高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題(分類練習(xí))講義

導(dǎo)數(shù)專題

經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一：求導(dǎo)公式。

例1.尸(X)是/(》)=#+2犬+1的導(dǎo)函數(shù)，則八-1)的值是。

解析：f'(x)=x2+2,所以r(-1)=1+2=3

答案：3

考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

例2.已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)M(L/⑴)處的切線方程是y=；x+2,則

/(i)+r(i)=。

解析：因?yàn)椋?:，所以/⑴=g,由切線過(guò)點(diǎn)M(l,/⑴)，可得點(diǎn)M的縱坐

標(biāo)為|,所以/⑴=|,所以/(i)+r⑴=3

答案：3

例3.曲線丁=》3-2》2_4x+2在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是。

解析：y=3/_4x-4,.?.點(diǎn)(1,-3)處切線的斜率為左=3-4-4=-5,所以設(shè)

切線方程為y=-5大+匕，將點(diǎn)(1,-3)帶入切線方程可得人=2,所以，過(guò)曲線

上點(diǎn)(1,-3)處的切線方程為：5x+y-2=0

答案:5x+y-2=0

點(diǎn)評(píng)：以上兩小題均是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查。

考點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。

例4.已知曲線C：y=/-3/+2x,直線/：)，=依，且直線/與曲線C相切于點(diǎn)

(x0,y0)x?^0,求直線/的方程與切點(diǎn)坐標(biāo)。

解析：???直線過(guò)原點(diǎn)，貝lJk=&(XoHO)。由點(diǎn)(x0,y。)在曲線C上，則

322

y0=x0-3x0+2x0,/.—=x0-3x0+2o又y'=3%2-6x+2,在

%

2

(x0,y0)處曲線C的切線斜率為k=/1(x0)=3x0-6x0+2,/.

2

XQ-3X04-2=3x0-6x0+2,整理得：2x0-3x0=0,解得：為二,或與二。

(舍)，此時(shí)，yQ=--,k=--o所以，直線/的方程為y=-工工，切點(diǎn)坐

0844

3_3

標(biāo)是

2~8

答案：直線/的方程為尸卜切點(diǎn)坐標(biāo)是

點(diǎn)評(píng)：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)留意“切點(diǎn)既

在曲線上又在切線上”這個(gè)條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過(guò)該點(diǎn)

存在切線的充分條件，而不是必要條件。

考點(diǎn)四：函數(shù)的單調(diào)性。

例5.已知/(x)=o?+3/一X+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

解析：函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為尸(x)=3++6x—1。對(duì)于xeR者B有/'(x)<0時(shí)，/(x)

為減函數(shù)。由3a/+61<0*/?)可得，解得"-3。所以,

[A=36+12a<0

當(dāng)a<-3時(shí)，函數(shù)/(x)對(duì)xeR為減函數(shù)。

由函數(shù)y=/在R上的單調(diào)性，可知當(dāng)。=-3是，函數(shù)/(x)對(duì)xeR為減函數(shù)。

(2)當(dāng)。>-3時(shí)，函數(shù)/(x)在R上存在增區(qū)間。所以，當(dāng)。>-3時(shí)，函數(shù)/(x)

在R上不是單調(diào)遞減函數(shù)。

綜合(1)(2)(3)可知。4-3。

答案：?<-3

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。對(duì)于高次函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題,

要有求導(dǎo)意識(shí)。

考點(diǎn)五：函數(shù)的極值。

例6.設(shè)函數(shù)/0)=2/+30￥2+3。式+8°在1=1與x=2時(shí)取得極值。

(1)求出6的值；

(2)若對(duì)于隨意的工￡[0,3],都有/(x)<c2成立，求。的取值范圍。

解析：(1)ff(x)=6x2+6ax+3h,因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在工=1與x=2取得極值，則有

廣⑴=0,尸⑵=0.即，+6。+33=0，，解得a=_3,/?=4。

[24+12a+30=0.

