2024屆山東省華僑中學數學高一下期末聯考試題含解析

2024屆山東省華僑中學數學高一下期末聯考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數列是各項均為正數的等比數列，數列是等差數列，且，則（）A． B．C． D．2．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，則cosA的值是（）A． B． C． D．3．中，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．直角三角形4．設函數，其中均為非零常數，若，則的值是（）A．2 B．4 C．6 D．不確定5．已知圓x2+y2+2x-6y+5a=0關于直線y=x+b成軸對稱圖形，則A．(0,8) B．(-∞,8) C．(-∞,16)6．如圖，，下列等式中成立的是（）A． B．C． D．7．實數滿足,則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知，則三個數、、由小到大的順序是（）A． B．C． D．9．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則10．已知過原點的直線與圓C：相交于不同的兩點，且線段的中點坐標為，則弦長為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數列的前項和，則__________.12．已知扇形的半徑為6，圓心角為，則該扇形的面積為_______.13．已知等差數列中，首項，公差，前項和，則使有最小值的_________.14．若函數的反函數的圖象過點，則________．15．已知四面體的四個頂點均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____16．已知x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫單位：有關如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份每天的最高氣溫數據，得到下面的頻數分布表：最高氣溫天數216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當六月份有一天這種酸奶的進貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）18．數列中，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求；⑶設，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．已知數列的前n項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)若，設數列的前n項和為，證明．20．已知內角的對邊分別是，若，，.（1）求；（2）求的面積.21．為了了解當下高二男生的身高狀況,某地區(qū)對高二年級男生的身高(單位:)進行了抽樣調查,得到的頻率分布直方圖如圖所示.已知身高在之間的男生人數比身高在之間的人數少1人.(1)若身高在以內的定義為身高正常,而該地區(qū)共有高二男生18000人,則該地區(qū)高二男生中身高正常的大約有多少人?(2)從所抽取的樣本中身高在和的男生中隨機再選出2人調查其平時體育鍛煉習慣對身高的影響,則所選出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】分析：先根據等比數列、等差數列的通項公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比較即可．詳解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故選B．點睛：本題主要考查了等比數列的性質．比較兩數大小一般采取做差的方法．屬于基礎題．2、A【解題分析】

由正弦定理可得，再結合余弦定理求解即可.【題目詳解】解：因為在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，由正弦定理可得，不妨令，由余弦定理可得，故選：A.【題目點撥】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了運算能力，屬基礎題.3、D【解題分析】

根據正弦定理，得到，進而得到，再由兩角和的正弦公式，即可得出結果.【題目詳解】因為，所以，所以，即，所以，又因此，所以，即三角形為直角三角形.故選D【題目點撥】本題主要考查三角形形狀的判斷，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.4、C【解題分析】

根據正弦、余弦的誘導公式，由，可以得到等式，求出的表達式，結合剛得到的等式求值即可.【題目詳解】因為，所以.故選：C【題目點撥】本題考查三角函數的化簡求值，考查誘導公式的應用，屬于基礎題．5、D【解題分析】

根據圓關于直線成軸對稱圖形得b=4，根據二元二次方程表示圓得a<2，再根據指數函數的單調性得4a【題目詳解】解：∵圓x2+y∴圓心(-1,3)在直線∴3=-1+b，解得b=4又圓的半徑r=4+36-20a2>0b故選：D．【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題．6、B【解題分析】

本題首先可結合向量減法的三角形法則對已知條件中的進行化簡，化簡為然后化簡并代入即可得出答案．【題目詳解】因為，所以，所以，即，故選B．【題目點撥】本題考查的知識點是平面向量的基本定理，考查向量減法的三角形法則，考查數形結合思想與化歸思想，是簡單題．7、A【解題分析】

畫出可行域，平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數的取值范圍.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，平移基準直線到可行域邊界的位置，由圖可知目標函數分別在出取的最小值和最大值，最小值為，最大值為，故的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本小題主要考查線性規(guī)劃求最大值和最小值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.8、C【解題分析】

比較三個數、、與的大小關系，再利用指數函數的單調性可得出、的大小，可得出這三個數的大小關系.【題目詳解】，，，，且，函數為減函數，所以，，即，，因此，，故選C.【題目點撥】本題考查指數冪的大小關系，常用的方法有如下幾種：（1）底數相同，指數不同，利用同底數的指數函數的單調性來比較大小；（2）指數相同，底數不同，利用同指數的冪函數的單調性來比較大小；（3）底數和指數都不相同時，可以利用中間值法來比較大小.9、C【解題分析】

