2024屆湖南省常德市石門(mén)縣二中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆湖南省常德市石門(mén)縣二中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．直線l：3x+4y+5=0被圓M：（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦長(zhǎng)為（）A． B．5 C． D．103．已知在中，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（）A．2 B． C． D．－24．已知數(shù)列、、、、，可猜想此數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）.A． B．C． D．5．已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件x+y-2≥0,y≤2,x-y≤0,則A．2 B．3 C．4 D．66．若，，，，則等于（）A． B． C． D．7．甲.乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度.跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩人同時(shí)到教室 D．誰(shuí)先到教室不確定8．下圖是500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖，則這500名學(xué)生中測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90，100）中的學(xué)生人數(shù)是A．60 B．55 C．45 D．509．已知等差數(shù)列中，若，則（）A．-21 B．-15 C．-12 D．-1710．已知平面向量，，若與同向，則實(shí)數(shù)的值是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)______．12．若，，則___________.13．無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為_(kāi)_______14．已知向量，的夾角為，若，，則________.15．若，則__________.16．若，則__________.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=4，點(diǎn)E為線段PA的中點(diǎn).（1）求證：PC∥平面BDE；（2）求三棱錐E-BCD的體積.18．已知是復(fù)數(shù)，與均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象重合.（1）求和的值；（2）若函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程.20．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程在有兩個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．21．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為10cm的零件，為了檢驗(yàn)零件的質(zhì)量，從零件中各隨機(jī)抽取6件測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.（1）分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明哪一臺(tái)機(jī)床加工的零件更符合要求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

將不等式化為，可知滿(mǎn)足不等式，不滿(mǎn)足不等式，由此可確定個(gè)整數(shù)解為；當(dāng)和時(shí)，解不等式可知不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，解出不等式的解集，要保證整數(shù)解為，則需，解不等式組求得結(jié)果.【題目詳解】由得：當(dāng)時(shí)，成立必為不等式的一個(gè)整數(shù)解當(dāng)時(shí)，不成立不是不等式的整數(shù)解個(gè)整數(shù)解分別為：當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意當(dāng)時(shí)，解不等式得：或不等式不可能只有個(gè)整數(shù)解，不滿(mǎn)足題意當(dāng)時(shí)，，解得：，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用特殊值確定整數(shù)解的具體取值，從而解不等式，根據(jù)整數(shù)解的取值來(lái)確定解集的上下限，構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.2、C【解題分析】

求出圓心到直線l的距離，再利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【題目詳解】∵圓（x–2）2+（y–1）2=16，∴圓心（2，1），半徑r=4，圓心到直線l：3x+4y+5=0的距離d==3，∴直線3x+4y+5=0被圓（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦長(zhǎng)l=2=2．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式，主要用到了點(diǎn)到直線的距離公式．3、C【解題分析】

由，結(jié)合投影幾何意義，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】由,結(jié)合投影幾何意義有：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足落在的延長(zhǎng)線上，且,以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)，其中則解析式是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最小值故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量方法解決幾何最值問(wèn)題，屬于中等題型.4、D【解題分析】

利用賦值法逐項(xiàng)排除可得出結(jié)果.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，不合乎題意；對(duì)于B選項(xiàng)，，不合乎題意；對(duì)于C選項(xiàng)，，不合乎題意；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，合乎題意.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查推理能力，屬于中等題.5、D【解題分析】

試題分析：把函數(shù)轉(zhuǎn)化為表示斜率為截距為平行直線系，當(dāng)截距最大時(shí)，最大，由題意知當(dāng)直線過(guò)和兩條直線交點(diǎn)時(shí)考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用.【題目詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、C【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出與，然后利用兩角差的余弦公式求出值．【題目詳解】，，則，，則，所以，，因此，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角和的余弦公式求值，解決這類(lèi)求值問(wèn)題需要注意以下兩點(diǎn)：①利用同角三角平方關(guān)系求值時(shí)，要求對(duì)象角的范圍，確定所求值的正負(fù)；②利用已知角來(lái)配湊未知角，然后利用合適的公式求解．7、B【解題分析】

