湖南雅禮中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末預(yù)測試題含解析

湖南雅禮中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末預(yù)測試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位數(shù)和眾數(shù)都為26D．乙得分的方差小于甲得分的方差2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長為()．A． B．2 C． D．3．已知集合，，則A． B． C． D．4．若實(shí)數(shù)滿足,則的大小關(guān)系是：A． B． C． D．5．已知圓，由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2 C． D．6．已知函數(shù)的零點(diǎn)是和（均為銳角），則（）A． B． C． D．7．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則的方程為（）A． B．C． D．8．已知數(shù)列滿足，，，則的值為（）A．12 B．15 C．39 D．429．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且成等差數(shù)列，則等于()A． B． C． D．10．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．兩圓，相切，則實(shí)數(shù)＝______.12．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，，，則的值是________．13．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則______________.14．在《九章算術(shù)·商功》中將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點(diǎn)為______.15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_______．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，圓：，動(dòng)點(diǎn)在直線：上（），過分別作圓，的切線，切點(diǎn)分別為，，若滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)千件需另投人成本萬元.當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，萬元，每千件產(chǎn)品的售價(jià)為50萬元，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤萬元關(guān)于千件的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)該廠當(dāng)年的利潤最大？18．如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點(diǎn)，作扇形的內(nèi)接矩形，使點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，設(shè)矩形的面積為,（1）按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：①設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式，（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值．19．已知數(shù)列滿足若數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：是等差數(shù)列.20．（1）設(shè)1＜x＜，求函數(shù)y＝x（3﹣2x）的最大值；（2）解關(guān)于x的不等式x2-（a+1）x+a＜1．21．如圖，在平面四邊形中，，，的面積為．⑴求的長；⑵若，，求的長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，甲得分的極差為32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正確，對(duì)于B，甲得分的平均值為，其方差為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)、眾數(shù)都是26，C正確，對(duì)于D，乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及數(shù)據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把，已知面積代入求出的長，再利用余弦定理即可求出的長．【題目詳解】∵在中，，且的面積為，

∴，

解得：，

由余弦定理得：，

則．

故選D．【題目點(diǎn)撥】此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．3、C【解題分析】分析：由題意先解出集合A,進(jìn)而得到結(jié)果。詳解：由集合A得,所以故答案選C.點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。4、D【解題分析】分析：先解不等式,再根據(jù)不等式性質(zhì)確定的大小關(guān)系.詳解：因?yàn)?所以,所以選D.點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式解法以及不等式性質(zhì)，考查基本求解能力與運(yùn)用性質(zhì)解決問題能力.5、A【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求處切線長的最小值，即可得到答案．【題目詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以切線長的最小值為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化的解，利用韋達(dá)定理和差公式得到，得到答案.【題目詳解】的零點(diǎn)是方程的解即均為銳角故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)，韋達(dá)定理，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7、D【解題分析】

設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)（1,0）的坐標(biāo)即得解.【題目詳解】設(shè)直線的方程為，由題得.所以直線的方程為.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可．【題目詳解】由題意得所以為等差數(shù)列，，，選擇B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了判斷是否為等差數(shù)列以及等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，并轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值，進(jìn)而求得的值.【題目詳解】由于成等差數(shù)列，故，即，所以，，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】試題分析：由題意得，，故，故選C．考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0,±2【解題分析】

根據(jù)題意，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析兩圓的圓心與半徑，分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況討論，求出a的值，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意：圓的圓心為（0，0），半徑為1，圓的圓心為（﹣4，a），半徑為5，若兩圓相切，分2種情況討論：當(dāng)兩圓外切時(shí)，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，綜合可得：實(shí)數(shù)a的值為0或±2；故答案為0或±2．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判定方法．12、【解題分析】

由題得計(jì)算得解.【題目詳解】由題得,所以.因?yàn)榈缺葦?shù)列同號(hào)，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比中項(xiàng)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.13、【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意建立和的方程組，解出這兩個(gè)量，即可求出的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，因此，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是要建立首項(xiàng)和公差的方程組，利用這兩個(gè)基本量來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)，可得平面，進(jìn)而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點(diǎn).【題目詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點(diǎn)為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

推導(dǎo)出a1＝1，a2＝2×1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【題目詳解】∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2時(shí)，22n﹣2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，分類討論是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，是基礎(chǔ)題．16、.【解題分析】

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和三角形全等，得到，求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解．【題目詳解】由題意得：，，設(shè)，如下圖所示∵PA、PB分別是圓O，O1的切線，∴∠PBO1=∠PAO=90°，又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，∴，∴，整理得，∴點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓，∵動(dòng)點(diǎn)P在直線：上（），滿足PB=2PA的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，∴該直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離d滿足，即，解得或，又因?yàn)?，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圓的切下的性質(zhì)和三角形全等求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）100【解題分析】

（1）由于每生產(chǎn)千件需另投人成本受產(chǎn)量的影響有變化，根據(jù)題意，所以分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)利潤的定義寫出解析式.（2）根據(jù)（1）的利潤函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，用二次函數(shù)法求最大值；當(dāng)時(shí)，用基本不等式求最大值.最后兩段中取最大的為利潤函數(shù)的最大值，相應(yīng)的x的取值即為此時(shí)最大利潤時(shí)的產(chǎn)量.【題目詳解】（1）根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為950萬.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，的最大值為1000萬.綜上：當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠當(dāng)年的利潤最大.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，還考查了建模，運(yùn)算求解的能力，屬于驃題.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（1）①通過求出矩形的邊長，求出面積的表達(dá)式；②利用三角函數(shù)的關(guān)系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達(dá)式；（2）利用（1）②的表達(dá)式，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值.試題解析：（1）①因?yàn)椋?，所以，．②?dāng)時(shí)，，則，又，所以，所以，（）．（2）由②得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．考點(diǎn)：1.三角函數(shù)中的恒等變換；2.兩角和與差的正弦函數(shù).【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)解析式的求法，三角函數(shù)的最值的確定，三角函數(shù)公式的靈活運(yùn)用，計(jì)算能力，屬于中檔題，此題是課本題目的延伸，如果（2）選擇（1）①中的解析式，需要用到導(dǎo)數(shù)求解，麻煩，不是命題者的本意，因此正確的選擇是選擇（1）②中的解析式，化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值,此類題目選擇正確的解析式是求解容易與否的關(guān)鍵.19、(1)(1)證明見解析【解題分析】

數(shù)列滿足，變形為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出數(shù)列滿足：，時(shí)，，可得，化為：，可得：，相減化簡即可證明．【題目詳解】（1）數(shù)列滿足，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為1．，．證明：數(shù)列滿足：，時(shí)，，解得．時(shí)，，可得，化為：，可得：，相減可得：，化為：，是等差數(shù)列．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）由題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值．（2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜1，分類討論求得它的解集．【題目詳解】（1）設(shè)1＜x，∵函數(shù)y＝x（3﹣2x）2，故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最大值為．（2）關(guān)于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜1，即（x﹣1）（x﹣a）＜1．當(dāng)a＝1時(shí)，不等式即（x﹣1）2＜1，不等式無解；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|1＜x＜a}；當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|a＜x＜1}．綜上可得，當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|