2024屆吉林省永吉縣實驗高級中學數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆吉林省永吉縣實驗高級中學數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，若，則等于()A． B．1 C．2 D．2．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．3．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則角（）A． B． C． D．4．在ΔABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a:b:c=3:4:5，則cosA．35 B．45 C．5．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．6．已知是不同的直線，是不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．“φ＝”是“函數(shù)y=sin（x＋φ）為偶函數(shù)的”（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項和為（）A． B． C． D．9．一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東和北偏西，則塔與寺廟的距離為()A． B． C． D．10．一張方桌的圖案如圖所示，將一顆豆子隨機地扔到桌面上，假設豆子不落在線上，下列事件的概率：（1）豆子落在紅色區(qū)域概率為；（2）豆子落在黃色區(qū)域概率為；（3）豆子落在綠色區(qū)域概率為；（4）豆子落在紅色或綠色區(qū)域概率為；（5）豆子落在黃色或綠色區(qū)域概率為.其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓C的方程為，一定點為A(1,2)，要使過A點作圓的切線有兩條，則a的取值范圍是____________12．設O點在內部，且有，則的面積與的面積的比為.13．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長為___．14．設等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．15．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________．16．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若，則=___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間：(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及取最大值時的集合.18．已知數(shù)列的前項和，且滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.19．某校為創(chuàng)建“綠色校園”，在校園內種植樹木，有A、B、C三種樹木可供選擇，已知這三種樹木6年內的生長規(guī)律如下：A樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.1米，以后每年比上一年多長高0.2米；B樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.04米，以后每年生長的高度是上一年生長高度的2倍；C樹木：樹木的高度（單位：米）與生長年限（單位：年，）滿足如下函數(shù)：（表示種植前樹木的高度，?。?）若要求6年內樹木的高度超過5米，你會選擇哪種樹木？為什么？（2）若選C樹木，從種植起的6年內，第幾年內生長最快？20．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.21．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，AC與BD交于點O，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

首先根據(jù)?（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化簡得出，再化為Asin()形式即可得結果.【題目詳解】由得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，化簡得，即sin()=,則sin()=故選A.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值以及向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎題．2、D【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，可推導出，，，的平均數(shù)和方差．【題目詳解】因為，所以，所以的平均數(shù)為；因為，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查平均數(shù)與方差的公式計算，考查對概念的理解與應用，考查基本運算求解能力.3、C【解題分析】

利用余弦定理求三角形的一個內角的余弦值，可得的值，得到答案．【題目詳解】在中，因為，即，利用余弦定理可得，又由,所以，故選C．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理的應用，其中解答中根據(jù)題設條件，合理利用余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4、D【解題分析】

設a=3k,b=4k,c=5k,利用余弦定理求cosC的值.【題目詳解】設a=3k,b=4k,c=5k,所以cosC=故選D【題目點撥】本題主要考查余弦定理，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、A【解題分析】

根據(jù)公式，向量在向量上的投影等于，計算求得結果.【題目詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【題目點撥】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎題型.6、D【解題分析】

由線面平行的判定定理即可判斷A；由線面垂直的判定定理可判斷B；由面面垂直的性質可判斷C；由空間中垂直于同一條直線的兩平面平行可判斷D.【題目詳解】對于A選項，加上條件“”結論才成立；對于B選項，加上條件“直線和相交”結論才成立；對于C選項，加上條件“”結論才成立.故選：D【題目點撥】本題考查空間直線與平面的位置關系，涉及線面平行的判定、線面垂直的判定、面面垂直的性質，屬于基礎題.7、A【解題分析】試題分析：當時，時，是偶函數(shù)，當是偶函數(shù)時，，所以不能推出是，所以是充分不必要條件，故選A．考點：三角函數(shù)的性質8、C【解題分析】

由判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，再求出，利用等比數(shù)列前項和公式求解即可.【題目詳解】由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，由等比數(shù)列前項和公式，.故選：C【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列前項和公式的應用，考查學生的計算能力，屬于基礎題.9、C【解題分析】

