的運(yùn)用在初中直角三角形中占有舉足輕重的

地位，很多利用垂直倒角,勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖中支離出來的

一部分幾何圖形去求解.圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖.

JfiH圖形變形如下圖③.圖④,這也是由弦圖演變而來的.

圖③

:&T3Q申物學(xué)

七、將軍飲馬模型

模型1定直線與兩定點(diǎn)

模型作法結(jié)論

A

//

/p

/

班的以小假為初

8B

當(dāng)兩定點(diǎn)46在真戰(zhàn)/津連接”交用愛/于點(diǎn)尸，點(diǎn)

依時，在在線/上找一點(diǎn)九戶即為所求件的點(diǎn)_

使用+尸8外小.

B/

\/

:/P1

1/

?zZ用印8的G小俏為.W

R

H'

當(dāng)網(wǎng)定點(diǎn)8件H線/同作點(diǎn)8關(guān)L作線，的對稱點(diǎn)".

但時，在直線/上找一點(diǎn)匕注接.48，交fl線/于點(diǎn)尸，點(diǎn)

使得PA+PB最小.P即為所求竹粕瓜

?A/

B?XX

---------------------/川-/詞的的大值為，?仍

-----------------------/P1

當(dāng)網(wǎng)定點(diǎn)/.8正直線“聰連接"并延長交直線“點(diǎn)

時.在反稅”找點(diǎn)P,使2點(diǎn)。即為所求作的點(diǎn).

鼎PA-PB|最尢

?A

/

/：_____________,

P:'

|四-加的最大偵為

?B'BIB'

當(dāng)兩定點(diǎn)8在自找/異M作點(diǎn)8關(guān)于直線/的對禰點(diǎn)比

時，在過我/上找一點(diǎn)巴他燈逢接4"井廷長交直線/于點(diǎn)

IPA-PH肽大.H點(diǎn)，即為所求作的點(diǎn)

上,

?A

B?

iP\|巴一尸8|的堀小值為0

\

\

模型2角與定點(diǎn)

模型作法結(jié)論

三pA

/A

°n\j

△PCD周氏的最小值為產(chǎn)產(chǎn)'

\(

、

---------------BP"

點(diǎn)。在乙內(nèi)部,在。8分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、OB

邊上.找點(diǎn)“?！边吷险尹c(diǎn)的對稱點(diǎn)產(chǎn).P",連接

C,使得△P。周長最小.PP,交。4、03千點(diǎn)C、

D.點(diǎn)C、。即為所求.

A

Z'

/.

o1a

n\:PMCD的最小值為PC

OB、1產(chǎn)

點(diǎn)P在乙4。8內(nèi)部，(￡OB作點(diǎn)］關(guān)于0?的對稱點(diǎn)科

邊上找點(diǎn)O,OA邊上找點(diǎn)過產(chǎn)作PCICM交08于。.

C,使得PD+C。坡小.點(diǎn)C、點(diǎn)。即為所求.

AP'<

/;

OBPC+CD+DQ的hi小值為

尸。，所以四邊形同

iP0"C

O,-------------------------8

Q'氏的最小值為「。+產(chǎn)?！?/p>

點(diǎn)P.。在4/O8內(nèi)部，在分別作點(diǎn)R。關(guān)于04

“8邊上找點(diǎn)“邊1.08的對稱點(diǎn)產(chǎn).。'，連接

找點(diǎn)C,使得四邊形P0DCPQ,分別交04。8于點(diǎn)

周長坡小,C,D.點(diǎn)C.。即為所求.

模型3兩定點(diǎn)一定長

模型作法結(jié)論

A

AM+MN+NB的最

小值為A"B+d

如圖，在直線/上找歷、N兩點(diǎn)將4向在平移d個單位到⑷，作4

（M在左），使得4M+MN+NB最關(guān)于/的對稱點(diǎn)X”,連接與直線

小，Q.MN=d./交于點(diǎn)M將點(diǎn)N向左平移"個單

位即為點(diǎn)“、N即為所求.

如圖,間距離為乩將/向下平移d個單位到連接，8

在人分別找“、N兩點(diǎn)，使交直線《于點(diǎn)M過點(diǎn)N作MNLL，

得MN_L4，且AM+MN+NB最連接力".點(diǎn)M、N即為所求.

小.戈；TSQ中學(xué)數(shù)字

八、半角模型

模型半角模型:)

已知如圖：

①42=■1?乙408；

②O4=OB.

連接FB,將△尸08繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至的

位置，連接尸￡FE,

可得△(?￡■尸/△OEF".

模型分析,

,?■LOBF^^OAF,

:43=44,OF=OF.

?-?乙2=)乙4OB,

???41+43=42.

二Z1+Z4=Z2.