322

(2)由(I)可矢口，/(X)=2X-9X+12X+8C,f'(x)=6x-18x+12=6(x-l)(x-2)o

當(dāng)xe(0,l)時(shí),f\x)>0；當(dāng)xe(l,2)時(shí),f'(x)<0；當(dāng)xe(2,3)時(shí)，f'(x)>00所

以，當(dāng)x=l時(shí)，f(x)取得極大值/⑴=5+8c,又/(0)=8c,〃3)=9+8c。則當(dāng)

xe[0,3]時(shí)，/(x)的最大值為/(3)=9+8c。因?yàn)閷?duì)于隨意的xe[0,3],有/(/Xc?

恒成立，

所以9+8c<c2?解得c<-l或c〉9,因此c的取值范圍為(-oo,-l)U(9,+8)。

答案：(1)a=—3,6=4；(2)(-00,-1)(9,+oo)o

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。求可導(dǎo)函數(shù)/(x)的極值步驟：①

求導(dǎo)數(shù)/'(X)；

②求r(x)=o的根；③將r(x)=o的根在數(shù)軸上標(biāo)出，得出單調(diào)區(qū)間，由尸(x)

在各區(qū)間上取值的正負(fù)可確定并求出函數(shù)/(X)的極值。

考點(diǎn)六：函數(shù)的最值。

例7.已知a為實(shí)數(shù)，〃x)=(x2—4)(x—4。求導(dǎo)數(shù)r(x)；(2)若1)=0,求

/(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

322

解析：(1)/(x)=x-ax-4x+4?,/*(x)=3x-2ax-4o

(2)/(-l)=3+2a-4=0,a=1o/(x)=31-x-4=(3x-41x+1)

令尸(x)=0,即(3x-4)(x+1)=0,解得X=-1或x=。，則/(X)和_f(x)在區(qū)間［-2,2］

上隨x的改變狀況如下表：

43

X-2-12

1周3

尸(x)+0—0+

0增函數(shù)極大值減函數(shù)微小值增函數(shù)0

/(-0=^/佶)=-界。所以，川)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為/佶)=-2，

4/乙/

最小值為/(-1)=2。

答案：⑴尸(x)=3——2以-4；(2)最大值為了，卜-條最小值為。

點(diǎn)評(píng)：本題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法。求可導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間上的最

值，要先求出函數(shù)/(x)在區(qū)間(外。)上的極值，然后與/⑷和/(。)進(jìn)行比較，從

而得出函數(shù)的最大最小值。

考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問(wèn)題。

例&設(shè)函數(shù)/(x)=o?+區(qū)+c、(a#0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1］⑴)處的切線與直

線x-6y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)r(x)的最小值為-12。(1)求a,b,c,的值；

(2)求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)“X)在［-1,3］上的最大值和最小值。

解析：(1)/(x)為奇函數(shù)，/(-幻=一/。)，BP-ax3-bx+c=-ax3-bx-c

，c=0,,.,/'(幻=3辦2+6的最〃、值為一12,，匕=一12,又直線x—6y—7=0

的斜率為因止匕，/⑴=3a+A=—6,，a=2,〃=一12,c、=0.

(2)/(x)=2x3-12xof'(x)=6x2-12=6(x+V2)(x->/2),列表如下:

X(-00,-0)-夜(-立&)6(V2,+oo)

/(X)+0—0+

/(X)增函數(shù)極大減函數(shù)微小增函數(shù)

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(S)和(72,+00),V/(-I)=10,

/(應(yīng))=_80,/(3)=18,二f(x)在［-1,3］上的最大值是"3)=18,最小值是

/(五)=-80。

答案：(1)a=2,匕=-12,c=0；(2)最大值是/\3)=18,最小值是/(&)=-8上。

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基

礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，以與推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力。

導(dǎo)數(shù)強(qiáng)化訓(xùn)練

(-)選擇題

1.已知曲線y=??的一條切線的斜率為;，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(A)

