專題4.3期中全真模擬試卷03（壓軸卷八上人教第11-13章）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題4.3期中全真模擬試卷03（壓軸卷，八上人教第11-13章）班級(jí)：_____________姓名：_____________得分：_____________本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020春?彭州市期末）給出下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，25cm D．5cm，5cm，11cm【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析判斷．【解答】解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得A中，3+4＝7＞5，能組成三角形；B中，8+7＝15，不能組成三角形；C中，13+12＝25，不能夠組成三角形；D中，5+5＝10＜11，不能組成三角形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長(zhǎng)的那條線段就能夠組成三角形．2．（2023?寧江區(qū)三模）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，則∠B的度數(shù)為（）A．74° B．32° C．22° D．16°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)求出∠C，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠B＝∠C，代入求出即可．【解答】解：∵CD＝CE，∠D＝74°，∴∠DEC＝∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°﹣74°＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，題目比較典型，難度適中．3．（2015秋?大同期末）如圖所示，AB∥DE，CD＝BF且D、C、F、B在一條直線上，若要證明△ABC≌△EDF，還需要補(bǔ)充的條件是（）A．AC＝EF B．DF＝BC C．∠B＝∠D D．AB＝ED【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠B＝∠D，求出DF＝BC，根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∵CD＝BF，∵CD+CF＝BF+CF，∴DF＝BC，A、根據(jù)AC＝EF，∠B＝∠D，BC＝DF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△EDF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)∠B＝∠D，BC＝DF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△EDF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)∠B＝∠D，BC＝DF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△EDF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；DD、根據(jù)AB＝DE，∠B＝∠D，BC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△EDF，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能理解全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．4．如圖，根據(jù)所學(xué)的三角形的內(nèi)、外角知識(shí)可得x的值為（）A．80 B．90 C．100 D．110【答案】C【分析】由平角的定義可得∠ABC＝160°﹣x°，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解x值．【解答】解：∵∠ABD+∠ABC＝180°，∴x°+20°+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝160°﹣x°，∵∠BCE＝∠A+∠ABC，∠A＝80°，∠BCE＝x°+40°，∴x°+40°＝80°+160°﹣x°，解得x＝100，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，平角的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?羅莊區(qū)期中）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等【答案】A【分析】連接NC，MC，根據(jù)SSS證△ONC≌△OMC，即可推出答案．【解答】解：連接NC，MC，在△ONC和△OMC中ON=OMNC=MC∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題型較好，難度適中．6．（2020秋?羅莊區(qū)期中）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到∠ABD＝∠EBD=12∠ABC=35°2，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠【解答】解：∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABF＝∠EBF，∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠EFB＝90°，在△ABF和△EBF中，∠ABF=∠EBFBF=BF∴△ABF≌△EBF（ASA），∴AB＝EB，AF＝EF，∴∠BAE＝∠BEA，DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠DEA，∴∠DEB＝∠DAB＝95°，∴∠CDE＝∠DEB﹣∠C＝45°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2020秋?羅莊區(qū)期中）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，則AD的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)﹣b+c D．a(chǎn)+b﹣c【答案】D【分析】只要證明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c；【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．8．（2020秋?羅莊區(qū)期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若△CDM周長(zhǎng)的最小值為8，則△ABC的面積為（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，求出AD的長(zhǎng)可得結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴△CDM周長(zhǎng)的最小值＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝AD+2＝∴AD＝6，∴S△ABC=12?BC?AD故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．9．（2021秋?費(fèi)縣期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是關(guān)鍵．10．（2020秋?羅莊區(qū)期中）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連接CP，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CP交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AP，則∠PAH的度數(shù)（）A．隨著θ的增大而增大 B．隨著θ的增大而減小 C．不變 D．隨著θ的增大，先增大后減小【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性質(zhì)可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【解答】解：∵將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度數(shù)是定值，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．（2020秋?羅莊區(qū)期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則內(nèi)角和是720度，720÷180+2＝6，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．12．（2020秋?羅莊區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分線，∠ADC＝150°，則∠ABC的度數(shù)為140度．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和已知條件即可求得．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分線，∠ADC＝150°，∴設(shè)∠A＝∠ACB＝x，則∠B＝180°﹣2x，∠ACD＝∠BCD=x∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝180°﹣2x+x2解得x＝20°．∴∠ABC＝180°﹣2×20°＝140°．【點(diǎn)評(píng)】本題比較簡(jiǎn)單，綜合考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理．13．（2020秋?沂水縣期中）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)D，連接AD．若∠BAC＝122°，∠C＝36°，則∠BAD的大小為79度．【答案】79．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝20°，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝80°．【解答】解：∵∠BAC＝122°，∠C＝36°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝22°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝79°，故答案為：79．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．14．（2020秋?沂水縣期中）在△ABC中給定下面幾組條件：①AB＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；②AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝90°；③AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝120°；④AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝30°．