又：0E是公共邊，

???LOEF^^OEF.

(1)半用模型的命名：存在兩個角度是?半關(guān)系，并H這兩個角共頂點(diǎn);

(2)通過先旋整全等再軸對稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；

(3)常見的半角模型是90?含45\120?含60*.

%:T3Q中學(xué)教學(xué)

九、螞蟻行程

模型立體圖形展開的最短路徑

模型分析

上圖為無底的圓柱體側(cè)面展開圖，如果螞蟻從點(diǎn)4沿圓柱表面爬行一周，到點(diǎn)8的最短

路役就是展開圖中48,的K,做此類題目的關(guān)鍵就是，正確展開立體

圖形，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“兩邊之和大于第二邊”準(zhǔn)確找出望曹沖學(xué)勤學(xué)

十、中點(diǎn)四大模型

模型1倍長中線或類中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形

倍長中線

圖①

模型分析

如圖①，/￡>是△48C的中線，延長4)至點(diǎn)E使?！?/。，易證：l^DC^LEDB(SAS).

如圖②，。是8c中點(diǎn)，延長尸。至點(diǎn)￡■使?！?尸￡>,易證：△FD8義△EOC(SAS).

當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時候，可以嘗試倍K中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.FI的是對

已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.

論TSQ中學(xué)數(shù)學(xué)

模型2已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”

連接中線

等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線介?”的性質(zhì)得

到角相等或邊相等,為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見等腰三角形的時候，就應(yīng)想到：“邊

等、角等、三線合一”.

~二丁二Q中學(xué)繳學(xué)

模型3已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以考慮中位線定理

取另一邊中點(diǎn)

構(gòu)造中位線

在三角形中,如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線,利用三角形中位線的性質(zhì)定理:

0E〃8C,且。來解題.中位線定理中既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系,

該模型可以解決角相等，線段之間的倍半.相等及平行問題.

七T3Q中學(xué)班學(xué)

模型4已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線

構(gòu)造直角三加形斜邊上的中線

在直角三角形中，當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時,經(jīng)常會作斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的-半，即來證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個等

腰三角形：△力。和△88,該模型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用........

、eTSQ中字繳字

H^一、圓中的輔助線

模型1連半徑構(gòu)造等腰三角形

已知是OO的一條弦，

連接Q/LOB,則乙4=乙8

在網(wǎng)的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件.我們通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形,

利用等腰三角形的性質(zhì)及例中的相關(guān)定理，解決角度的計算問題.

、心T5Q中學(xué)數(shù)學(xué)

模型2構(gòu)造直角三角形

如圖①，已知/仍是。。的代役.點(diǎn)c是囚I上?點(diǎn)，連接

AC,BC,則44C8=9(r.

如圖②，已知18是。。的一條弦，過點(diǎn)。作OEJ./8.

則06+3="

圖②

模型分析

(1)如圖①.當(dāng)圖形中含有直徑時，構(gòu)造自徑所對的圓周角是解決問題的重要思路，在

證明有關(guān)問題中注意900的加|周角的構(gòu)造.

(2)如圖②，在解決求弦長、弦心距.半徑問題時,在圓中常作弦心距或連接半徑作為

輔助線,利用弦心距、半徑和平弦組成個直角三角形，再利用勾股定網(wǎng)注年計%

「一Q甲字勿(字

模型分析

(1)已知切線：連接過切點(diǎn)的半徑；如圖，已知宜線.48是0。的切線，點(diǎn)。是切點(diǎn)，連

接OC,則0clz18.

(2)證明切線:①當(dāng)已知直線經(jīng)過圜上的一點(diǎn)時,連半徑,證垂直;

如圖，已知過圓上一點(diǎn)C的立線連接OC,證明OCJ./8,則直線48是。。

的切線.

②如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時，作垂直，證明垂線段長度等于半往；

如圖，過點(diǎn)。作OCJ.48,證明。。等于O。的半徑，則T［線48是G)。的切線.

<1丁3Q中學(xué)勤學(xué)

十二、相似模型

模型14、8模型

zf型已知：Z1=Z.2

結(jié)論：LADE^LABC

8型

模型分析,

如圖，在相似三角形的判定中,我們常通過作平行線，從而得出*型或8型相似.在做

題時，我們也常常關(guān)注題口中由平行線所產(chǎn)生的相似三用形.

一二丁力中學(xué)變存

模型2共邊共角型

已知：乙1=乙2

結(jié)論：XACDsXABC

模型分析,

上圖中，不僅耍熟悉模型，還要熟記模型的結(jié)論，有時候題目中會給出三角形邊的乘積

關(guān)系或者比例關(guān)系，我們要能快速判斷題中的相似三角形，模型中由△ICOs