A.1B.2C.3D.4

2.曲線在點(diǎn)(i,一］)處的切線方程為(B)

A.y=3x-4B.y--3x+2C.y--4x+3D.y=4x-5

3.函數(shù)y=(x+l)2(x-l)在x=l處的導(dǎo)數(shù)等于(D)

A.1B.2C.3D.4

4.已知函數(shù)/(x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為3,則/(x)的解析式可能為(A)

A./(X)=(X-1)2+3(X-1)B./(X)=2(X-1)

C./(x)--2(x-1)2D./(x)=x-1

5.函數(shù)/(x)=x，+ax2+3x-9,已知/(x)在x=-3時(shí)取得極值，則a=(D)

(A)2(B)3(C)4(D)5

6.函數(shù)/。)=》3一3/+1是減函數(shù)的區(qū)間為(D)

(A)(2,+oo)(B)(-oo,2)(C)(-oo,0)(D)(0,2)

7.若函數(shù)=區(qū)+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)尸⑴的圖象是

(A)

fv4vtVfV

XXX

8.函數(shù)/（彳）=2/-93在區(qū)間［0,6］上的最大值是（A）

A.—B.-C.12D.9

33

9.函數(shù)y=/-3x的極大值為m,微小值為〃，貝!〃為（A）

A.0B.1C.2D.4

10.三次函數(shù)/（6=4*3+》在%€（-8,+00）內(nèi)是增函數(shù)，則（A）

A.。>0B.a<0C.a=lD.a=-

3

11.在函數(shù)），=/-8x的圖象上，其切線的傾斜角小于三的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的

4

點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（D）

A.3B.2C.1D.0

12.函數(shù)/*）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（“M，導(dǎo)函數(shù)（0）在（。,6）內(nèi)的圖象如圖所示,

則函數(shù)/（x）在開區(qū)間3份內(nèi)有微小值

點(diǎn)（A）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

（二）填空題

13.曲線y=x3在點(diǎn)（1,1）處的切線與

軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為

3

14.已知曲線產(chǎn)”+一則過(guò)點(diǎn)P（2,4）“改為在點(diǎn)P（2,4）”的切線方程是

33

y—4x+4=0

15.已知嚴(yán)）（x）是對(duì)函數(shù)f（x）連續(xù)進(jìn)行n次求導(dǎo)，若=對(duì)于隨意

XER,都有7?⑺（尤）=0,則n的最少值為_7o

16.某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，

一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則》=

20—噸.

（三）解答題

17.已知函數(shù)/（》）=了3+o%2+8x+c,當(dāng)x=-l時(shí)，取得極大值7；當(dāng)x=3時(shí)，取

得微小值.求這個(gè)微小值與。也。的值.

J解析：/'(x)=3x2+2ax+bo

據(jù)題意，一1,3是方程31+2以+2=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得

微小值/(3)=3^-3x3?-9x3+2=-25

??.微小值為一25,a--3,b=-9,c=2。

18.已知函數(shù)/(》)=-丁+31+9工+%

⑴求/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若/(x)在區(qū)間［—2,2］.上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

解析：

(1)f'(x)=-3x2+6x+9.令/(x)<0,解得x<—1曲>3,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00-1),(3,+00),

(2)因?yàn)?(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

所以/(2)>〃-2).因?yàn)樵?-1,3)±f\x)>0,所以/(%)在［-1,2］上單

調(diào)遞增，又由于/(x)在［—2,—1］上單調(diào)遞減，因此/⑵和/(-1)分別是/*)在

區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值.于是有22+。=20,解得。=-2.

故/(X)=—》3+3x2+9X-2.因止匕/(T)=］+3_9_2=_7,

即函數(shù)/⑶在區(qū)間［-2,2］上的最小值為-7.