設(shè)兩人步行，跑步的速度分別為，（）．圖書(shū)館到教室的路程為，再分別表示甲乙的時(shí)間，作商比較即可.【題目詳解】設(shè)兩人步行、跑步的速度分別為，（）．圖書(shū)館到教室的路程為．則甲所用的時(shí)間為：．乙所用的時(shí)間，滿(mǎn)足+，解得．則＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了路程與速度、時(shí)間的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖可得測(cè)試成績(jī)落在中的頻率，從而可得結(jié)果.詳解：由頻率分布直方圖可得測(cè)試成績(jī)落在中的頻率為，所以測(cè)試成績(jī)落在中的人數(shù)為，，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.直觀圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率.9、A【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：，故選A.10、D【解題分析】

通過(guò)同向向量的性質(zhì)即可得到答案.【題目詳解】與同向，，解得或(舍去)，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，但注意同向，難度較小.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

推導(dǎo)出a1＝1，a2＝2×1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【題目詳解】∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2時(shí)，22n﹣2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，分類(lèi)討論是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，是基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

將等式和等式都平方，再將所得兩個(gè)等式相加，并利用兩角和的正弦公式可求出的值.【題目詳解】若，，將上述兩等式平方得，①，②，①＋②可得，求得，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角和的正弦公式求值，解題的關(guān)鍵就是將等式進(jìn)行平方，結(jié)合等式結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.13、【解題分析】

利用無(wú)窮等比數(shù)列求和的方法即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了無(wú)窮等比數(shù)列的求和問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

由，展開(kāi)后進(jìn)行計(jì)算，得到的值，從而得到答案.【題目詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查求向量的模長(zhǎng)，向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.15、；【解題分析】

易知的周期為，從而化簡(jiǎn)求得.【題目詳解】的周期為，且，又，.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦型函數(shù)的周期以及利用周期求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.16、；【解題分析】

由條件利用反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【題目詳解】，則，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）16【解題分析】

（1）證明EO∥PC得到PC∥平面BDE.（2）先證明EF就是三棱錐E-BCD的高，再利用體積公式得到三棱錐E-BCD的體積.【題目詳解】（1）證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)EO.∵四邊形ABCD是正方形，在ΔPAC中，O為AC中點(diǎn)，又∵E為PA中點(diǎn)∴EO∥PC.又∵PC?平面BDE，EO?平面BDE.∴PC∥平面BDE.（2）解：取AD中點(diǎn)F，連結(jié)EF.則EF∥PD且EF=1∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF就是三棱錐E-BCD的高.在正方形ABCD中，SΔBCD∴V三棱錐【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面平行，三棱錐的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、【解題分析】試題分析：解：設(shè)，為實(shí)數(shù)，．為實(shí)數(shù)，，則．在第一象限，解得．考點(diǎn)：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，不等式組解法．點(diǎn)評(píng)：主要運(yùn)用復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，具有一定綜合性，中檔題．19、（1），；（2）減區(qū)間為，對(duì)稱(chēng)軸方程為【解題分析】

(1)先根據(jù)平移后周期不變求得,再根據(jù)三角函數(shù)的平移方法求得即可.(2)根據(jù)(1)中,代入可得,利用輔助角公式求得,再代入調(diào)遞減區(qū)間及圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程求解即可.【題目詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象重合,所以.所以,因?yàn)?所以.（2）由（1）,,所以,.令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.令,可得圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的平移運(yùn)用以及輔助角公式.同時(shí)也考查了根據(jù)三角函數(shù)的解析式求解單調(diào)區(qū)間以及對(duì)稱(chēng)軸等方法.屬于中檔題.20、（1）最小正周期，；（2）.【解題分析】

（1）利用兩角差的余弦公式、倍角公式、輔助角公式得，求得周期；（2）利用換元法令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程在有兩個(gè)不同的實(shí)根，再利用圖象得的取值范圍.【題目詳解】（1），所以的最小正周期，由得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）令，因?yàn)?，所以，即方程在有兩個(gè)不同的實(shí)根，由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意，所以的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)考查三角恒等變換的綜合運(yùn)用；第二問(wèn)考查換元法求參數(shù)的取值范圍，