隨機(jī)過程的線性變換

第三章隨機(jī)過程的線性變換§3.1變換的基本概念及基本定理§3.3限帶過程§3.4隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析§3.5最佳線性濾波器§3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布§3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析1學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解線性變換的定義；2、理解線性變換的兩個(gè)基本定理；3、掌握線性系統(tǒng)分析的沖激響應(yīng)法和頻譜法；4、理解噪聲等效通能帶的概念；5、掌握最佳線性濾波器的原理；第三章隨機(jī)過程的線性變換23.1變換的基本概念及基本定理1.變換的基本概念（1）變換的定義定義：給定一個(gè)隨機(jī)信號，我們按照某種法則，對它的每一個(gè)樣本函數(shù)，都指定一個(gè)對應(yīng)函數(shù)，于是，我們就得到了一個(gè)新的隨機(jī)信號，記為T就叫做從隨機(jī)信號到的變換。

T3（2）線性變換其中、為隨機(jī)變量，、為隨機(jī)過程。對于線性變換若有則稱線性變換L是線性時(shí)不變的。4定理1：設(shè)

即算子L、E可以交換次序。則2.線性變換的基本定理證明：5兩邊均對n取極限無窮大，則有6定理2：證明：78

對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，若X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)的，則Y(t)是嚴(yán)平穩(wěn)；若X(t)是廣義平穩(wěn)的，則Y(t)是廣義平穩(wěn)的。輸出的均值和相關(guān)函數(shù)可以分別由輸入的均值和相關(guān)函數(shù)確定。輸出的k階矩可以由輸入的相應(yīng)階矩來確定

3.線性變換的性質(zhì)9(1)隨機(jī)變量的極限定義：設(shè)隨機(jī)變量X和Xn(n=1,2,)均有二階矩，若有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依均方收斂于隨機(jī)變量X，或稱變量X是序列{Xn}依均方收斂意義下的極限，記為：即Limitinmeansquare4.隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)與積分10(2)隨機(jī)過程的極限定義：設(shè)隨機(jī)過程X(t)和X都有二階矩，當(dāng)tt0時(shí)若有則稱隨機(jī)過程X(t)在tt0依均方收斂于隨機(jī)變量X，或稱變量X是過程X(t)在tt0時(shí)依均方收斂意義下的極限，記為：11（3）隨機(jī)過程的連續(xù)性定義：若隨機(jī)過程X(t)滿足即則稱隨機(jī)過程X(t)在t=t0處連續(xù)。性質(zhì)：?若在處二元連續(xù)，則X(t)在t0處連續(xù)；12?若X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，如果在處連續(xù)，則隨機(jī)過程X(t)在任意時(shí)刻均方連續(xù)；?若隨機(jī)過程X(t)均方連續(xù)，則其均值函數(shù)亦連續(xù)，即有?極限運(yùn)算與均值運(yùn)算符可以交換次序，即交換次序后極限含義不同。13（4）隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)定義：若隨機(jī)過程X(t)存在極限則稱此極限為隨機(jī)過程X(t)的導(dǎo)數(shù)，記為X’(t)或即隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)亦是隨機(jī)過程。14可導(dǎo)充要條件：相關(guān)函數(shù)在自變量時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)；若信號平穩(wěn)，相關(guān)函數(shù)當(dāng)自變量時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)存在。15例1:隨機(jī)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為判斷X(t)是否均方連續(xù)、均方可導(dǎo)。例2:隨機(jī)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為判斷X(t)是否均方連續(xù)、均方可導(dǎo)。16導(dǎo)數(shù)統(tǒng)計(jì)特性：

?，即?17?若X(t)為平穩(wěn)可導(dǎo)信號，則18隨機(jī)過程及其導(dǎo)數(shù)過程關(guān)系示意圖19(5)隨機(jī)過程的積分定義：設(shè)隨機(jī)過程X(t)，把區(qū)間[a,b]劃分成n等份，若有則稱Y為X(t)在區(qū)間[a,b]上的均方積分，記為也可以寫成如下形式：20積分統(tǒng)計(jì)特性?均值?方差211.沖激響應(yīng)法

h(t)X(t)Y(t)若X(t)平穩(wěn)?均值系統(tǒng)的輸出

3.2隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)分析22?互相關(guān)函數(shù)若X(t)平穩(wěn)23當(dāng)輸入X(t)為白噪聲，系統(tǒng)的輸出

