黃岡五月模擬考試數(shù)學(xué)（含答案）

2022年春季鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校五月模擬考高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A． B．5 C．9 D．104．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．5．將甲、乙、丙3名志愿者安排到A、B兩所學(xué)校參加支教活動，要求每個學(xué)校至少安排一個人，則甲被派到A學(xué)校的概率為（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若，則（）A．2 B．4 C．6 D．7．設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，若，且，則（）A． B． C． D．8．在等比數(shù)列中，已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在y軸上，短軸長等于，離心率為，過焦點(diǎn)為作軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．橢圓C的方程為 B．橢圓C的方程為C． D．的周長為10．某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機(jī)抽出的編號為1~1000的1000名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個問題，問題1：你的編號是否為奇數(shù)？問題2：你是否吸煙？被調(diào)查者從設(shè)計(jì)好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球50個，紅球50個）中摸出一個小球（摸完放回）：摸到白球則如實(shí)回答問題1，摸到紅球則如實(shí)回答問題2，回答“是”的人在一張白紙上畫一個“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧忌的給出真實(shí)的答案．最后統(tǒng)計(jì)得出，這1000人中，共有265人回答“是”，則下列表述正確的是（）A．估計(jì)被調(diào)查者中約有15人吸煙 B．估計(jì)約有15人對問題2的回答為“是”C．估計(jì)該地區(qū)約有3%的中學(xué)生吸煙 D．估計(jì)該地區(qū)約有1.5%的中學(xué)生吸煙11．已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則一定有（）A． B． C． D．12．已知四面體中，，，，直線AB與CD所成角為，則下列說法正確的是（）A．AD的取值可能為 B．AD與BC所成角余弦值一定為C．四面體ABCD體積一定為 D．四面體ABCD的外接球的半徑可能為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在等差數(shù)列中，已知，則______．14．在的展開式中，的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）15．如圖是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成的．若大正方形的邊長為，E為線段BF的中點(diǎn)，則______．16．已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，已知．（1）求A；（2）若，求．18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，M為線段上一點(diǎn)．（1）求證：；（2）若直線與平面BCM所成角為，求點(diǎn)到平面BCM的距離．19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值．20．（12分）教育部門最近出臺了“雙減”政策，即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）．“雙減”政策的出臺對校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響．某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表．消費(fèi)金額（千元）人數(shù)305060203010（1）該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為和的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）以頻率估計(jì)概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，，分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）．①試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；②若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的方差．參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，．21．（12分）已知雙曲線的離心率為，記雙曲線C與圓的交點(diǎn)為，，，（逆時針排列），且矩形的面積為．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，直線交雙曲線C的左支于A、B兩點(diǎn)，若△PAB的外接圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求m的值．22．（12分）已知對于不相等的正實(shí)數(shù)a，b，有成立，我們稱其為對數(shù)平均不等式．現(xiàn)有函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，．①證明：；②證明：．2022年春季鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校五月模擬考高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C．2．【答案】D【詳解】設(shè)，其中a，，則，則，，此時z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選：D．3．【答案】【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：A．4．【答案】B【詳解】設(shè)圓錐的母線為l，即側(cè)面展開圖的半徑為l，又圓錐的底面半徑為1，則側(cè)面展開圖的弧長為，又側(cè)面展開圖是半圓，則，則，所以側(cè)面積為，故選：B．5．【答案】B【詳解】由題意知，一所學(xué)校有2名志愿者，一所學(xué)校有1名志愿者，總情況有種，甲被派到A學(xué)校的情況有種，故甲被派到A學(xué)校的概率為．故選：B．6．【答案】B【詳解】由拋物線定義可知，∴，△PQF為正三角形．設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，由拋物線可知：，∵，∴，∴，∴，故選：B．7．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以或．若，則，這與題設(shè)不合；若,又，所以，即．故選：B．8．【答案】A【詳解】因?yàn)楣?，所以；，；所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．【答案】AC【詳解】由題意得：，所以，因?yàn)?，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)，在y軸上，所以橢圓C的方程為，由通徑長可得，，的周長為，故選：AC．10．【答案】BC【解析】隨機(jī)抽出的1000名學(xué)生中，回答第一個問題的概率是，其編號是奇數(shù)的概率也是，所以回答問題1且回答的“是”的學(xué)生人數(shù)為，回答問題2且回答的“是”的人數(shù)為，從而估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為，估計(jì)被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)為，故選：BC．11【答案】AB【解析】由正實(shí)數(shù)a，b，c，以及，可得，又，所以．所以，又，所以，即，等價于，由于函數(shù)在上遞增，從而．又取時，原式為同樣成立，故CD不正確，從而本題選AB．12．【答案】ACD【解析】由題可知，，，則可將四面體ABCD的四個頂點(diǎn)放入如下圖所示的直三棱柱中，考慮到直線AB與CD所成角為，故有如下兩種情況：對于左圖，，則，；此時AD與BC所成角余弦值為；因?yàn)?，所以；分別取三棱柱上下底面三角形的外心G，H，連接GH，則線段GH的中點(diǎn)O即為三棱柱外接球球心，也即為四面體ABCD的外接球心，故四面體ABCD的外接球半徑．對于右圖，，則，；此時AD與BC所成角余弦值為；因?yàn)椋?；同上可得四面體ABCD的外接球半徑．故選ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】10【詳解】由題意在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，則，所以，于是，故答案為：10．14．【答案】-100【詳解】展開式中項(xiàng)的系數(shù)為：．故答案為：-100．15．【答案】4【詳解】設(shè)，由題可得，所以，故．過F作BC的垂線，垂足設(shè)為Q，故，故答案為：4．16．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以函?shù)為偶函數(shù)，又，所以在上有兩個零點(diǎn)，即有兩個不同的正實(shí)數(shù)解，即，令，則，故在上遞減，上遞增，故．又，且，，從而，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）【解析】（1）在△ABC中，因?yàn)?，所以，所以．∴．∵，∴，故，即，所以．?）解法一：在△ABC中，∵，，∴，即，∴，在△ABC中，∵，∴，∴，即．解法二：在△ABC中，∵，∴或（舍），∴在△ABC中，∵，∴，∴，即．解法三：在△ABC中，∵，∴，即，∴，即，故，∴或0（舍）在△ABC中，∵，∴，∴,即．（第（2）問若出現(xiàn)其余答案，扣2分）18．（12分）【解析】（1）解法一：因?yàn)?，，所以平面，所以G平面，故，又在正方形中，，所以平面，又平面，所以．解法二：因?yàn)槠矫鍭BC，AB，平面ABC，所以，，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，，，，，因?yàn)?，所以，即．?）設(shè)平面BCM的法向量為，，，所以有，因?yàn)橹本€與平面BCM所成角為，所以，解得，即，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面BCM的距離為：．19．（12分）【解析】（1）∵①，∴②，由①②可得，由①也滿足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．（2）由（1）可知，則，記，∴，∴，∴，即單調(diào)遞減，∴的最大值為．20．（12分）【解析】（1）由題意得，抽中的5人中消費(fèi)金額為的人數(shù)為，消費(fèi)金額為的人數(shù)為，設(shè)消費(fèi)金額為的人數(shù)為X，則，所以，，，所以X的分布列為：X123P；（2）①由題意得，，所以，所以．②由題意及①得，，，所以．21．（12分）【解析】（1）∵，∴，∴雙曲線，聯(lián)立，可得，，∴，∴，解得，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（