內(nèi)蒙古自治區(qū)2024屆高一數(shù)學第二學期期末考試模擬試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)2024屆高一數(shù)學第二學期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體中，分別是線段的中點，則下列判斷錯誤的是（）A．與垂直 B．與垂直C．與平行 D．與平行2．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈：A．281盞 B．9盞 C．6盞 D．3盞3．為三角形ABC的一個內(nèi)角,若,則這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形4．如圖所示，4個散點圖中，不適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是（）A． B．C． D．5．米勒問題，是指德國數(shù)學家米勒1471年向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大？）米勒問題的數(shù)學模型如下：如圖，設(shè)是銳角的一邊上的兩定點，點是邊邊上的一動點，則當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切時，最大．若，點在軸上，則當最大時，點的坐標為（）A． B．C． D．6．設(shè)，，均為正實數(shù)，則三個數(shù)，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于27．在中，，，則（）A．或 B． C． D．8．如圖，在三角形中，點是邊上靠近的三等分點，則()A． B．C． D．9．某部門為了了解用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：°C）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某3天的用電量與當天氣溫如表所示.由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程y=-0.8x+a，則攝氏溫度（°C）4611用電量度數(shù)1074A．12.6 B．13.2 C．11.8 D．12.810．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若公差，，則的值為()A．65 B．62 C．59 D．56二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正四棱錐的底面邊長為，高為，則該四棱錐的側(cè)面積是______________12．已知呈線性相關(guān)的變量，之間的關(guān)系如下表所示：由表中數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，由此估計當為時，的值為______．13．已知實數(shù)，是與的等比中項，則的最小值是______．14．設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則__________．15．化簡：．16．函數(shù)的圖象過定點______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，函數(shù).（1）若且，求；（2）求函數(shù)的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間.18．已知等比數(shù)列的前項和為，，，且.（1）求的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.19．李克強總理在2018年政府工作報告指出，要加快建設(shè)創(chuàng)新型國家，把握世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革大勢，深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，不斷增強經(jīng)濟創(chuàng)新力和競爭力.某手機生產(chǎn)企業(yè)積極響應政府號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，爭創(chuàng)世界名牌.為了對研發(fā)的一批最新款手機進行合理定價，將該款手機按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：單價（千元）銷量（百件）已知.（1）若變量具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（百件）關(guān)于試銷單價（千元）的線性回歸方程；（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與對應的產(chǎn)品銷量的估計值.（參考公式：線性回歸方程中的估計值分別為）20．某大學要修建一個面積為的長方形景觀水池，并且在景觀水池四周要修建出寬為2m和3m的小路如圖所示問如何設(shè)計景觀水池的邊長，能使總占地面積最?。坎⑶蟪隹傉嫉孛娣e的最小值．21．設(shè)向量，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求在方向上的投影.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用數(shù)形結(jié)合，逐一判斷，可得結(jié)果.【題目詳解】如圖由分別是線段的中點所以//A選項正確，因為，所以B選項正確，由，所以C選項正確D選項錯誤，由//，而與相交，所以可知，異面故選：D【題目點撥】本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

設(shè)塔的頂層共有盞燈，得到數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項公式，即可求解．【題目詳解】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，所以，解得，即塔的頂層共有3盞燈，故選D．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】試題分析：由,兩邊平方得,即,又,則,所以為第三、四象限角或軸負半軸上的角,所以為鈍角．故正確答案為B．考點：1．三角函數(shù)的符號、平方關(guān)系;2．三角形內(nèi)角．4、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸模型建立方法，分析選項，找出散點比較分散且無任何規(guī)律的選項可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，適合用線性回歸擬合其中兩個變量的散點圖必須散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，分析選項可得A選項的散點圖雜亂無章，最不符合條件.故選A【題目點撥】本題考查了統(tǒng)計案例散點圖，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

設(shè)點的坐標為，求出線段的中垂線與線段的中垂線交點的橫坐標，即可得到的外接圓圓心的橫坐標，由的外接圓與邊相切于點，可知的外接圓圓心的橫坐標與點的橫坐標相等，即可得到點的坐標．【題目詳解】由于點是邊邊上的一動點，且點在軸上，故設(shè)點的坐標為；由于，則直線的方程為：，點為直線與軸的交點，故點的坐標為；由于為銳角，點是邊邊上的一動點，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點，聯(lián)立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標為的外接圓與邊相切于點，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標與點的橫坐標相等，即，解得：或（舍）所以點的坐標為；故答案選A【題目點撥】本題考查直線方程、三角形外接圓圓心的求解，屬于中檔題6、D【解題分析】

