遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月數(shù)學(xué)試題含答案

遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，則（）A.B.C.D.3.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫給數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”，則哥德巴赫猜想的否定為（）A.任意小于2的偶數(shù)都不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和B.任意大于2的偶數(shù)都不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和C.至少存在一個(gè)小于2的偶數(shù)不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和D.至少存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和4.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.B.C.D.5.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)到圓心的距離的最小值為（）A.2B.C.D.16.已知某N95口罩廠的一條生產(chǎn)流水線上有編號依次為①至⑥的6個(gè)不同質(zhì)檢站，現(xiàn)將甲?乙?丙等6名質(zhì)檢員安排到這6個(gè)不同質(zhì)檢站進(jìn)行產(chǎn)品檢測，每個(gè)質(zhì)檢站安排1人，丙不在①和⑥質(zhì)檢站，則甲?乙所在質(zhì)檢站的編號相鄰的概率為（）A.B.C.D.7.已知直三棱桂：的底面為等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.8.已知是定義在上的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）A.B.C.D.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（）A.B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的圖像的一個(gè)對稱中心為11.如圖，圓臺的上?下底面圓的半徑之比為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為，面積為的扇環(huán)，四邊形是過的軸截面，分別為下底面圓上兩點(diǎn)，為上底面圓上一點(diǎn)，且，則（）A.該圓臺的體積為B.平面平面C.平面D.該圓臺的外接球的表面積為12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線與在第一象限內(nèi)自下而上依次交于兩點(diǎn)，過作于，則（）A.的方程為B.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，C.D.當(dāng)時(shí)，三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.14.已知向量，若，則與的夾角為__________.15，某校為落實(shí)黨的二十大精神，開展了形式靈活的學(xué)習(xí)活動，統(tǒng)計(jì)了全校教師在一周內(nèi)學(xué)習(xí)的累計(jì)時(shí)長（單位：小時(shí)），根據(jù)時(shí)長數(shù)據(jù)得到下面的頻率分布直方圖，則__________；估計(jì)該校教師學(xué)習(xí)累計(jì)時(shí)長的平均值為__________.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上不同的兩點(diǎn)，，且點(diǎn)到直線的距離為，則的離心率為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）為了有效治療某種傳染性疾病，某醫(yī)療機(jī)構(gòu)研發(fā)出A，B兩種治療藥物，從患者中隨機(jī)抽出200人，以每組100人分成兩組，分別單獨(dú)使用A，B兩種治療藥物進(jìn)行治療，經(jīng)過一個(gè)療程治療，得到下面2×2列聯(lián)表：痊愈未痊愈A藥物8515B藥物9010（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)患者使用兩種藥物經(jīng)過一個(gè)療程治療痊愈的概率；（2）是否有的把握認(rèn)為兩種藥物的治療效果有差異？附：，其中.0.150.100.012.0722.7066.63518.（12分）已知函數(shù)為奇函數(shù)且.（1）求實(shí)數(shù)與之間的關(guān)系式；（2）若，完成下面問題：（i）用定義法證明：在上為增函數(shù)；（ii）求解不等式.19.（12分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知__________.在①；②這兩個(gè)條件中任取一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并解答下面問題.（1）若，求；（2）設(shè)均為整數(shù)，，求的面積.注：如果選擇不同的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.（12分）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，在11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)舉行.足球運(yùn)動是備受學(xué)生喜愛的體育運(yùn)動，某校開展足球技能測試，甲?乙?丙三人參加點(diǎn)球測試，每人有兩次點(diǎn)球機(jī)會，若第一次點(diǎn)球成功，則測試合格，不再進(jìn)行第二次點(diǎn)球；若第一次點(diǎn)球失敗，則再點(diǎn)球一次，若第二次點(diǎn)球成功，則測試合格，若第二次點(diǎn)球失敗，則測試不合格，已知甲?乙?丙三人點(diǎn)球成功的概率分別為，且三人每次點(diǎn)球的結(jié)果互不影響.（1）求甲?乙?丙三人共點(diǎn)球4次的概率；（2）設(shè)X表示甲?乙?丙三人中測試合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.（12分）如圖，正四棱錐的棱長均為，點(diǎn)為的中心，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.22.（12分）已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為為上一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與交于異于的兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，過作，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及的長度；若不存在，請說明理由.參考答案及解析一?選擇題1.B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選B項(xiàng).2.D【解析】，則.故選D項(xiàng).3.D【解析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故哥德巴赫猜想的否定為“至少存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”.故選D項(xiàng).4.A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，所以.故選A項(xiàng).5.C【解析】設(shè)，由，得，整理得，所以點(diǎn)到圓心的距離的最小值，即為點(diǎn)到的距離，所以.故選C項(xiàng).6.B【解析】丙不在①和⑥質(zhì)檢站有種安排方法；丙不在①和⑥質(zhì)檢站，且甲?