若根據(jù)每組條件畫圖，則△ABC能夠唯一確定的是②③④（填序號(hào)）．【答案】②③④．【分析】根據(jù)全等三角形的判定判斷即可．【解答】解：①AB＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°，SSA不能判定△ABC唯一，錯(cuò)誤；②AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝90°，HL能判定△ABC唯一，正確；③AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝120°，能判定△ABC唯一，正確；④AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝30°，能判定△ABC唯一，正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答．15．（2021秋?費(fèi)縣期中）如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別是P1，P2，線段P1P2分別交OA、OB于D、C，P1P2＝8cm，則△PCD的周長(zhǎng)為8cm．【答案】8．【分析】首先根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別是P1，P2，可得PD＝P1D，PC＝P2C；然后根據(jù)P1P2＝8cm，可得P1D+DC+P2C＝8cm，所以PD+DC+PC＝8cm，即△PCD的周長(zhǎng)為8cm，據(jù)此解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別是P1，P2，∴PD＝P1D，PC＝P2C；∵P1P2＝8（cm），∴P1D+DC+P2C＝8（cm），∴PD+DC+PC＝8（cm），即△PCD的周長(zhǎng)為8cm．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：PD＝P1D，PC＝P2C．16．（2020秋?羅莊區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝θ，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分線交于點(diǎn)A2020，則∠A2020＝θ22020．（用【答案】θ2【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，同理可得∠A2=1【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=1∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴12∠ACD＝∠A1+12∴∠A1=12（∠ACD﹣∠∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=12∠∠A2=12∠A1=1以此類推，∠An=12n∴∠A2020=122020∠故答案為：θ2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）17．（2020秋?沂水縣期中）如圖，在△ABC中，BE是AC邊上的高，DE∥BC，∠ADE＝45°，∠C＝65°，求∠ABE的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】想辦法求出∠ABC，∠CBE即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵DE∥BC，∠ADE＝45°，∴∠ABC＝∠ADE＝45°，∵BE是AC邊上的高，∴∠BEC＝90°，∵∠C＝65°，∴∠EBC＝90°﹣∠C＝25°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝45°﹣25°＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．18．（2020秋?沂水縣期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D在邊AB上，且BD＝CA，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且點(diǎn)C，E在AB同側(cè)，連接BE．求證：△DEB≌△ABC．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】由DE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A，又BD＝CA，DE＝AB，利用SAS即可證明△DEB≌△ABC．【解答】證明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB與△ABC中，DE=AB∠EDB=∠A∴△DEB≌△ABC（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．19．（2021秋?濮陽(yáng)期末）在12×12的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1（點(diǎn)A1與點(diǎn)A，點(diǎn)B1與點(diǎn)B，點(diǎn)C1與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)）；（3）請(qǐng)求出△ABC的面積．【答案】（1）A（﹣3，4），B（﹣4，0），C（﹣1，1）；（2）見(jiàn)解答；（3）112【分析】（1）結(jié)合圖形可得答案；（2）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（3）用矩形的面積減去四周三個(gè)三角形的面積即可．【解答】解：（1）A（﹣3，4），B（﹣4，0），C（﹣1，1）；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（3）S△ABC的面積＝3×4-12×1×3-12×2×3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的定義與性質(zhì)．20．（2020秋?沂南縣期中）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AD．（1）求證：∠OBC＝∠DAC；（2）求∠OAD的度數(shù)；（3）當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）50°；（3）綜上，當(dāng)α為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS證明△BOC≌△ADC（SAS），即可證明；（2）先根據(jù)△BOC≌△ADC得∠ADC＝∠BOC＝α，再根據(jù)等邊三角形的定義和周角的定義可得∠ADO和∠AOD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）分三種情況討論，利用已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：如圖1，∵△ABC和△ODC都是等邊三角形，∴CB＝CA，CO＝CD，∠BCA＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD，在△BOC和△ADC中，BC=AC∠BCO=∠ACD∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠OBC＝∠DAC；（2）解：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∵△COD是等邊三角形，∴∠CDO＝∠COD＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，∵∠AOB＝110°，∴∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，△AOD中，∠OAD＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；（3）解：由（2）知：∠ADO＝α﹣60°，∠AOD＝190°﹣α，∠OAD＝50°，①當(dāng)AO＝AD時(shí)，△AOD是等腰三角形，∴∠ADO＝∠AOD，即α﹣60＝190﹣α，解得：α＝125°；②當(dāng)AO＝OD時(shí)，△AOD是等腰三角形，∴∠ADO＝∠DAO，即α﹣60＝50，解得：α＝110°；①當(dāng)OD＝AD時(shí)，△AOD是等腰三角形，∴∠DAO＝∠AOD，即190﹣α＝50，解得：α＝140°；綜上，當(dāng)α為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．21．（2020秋?蒙陰縣期中）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，（1）證明：∠APO+∠DCO＝30°；（2）判斷△OPC的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；（2）證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形．【解答】解：（1）連接OB．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD=12∠BAC=12∴AD⊥BC，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；（2）等邊三角形；∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)三線合一，以及等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．22．（2020秋?蘭山區(qū)期中）（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進(jìn)而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論；（3）由等邊三角形的性質(zhì)，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，進(jìn)而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，就有△DEF為等邊三角形．【解答】解：（1）如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠CEA∠CAE=∠ABD∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）如圖2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠CEA∠CAE=∠ABD∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，BD=AE∠DBF=EAF∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．23．（2021秋?費(fèi)縣期中）閱讀下列材料：陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，