系統(tǒng)h(t)X(t)互相關(guān)函數(shù)測量系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)圖24?自相關(guān)函數(shù)若X(t)平穩(wěn)25輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖平穩(wěn)情況26例：假設(shè)有微分方程描述的線性系統(tǒng)如下：解：首先確定h(t)2728292.頻譜法

穩(wěn)態(tài)分析30輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖31(1)若輸入X(t)平穩(wěn)，h(t)在(-，+)存在，則輸出Y(t)平穩(wěn)，且與X(t)聯(lián)合平穩(wěn)；(2)對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，即當(dāng)t<0時(shí)，h(t)=0，且假定輸入X(t)平穩(wěn)。?若輸入從-加入(雙側(cè)隨機(jī)信號)3.平穩(wěn)性討論32結(jié)論：輸出平穩(wěn)，若X(t)遍歷，則Y(t)遍歷33?若輸入從t=0時(shí)加入，(單側(cè)隨機(jī)信號)結(jié)論：輸出不平穩(wěn)34例1如圖所示的RC電路，輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程,且相關(guān)函數(shù)為求輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。

35解：RC電路的沖激響應(yīng)為(1)沖激響應(yīng)法3637(2)頻譜法X(t)的功率譜為38求上式的傅里葉反變換393.3限帶過程白噪聲理想低通濾波器理想帶通濾波器理想低通過程理想帶通過程1.低通過程0低通隨機(jī)過程的功率譜相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)足夠光滑40理想低通過程0理想低通隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)41理想帶通過程0(a)0(b)一般帶通隨機(jī)過程和理想帶通隨機(jī)過程示意圖(a)一般帶通過程(b)理想帶通過程42理想帶通隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)433.噪聲等效通能帶白噪聲通過線性系統(tǒng)后輸出的物理譜等效成一定頻帶內(nèi)均勻的物理譜，這個(gè)頻帶稱為噪聲等效通能帶。0圖3.12噪聲等效通能帶示意圖44對低通系統(tǒng)45功率譜為N0/2的白噪聲通過線性系統(tǒng)，輸出的平均功率為Powertransferfunction46功率譜為N0/2的白噪聲通過線性系統(tǒng)，輸出的平均功率為Powertransferfunction47例

RC電路48輸出過程的相關(guān)時(shí)間493.4隨機(jī)序列通過離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)50515253對于平穩(wěn)隨機(jī)序列54單位延遲aX(n)X(n-1)W(n)舉例：一階AR模型X(n)=aX(n-1)+W(n)AutoregressiveModel其中，W(n)為平穩(wěn)白噪聲，方差為。求一階AR過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。551aa2a3a4a5

(n)1nnh(n)56系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：|a|<1系統(tǒng)穩(wěn)定的條件57系統(tǒng)的傳遞函數(shù)-

58輸出的均值為零當(dāng)m＞＝0時(shí)，∴具有無限長度的相關(guān)函數(shù)59功率譜分析功率譜為推廣到N階AR模型6061舉例：一階MA模型X[n]=b0W[n]+b1W[n-1]單位延遲b0X(n)W(n)b1b0b1

(n)1nnh(n)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因果的。系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是有限長度的MovingAverageModel62系統(tǒng)的傳遞函數(shù)取b0=1,b1=1低通濾波器63取b0=1,b1=-1高通濾波器64均值為零，相關(guān)函數(shù)為65相關(guān)函數(shù)是有限長度的，66功率譜分析67M階MA過程X(n)=b0W(n)+b1W(n-1)+…+bMW(n-M)