乙所在質(zhì)檢站的編號相鄰有種安排方法，所以甲?乙所在質(zhì)檢站的編號相鄰的概率.故選B項(xiàng).7.A【解析】由條件可知，則，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，連接，則，又，則，在等腰直角三角形中，，所以，在正方形中，，易知，則，在中，.故選A項(xiàng).8.C【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，則，即.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以曲線關(guān)于直線對稱，則，所以，則，所以，即，則是以4為一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以曲線關(guān)于點(diǎn)，對稱為奇函數(shù)），且關(guān)于直線對稱，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.根據(jù)周期性可知，曲線與直線有5個(gè)交點(diǎn)，則曲線與直線有5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對稱性，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖像與直線，如圖所示.由圖像可知，，即.故選項(xiàng).二?多選題9.ACD【解析】由可知，所以項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，不成立，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由0得，所以，所以，C項(xiàng)正確；1），當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取得等號，項(xiàng)正確.故選項(xiàng).10.BD【解析】由圖可知解得.又點(diǎn)在曲線上，所以，則，因?yàn)辄c(diǎn)在圖像的增區(qū)間上，所以，根據(jù)五點(diǎn)作圖法可知，，解得，則項(xiàng)錯(cuò)誤；由上得，則，B項(xiàng)正確；令，解得，取，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，C項(xiàng)錯(cuò)誤；令，解得，取，則是的圖像的一個(gè)對稱中心，D項(xiàng)正確.故選BD項(xiàng).11.ABD【解析】將圓臺的母線延長得到如圖所示的圓錐，設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑為，由其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇環(huán)，則，所以，由，得，由扇環(huán)的面積為，得，解得，則，所以，因此該圓臺的體積項(xiàng)正確；由圓臺的性質(zhì)可知，底面圓，則，又，所以平面，又平面，所以平面平面，B項(xiàng)正確；過與作軸截面，則四邊形為梯形，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，則，若平面，則平面平面，連接，則平面，連接，所以，則四邊形為平行四邊形，則，由上可知，所以不平行于平面，C項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)圓臺的外接球的球心為，半徑為在直線上，設(shè)，當(dāng)在線段上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，解得，所以.當(dāng)在線段的延長線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，此時(shí)無解.所以該圓臺的外接球的表面積，D項(xiàng)正確.故選項(xiàng).12.BC【解析】由題意可知，所以，所以的方程為，A項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)的方程為，聯(lián)立得，則，所以，由題意可知，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，則，解得，則，代入的方程可知，，根據(jù)拋物線的定義可知，所以，B項(xiàng)正確；由定義可知，，因?yàn)?，所以?xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，則，0，解得（負(fù)值舍去），），則，由，則，所以，①假設(shè)，則，則，顯然不符合①，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選項(xiàng).三?填空題13.112【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.14.【解析】由，得，由，得，則，所以，記的夾角為，所以，由可知.15.0.1009.6【解析】由圖可知，，所以.該校教師學(xué)習(xí)累計(jì)時(shí)長的平均值的估計(jì)值為.16.【解析】因?yàn)?，則，且，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離為，過作，垂足為，在Rt中，，所以，則，連接，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，解得，則；在中，由余弦定理可得.由，得，整理得，所以，故的離心率為.四?解答題17.解：（1）由題可知，患者使用藥物經(jīng)過一個(gè)療程治療痊愈的概率的估計(jì)值為；患者使用藥物經(jīng)過一個(gè)療程治療痊愈的概率的估計(jì)值為.（2）由列聯(lián)表可得，1.143，因?yàn)椋詻]有的把握認(rèn)為兩種藥物的治療效果有差異.18.（1）解：易知的定義域?yàn)?，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，整理得，則，故實(shí)數(shù)與之間的關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以.（i）證明：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，則，故在上為增函數(shù).（ii）解：不等式等價(jià)于，即，所以解得，故不等式的解集為.19.解：（1）若選擇①，由，得因?yàn)?，所以，由正弦定理得，則，即，所以或（舍），則.又，所以，即，故.若選擇②，由條件及正弦定理得，由余弦定理得，所以，則，由正弦定理得，所以，整理得，所以或（舍），則.又，所以，即，故.（2）由及正弦定理得，由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，則由余弦定理得，即，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，符合均為整數(shù)條件，所以；當(dāng)時(shí)，，符合均為整數(shù)條件，所以.故的面積為或.20.解：設(shè)甲?乙?丙三人第次點(diǎn)球成功分別為事件，則.（1）甲?乙?丙三人共點(diǎn)球4次，根據(jù)測試規(guī)則，有2人第一次點(diǎn)球成功，剩下的1人第一次點(diǎn)球失敗，則甲?乙?丙三人共點(diǎn)球4次的概率（2）甲測試合格的概率乙測試合格的概率丙測試合格的概率.易知的所有可能取值為，所以的分布列為0123所以.21.（1）證明：連接，并延長交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的中心，為等邊三角形，所以為的中點(diǎn)，所以，連接，因?yàn)?，所以，則，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：連接，則，設(shè)，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，則，，則，設(shè)平面的法向量為，由得取，則，設(shè)平面的法向量為，由得取1，則，于是，故二面角的正弦值為.22.解：（1）由題意可知，的漸近線方程為，由條件可知.根據(jù)雙曲線的定義可知，，所以，則，