由題意得，當且僅當時，等號成立，所以至少有一個不小于，故選D.7、C【解題分析】

由正弦定理計算即可?！绢}目詳解】由題根據(jù)正弦定理可得即，解得，所以為或，又因為，所以為故選C.【題目點撥】本題考查正弦定理，屬于簡單題。8、A【解題分析】

利用向量的三角形法則以及線性運算法則進行運算,即可得出結(jié)論.【題目詳解】因為點是邊上靠近的三等分點,所以,所以,故選:A.【題目點撥】本題考查向量的加?減法以及數(shù)乘運算,需要學生熟練掌握三角形法則和共線定理.9、A【解題分析】

計算數(shù)據(jù)中心點，代入回歸方程得到答案.【題目詳解】x=4+6+113=7，代入回歸方程y7=-0.8×7+a故答案選A【題目點撥】本題考查了回歸方程，掌握回歸方程過中心點是解題的關(guān)鍵.10、A【解題分析】

先求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求.【題目詳解】，所以，故選A.【題目點撥】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】四棱錐的側(cè)面積是12、【解題分析】由表格得，又線性回歸直線過點，則，即，令，得.點睛：本題考查線性回歸方程的求法和應用；求線性回歸方程是?？嫉幕A(chǔ)題型，其主要考查線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點的中心，一定要注意這一點，如本題中利用線性回歸直線過中心點求出的值.13、【解題分析】

通過是與的等比中項得到，利用均值不等式求得最小值.【題目詳解】實數(shù)是與的等比中項，，解得．則，當且僅當時，即時取等號．故答案為:．【題目點撥】本題考查了等比中項，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用分數(shù)的性質(zhì)，將項的比值轉(zhuǎn)化為和的比值，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，所以答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)的問題，將兩個等差數(shù)列的項的比值可以轉(zhuǎn)化為其和的比值，結(jié)論為，從而求得結(jié)果.15、0【解題分析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.16、【解題分析】

令真數(shù)為，求出的值，代入函數(shù)解析式可得出定點坐標.【題目詳解】令，得，當時，.因此，函數(shù)的圖象過定點.故答案為：.【題目點撥】本題考查對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題，一般利用真數(shù)為來求得，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）最小正周期，的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【解題分析】

（1）計算平面向量的數(shù)量積得出函數(shù)的解析式，求出時的值；（2）根據(jù)的解析式，求出它的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)時，，解得又；（2）函數(shù)它的最小正周期：令故：的單調(diào)遞增區(qū)間為：【題目點撥】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）存在，【解題分析】

（1）根據(jù)條件求解出公比，然后寫出等比數(shù)列通項；（2）先表示出，然后考慮的的最小值.【題目詳解】（1）因為，所以或，又，則，所以；（2）因為，則，當為偶數(shù)時有不符合；所以為奇數(shù)，且，，所以且為奇數(shù)，故.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項及其前項和的應用，難度一般.對于公比為負數(shù)的等比數(shù)列，分析前項和所滿足的不等式時，注意分類討論，因此的奇偶會影響的正負.19、（1）（2），，，，，【解題分析】

（1）先計算，將數(shù)據(jù)代入公式得到，，線性回歸方程為（2）利用（1）中所求的線性回歸方程，代入數(shù)據(jù)分別計算得到答案.【題目詳解】（1）由，可求得，故，，，，代入可得，，所以所求的線性回歸方程為．（2）利用（1）中所求的線性回歸方程可得，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．【題目點撥】本題考查了線性回歸方程的計算，求估計值，意在考查學生的計算能力和對于回歸方程公式的理解應用.20、水池一邊長為12m，另一邊為18m，總面積為最小，為．【解題分析】

設(shè)水池一邊長為xm，則另一邊為，表示出面積利用基本不等式求解即可．【題目詳解】設(shè)水池一邊長為xm，則另一邊為，總面積，當且僅當時取等號，故水池一邊長為12m，則另一邊為1