對每一個選項進行判斷，選出正確的答案.【題目詳解】A.若，則，取不成立B.若，則，取不成立C.若，，則，正確D.若，，則，取不成立故答案選C【題目點撥】本題考查了不等式的性質，找出反例是解題的關鍵.10、A【解題分析】

根據兩直線垂直，斜率相乘等于-1，求得直線的斜率為，進而求出圓心到直線的距離，再代入弦長公式求得弦長值.【題目詳解】圓的標準方程為：，設圓心，，，，，直線的方程為：，到直線的距離，.【題目點撥】求直線與圓相交的弦長問題，核心是利用點到直線的距離公式，求圓心到直線的距離.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據數列前項和的定義即可得出．【題目詳解】解：因為所以．故答案為：．【題目點撥】考查數列的定義，以及數列前項和的定義，屬于基礎題．12、【解題分析】

用弧度制表示出圓心角，然后根據扇形面積公式計算出扇形的面積.【題目詳解】圓心角為對應的弧度為，所以扇形的面積為.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面積的計算，屬于基礎題.13、或【解題分析】

求出，然后利用，求出的取值范圍，即可得出使得有最小值的的值.【題目詳解】，令，解得.因此，當或時，取得最小值.故答案為：或.【題目點撥】本題考查等差數列前項和的最小值求解，可以利用二次函數性質求前項和的最小值，也可以轉化為數列所有非正數項相加，考查計算能力，屬于中等題.14、【解題分析】

由反函數的性質可得的圖象過，將代入，即可得結果.【題目詳解】的反函數的圖象過點，的圖象過，故答案為．【題目點撥】本題主要考查反函數的基本性質，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于基礎題.15、2【解題分析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點到直線的距離為，可知點在球上的運動軌跡為小圓.【題目詳解】如圖所示，四面體內接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點在以為圓心，為半徑的小圓上運動，當面面時，四面體的體積達到最大，.【題目點撥】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點的運動軌跡，考查學生的空間想象能力和邏輯思維能力.16、1.【解題分析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可．【題目詳解】解：，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是，，，在中滿足的最大值是點，代入得最大值等于1．故答案為：1．【題目點撥】本題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）460元.【解題分析】

（1）根據表中的數據，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時的利潤及相應的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【題目詳解】（1）根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數為，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率．（2）當溫度大于等于時，需求量為500瓶，利潤為：元，當溫度在時，需求量為300瓶，利潤為：元，當溫度低于時，需求量為200瓶，利潤為：元，平均利潤為【題目點撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及概率的實際應用，其中解答中認真審題，熟練應用古典概型及其概率的計算公式，以及平均利潤的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．18、（1）；（2）（3）7.【解題分析】

（1）由可得為等差數列，從而可得數列的通項公式；（2）先判斷時數列的各項為正數，時數列各項為負數，分兩種情況討論分別利用等差數列求和公式求解即可；（3）求得利用裂項相消法求得，由可得結果.【題目詳解】（1）由題意，，為等差數列，設公差為，由題意得，.（2）若時，時，，故.（3），若對任意成立，的最小值是，對任意成立，的最大整數值是7,即存在最大整數使對任意，均有【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式與求和公式，以及裂項相消法求和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.19、（1）;（2）見解析.【解題分析】【試題分析】（1）借助題設中的數列遞推式探求數列通項之間的關系，再運用等比數列的定義求得通項公式；（2）依據（1）的結論運用錯位相減法求解，再借助簡單縮放法推證：（1）當時，得，當時，得，所以，（2）由（1）得：，又①得②兩式相減得：，故，所以.點睛：解答本題的思路是充分借助題設條件，先探求數列的的通項公式，再運用錯位相減法求解前項和．解答第一問時，先借助題設中的數列遞推式探求數列通項之間的關系，再運用等比數列的定義求得通項公式；解答第二問時，先依據（1）中的結論求得，運用錯位相減求和法求得，使得問題獲解．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；（2）由（1）求得，利用三角形的面積公式，即可求解三角形的面積．【題目詳解】（1）在中，，，，由正弦定理得，由余弦定理得，解得或不合題意，舍去，（2）由（1）知，所以，所以的面積為．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．21、(1)12600；(2).【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖知，身高正常的頻率，于是可得答案；（2）先計算出樣本容量，再找出樣本中身高在中的人數，從而利