5.1.1變化率問(wèn)題（2）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

5.1.1變化率問(wèn)題（2）第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2024/1/10高二數(shù)學(xué)備課組引

入平均速度瞬時(shí)速度2.求物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度一般步驟：平均變化率瞬時(shí)變化率1.物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的本質(zhì)是平均速度的極限.無(wú)限逼近取極限無(wú)限逼近取極限3.數(shù)學(xué)思想、方法：特殊到一般、極限思想幾何意義？探究新知問(wèn)題1：

如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切.對(duì)于一般的曲線C，如何定義它的切線呢?

追問(wèn)1：如果一條直線與一條曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這條曲線一定相切嗎？追問(wèn)2：如果一條直線與一條曲線相切，那么它們一定只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？不一定因此，我們不能像研究直線和圓的位置關(guān)系那樣，通過(guò)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義相切了.不一定xyOf(x)＝sinx－11探究新知探究你認(rèn)為應(yīng)該如何確定拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線?

下面我們以拋物線f(x)=x2為例進(jìn)行研究.問(wèn)題2

拋物線的切線的斜率追問(wèn)3：斜率是確定直線的一個(gè)要素，如何求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線的斜率呢？幾何意義：函數(shù)圖象上過(guò)點(diǎn)

(1,h(1))和點(diǎn)(1+Δt,h(1+Δt))的直線斜率類比上節(jié)課的研究思路，例如研究運(yùn)動(dòng)員在t=1s的瞬時(shí)速度幾何意義是什么？探究新知我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線.T觀察如圖，在點(diǎn)P0(1,1)的附近任取一點(diǎn)P(x，x2)，當(dāng)點(diǎn)P沿著拋物線f(x)=x2趨近于點(diǎn)P0(1,1)時(shí)，割線P0P有什么變化趨勢(shì)?1.切線：探究新知

追問(wèn)3：如何求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線P0T的斜率k0呢?由切線定義知，xy121234OP?P0?T?割線P0P的斜率為切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內(nèi)在聯(lián)系.記?x＝x－1，P(1+?x,(1+?x)2)，割線位置切線位置無(wú)限逼近割線斜率切線斜率無(wú)限逼近取極限注：?x可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.讓橫坐標(biāo)變化量Δx趨近于0，觀察割線斜率的變化情況.探究新知?x<0?x>0?x?x

通過(guò)觀察可得，當(dāng)?x無(wú)限趨近于0，即無(wú)論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，割線P0P的斜率k近都無(wú)限趨近于2.

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過(guò)不斷縮短橫坐標(biāo)間隔|?x|來(lái)提高近似表示的精確度，得到如下表格：探究新知當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限靠近點(diǎn)P0，即?x無(wú)限趨近于0時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于切線P0T，因此切線P0T的斜率為?x無(wú)限趨近于0無(wú)限趨近于2

記為2.切線的斜率：探究新知xyO121234P0記點(diǎn)P橫坐標(biāo)為

x=2+Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(2+Δx,(2+Δx)2).故拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(2,4)處的切線P0T的斜率為4.P問(wèn)題2：你能用上述方法求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(2,4)處的切線P0T的斜率嗎？于是割線P0P的斜率探究新知xyO121234P0記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=

x0+Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)即為

(x0+Δx,(x0+Δx)2).于是割線P0P的斜率故拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(x0,x02)處的切線P0T的斜率為2x0.問(wèn)題3：一般地，如何求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(x0,x02)處的切線P0T的斜率呢？P切線斜率的本質(zhì)是瞬時(shí)變化率例題講解例1求拋物線f(x)=x2+2x在點(diǎn)P

(1,3)處切線的斜率.變式求拋物線f(x)=x2+2x在點(diǎn)P

(1,3)處的切線方程.例題講解例2求拋物線f(x)=2x2+4x在點(diǎn)(3,30)處的切線方程.Δy＝f(3＋Δx)－f(3)=2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx

＝2(Δx)2＋16Δx解：在點(diǎn)(3,30)附近任取一點(diǎn)(3＋Δx，f(3＋Δx))，則探究新知方法歸納：求在某點(diǎn)處的切線方程3.切線方程課堂練習(xí)課堂練習(xí)2.求拋物線f(x)=x2+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程.課堂練習(xí)1.你認(rèn)為應(yīng)該怎樣定義拋物線f(x)=x2在點(diǎn)(x0,x02)處的切線?試求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)(－1,1)處切線的斜率.探究新知

思考觀察問(wèn)題1中的函數(shù)的圖象，平均速度的幾何意義是什么?瞬時(shí)速度v(1)呢?th1O?(1,h(1))?(1+?t,h(1+?t))課堂練習(xí)課堂練習(xí)作業(yè)：教材P70頁(yè)習(xí)題第7題.1.求拋物線y＝x2－1在點(diǎn)A(2,3)處切線的斜率．2.求