19.設(shè)/#0,點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)/(x)=/+ax與g(x)=bx?+c的圖象的一個(gè)公共

點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線。

(1)用」表示。，瓦c；

(2)若函數(shù)y=/(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，求f的取值范圍。

解析：

(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(X),g(x)的圖象都過(guò)點(diǎn)(r,0),所以/⑴=0,

即，3+"=0.因?yàn)?，w0,所以a=一產(chǎn).g(t)=0,即初2+c=0,所以c=ab.

又因?yàn)?(%),g(x)在點(diǎn)(30)處有相同的切線,所以fQ)=g3.

而—)=3x2+a,g'(x)=2如所以3/+a=2bt.

將4=-〃代入上式得〃='.因此c=a/?=-F.故〃=一〃，h=t9c=-t3.

(2)y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,yf=3x2-2tx-『=(3x+t)(x-1).

當(dāng)y'=(3冗+/)(xT)vO時(shí)，函數(shù)y=/(x)-g(x)單調(diào)遞減.

由y'vO,若1〉0,貝！]一人v無(wú)<，；若￡<0,貝卜<x<-L

33

由題意，函數(shù)y=/(x)-g(幻在(一1,3)上單調(diào)遞減，則

(—1,3)u(—■")或(―1,3)u(Z,—■).所以/23或—N3.即，4—9或，23.

333

又當(dāng)-9<f<3時(shí)，函數(shù)y=/(k)-g(x)在(一1,3)上單調(diào)遞減.

所以，的取值范圍為(-oo,-9]LJ[3,4-00).

20.設(shè)函數(shù)/(￡)=/+陵2+cx(x￡/?),已知g(x)=/(x)-/'(x)是奇函數(shù)。

(1)求0、c的值。

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

解：

(1)V/(x)=x3+/zx2+cx,r(x)=3f+2Z?x+c。從而

g(x)=/(x)-fr(x)=x3+/?x2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(/?-3)x2+(c-2b)x-c是一個(gè)

奇函數(shù)，所以g(0)=0得c=0,由奇函數(shù)定義得〃=3；

(2)由(I)知g(x)=%,-6%,從而g'(x)=3Y-6,由此可知，

(-OO,-V2)和(V2,+oo)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增區(qū)間；

(-V2,0)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減區(qū)間；

g(x)在x=-V^時(shí)，取得極大值，極大值為4近，g(x)在x=&時(shí)，取得微小值,

微小值為-4啦o

21.用長(zhǎng)為18的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形態(tài)的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為

2：1,問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為](m),則長(zhǎng)為2x(m),高為

故長(zhǎng)方體的體積為

從而V'(x)=18x-18x2(4.5-3x)=18x(1-x).

令V'(x)=°,解得x=0(舍去)或x=l,因此x=l.

3

當(dāng)0<x<l時(shí)，V'(x)>0；當(dāng)時(shí)，V,(x)<0(

故在x=1處MH取得極大值，并且這個(gè)極大值就是MH的最大值。

從而最大體積VnV'GLgxyYxN/),此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2巾，高為i.5m.

答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m時(shí)，寬為1m,高為1.5m時(shí)，體積最大，最大體積

為3〃尸。

22.已知函數(shù)/(xhgd+g/+區(qū)在區(qū)間［_］/),。,3］內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

(1)求片一4。的最大值;

(2)當(dāng)。2一初=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)41，/⑴)處的切線為/，若/在點(diǎn)A處

穿過(guò)函數(shù)y=/(x)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A旁邊沿曲線y=/(x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),

從/的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)"X)的表達(dá)式.

解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/。)=；》3+；0^+勿:在區(qū)間［-1,1),(1,3］內(nèi)分別有一個(gè)極值

點(diǎn)，所以(。)=/+5+3=0在［-1,1),(1,3］內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，

設(shè)兩實(shí)根為X1,x2(x,<x2),則4=4/-4b，且0<X2-X|W4.于是

0<\］a2—4b4,Oca?！?6W16,且當(dāng)％=-1,x2=3