先根據(jù)題干描述，畫出ABCD的相對位置，再解三角形．【題目詳解】如圖先求出，的長，然后在中利用余弦定理可求解．在中，，可得．在中，，，，∴，∴．在中，，∴．故選C.【題目點撥】本題考查正余弦定理解決實際問題中的距離問題，正確畫出其相對位置是關鍵，屬于中檔題．10、B【解題分析】試題分析：方桌共有塊，其中紅色的由塊，黃色的由塊，,綠色的由塊，所以（1）（2）（3）結論正確，故選擇B.這里表面上看是與面積相關的幾何概型，其實還是古典概型考點：古典概型的概率計算和事件間的關系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

使過A點作圓的切線有兩條，定點在圓外，代入圓方程計算得到答案.【題目詳解】已知圓C的方程為，要使過A點作圓的切線有兩條即點A(1,2)在圓C外：恒成立.綜上所述：故答案為：【題目點撥】本題考查了點和圓的位置關系，通過切線數(shù)量判斷位置關系是解題的關鍵.12、3【解題分析】

分別取AC、BC的中點D、E,

,

,即,

是DE的一個三等分點,

,

故答案為:3.13、【解題分析】

兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，求出第一個圓心到直線的距離，再由第一個圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長．【題目詳解】圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心，半徑r為2，且圓心到直線的距離，則公共弦長為．故答案為．【題目點撥】此題考查了直線與圓相交的性質，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關鍵．14、-8【解題分析】設等比數(shù)列的公比為，很明顯，結合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項公式可得.【名師點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.15、【解題分析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求結果.詳解：因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側面積為16、【解題分析】試題分析：因為和關于軸對稱，所以，那么，（或），所以.【考點】同角三角函數(shù)，誘導公式，兩角差的余弦公式【名師點睛】本題考查了角的對稱關系，以及誘導公式，常用的一些對稱關系包含：若與的終邊關于軸對稱，則，若與的終邊關于軸對稱，則，若與的終邊關于原點對稱，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,單調遞增區(qū)間為；（2）最大值為,取最大值時，的集合為.【解題分析】

（1）對進行化簡轉換為正弦函數(shù)，可得其最小正周期和遞增區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結果，可得正弦函數(shù)的最大值和此時的的集合.【題目詳解】解：（1）∴.增區(qū)間為：即單調遞增區(qū)間為（2）當時，的最大值為，此時，∴取最大值時，的集合為.【題目點撥】本題考查二倍角公式和輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質，屬于基礎題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

(1)本題可令求出的值，然后令求出，即可求出數(shù)列的通項公式；(2)首先可令，然后根據(jù)錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和?！绢}目詳解】(1)當，，得.當時，，,兩式相減，得，化簡得，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，所以。(2)由(1)可知，令，則①，兩邊同乘以公比，得到②，由①②得：所以?！绢}目點撥】本題主要考查了數(shù)列通項的求法以及數(shù)列前項和的方法，求數(shù)列通項常用的方法有：累加法、累乘法、定義法、配湊法等；求數(shù)列前項和常用的方法有：錯位相減法、裂項相消法、公式法、分組求和法等，屬于中等題。19、（1）選擇C；（2）第4或第5年.【解題分析】

（1）根據(jù)已知求出三種樹木六年末的高度，判斷得解；（2）設為第年內樹木生長的高度，先求出，設，則，．再利用分析函數(shù)的單調性，分析函數(shù)的圖像得解.【題目詳解】（1）由題意可知，A、B、C三種樹木隨著時間的增加，高度也在增加，6年末：A樹木的高度為（米）：B樹木的高度為（米）：C樹木的高度為（米），所以選擇C樹木．（2）設為第年內樹木生長的高度，則，所以，，．設，則，．令，因為在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當時，取得最小值，從而取得最大值，此時，解得，因為，，故的可能值為3或4，又，，即．因此，種植后第4或第5年內該樹木生長最快．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列求和，考查函數(shù)的圖像和性質的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于難題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②聯(lián)立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.21、(1)證明見解析；(2)﹒【解題分析】

(1)證面面垂直只需證一個平面內有一條