沖激響應(yīng)H()=b0+b1e-j

+…+bMe-jM

H(z)=b0+b1z-1+…+bMz-M

=(1-z1z-1)(1-z2z-1)…(1-zMz-1)全零濾波器該濾波器也稱為橫向?yàn)V波器（TransversalFilter)，濾波器一定是穩(wěn)定的和因果的（Stableandcausal）68M階MA過程的均值仍為零69由相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)可以得到m<0的值。GX()=W2|b0+b1e-j

+…+bMe-jM

|2功率譜密度為：70ARMA模型a0X[n]+a1X[n-1]+…+aNX[n-N]=b0W[n]+b1W[n-1]+....+bNW[n-M]系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：所有極點(diǎn)應(yīng)該在單位圓之內(nèi)，|pk|<1，這也是漸近平穩(wěn)的條件。功率譜：71例設(shè)有ARMA(2,2)模型，X(n)+1.4X(n-1)+0.5X(n-2)=W(n)-0.2W(n-1)-0.1W(n-2)其中W(n)是零均值單位方差的平穩(wěn)白噪聲，求該過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為72我們根據(jù)輸出信噪比最大的準(zhǔn)則,推導(dǎo)線性濾波器具有的傳遞函數(shù)H(

).設(shè)線性濾波器輸入信號為:n(t)為平穩(wěn)隨機(jī)噪聲,均值為零,功率譜為Gn(

).3.5最佳線性濾波器1.輸出信噪比最大的線性濾波器73令y(t)表示線性濾波器輸出信號:令H(

)為線性濾波器傳遞函數(shù),則:輸入噪聲功率為:74定義某時(shí)刻t=t0時(shí)濾波器輸出端的信噪比d0為:輸出噪聲功率為:75利用如下許瓦茲不等式:當(dāng)且僅當(dāng)下式滿足時(shí)取等號令c為常數(shù).76代入許瓦茲不等式得:即:當(dāng)且僅當(dāng)濾波器傳遞函數(shù)為下式時(shí)取等號:77最大輸出信噪比為:輸出信號波形為:當(dāng)t=t0時(shí),輸出信號值最大,是波形s0(t)的尖峰.78濾波器分析:幅頻特性為:相頻特性為:79最佳線性濾波器為:假定:2.匹配濾波器及其性質(zhì)匹配濾波器80匹配濾波器沖激響應(yīng):即匹配濾波器的沖激響應(yīng)為信號的共軛鏡像.對于實(shí)信號,有:h(t)與s(t)對于t0/2點(diǎn)呈偶對稱關(guān)系.81tt0/2s(t)h(t)h(t)s(-t)t00s(t)實(shí)信號及其匹配濾波器的沖激響應(yīng)82匹配濾波器性質(zhì):輸出信噪比dm與信號s(t)波形無關(guān);可見,在同樣強(qiáng)度白噪聲時(shí),輸出最大信噪比只與信號能量有關(guān),而與信號波形無關(guān),即已是最佳濾波.其中83如果選擇輸出最大的時(shí)刻t0在信號結(jié)束之前,則匹配濾波器在物理上不可實(shí)現(xiàn)即t0時(shí)刻應(yīng)當(dāng)選在信號s(t)結(jié)束之后;物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器滿足:84匹配濾波器對信號的幅度和時(shí)延具有適應(yīng)性;a及

是未知的參量或隨機(jī)變量.若取:85匹配濾波器的幅頻特性與輸入信號的幅頻特性相同，相頻特性等與輸入信號的反相相頻特性，并附有一附加的相位項(xiàng)。匹配濾波器對信號的頻移不具有適應(yīng)性;86例1:單個(gè)矩形脈沖信號的匹配濾波器脈沖信號求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出信號波形.ta0

s(t)87矩形脈沖信號匹配濾波器實(shí)現(xiàn)框圖

積分器延遲線s(t)wjcawtje-+-s0(t)積分器延遲線s(t)wjcawtje-+-s0(t)88選取H1(

)滿足：將H(

)分解：3.白化濾波處理廣義匹配濾波器：89可求出H2(

)：令得：90白化濾波器