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上海市上海理工大附中2024年高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.2.已知曲線且過(guò)定點(diǎn),若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.3.已知α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,則“α∥β是“l(fā)∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn),則()A. B. C. D.5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.6.已知為等比數(shù)列,,,則()A.9 B.-9 C. D.7.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.8.已知平面向量,,,則實(shí)數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.9.在展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.2 C.3 D.710.設(shè)函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),.若存在,且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知正三角形的邊長(zhǎng)為2,為邊的中點(diǎn),、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn),并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,且,則______.14.若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____15.已知雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.16.的二項(xiàng)展開(kāi)式中,含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值;(2)記關(guān)于的方程的兩根分別為,求證:.18.(12分)已知(1)若,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且存在滿足,令函數(shù),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.19.(12分)某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查,為此需要抽驗(yàn)1000人的血樣進(jìn)行化驗(yàn),由于人數(shù)較多,檢疫部門(mén)制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個(gè)人的血分別化驗(yàn),這時(shí)需要驗(yàn)1000次.方案②:按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果每個(gè)人的血均為陰性,則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性,這個(gè)人的血只需檢驗(yàn)一次(這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次);否則,若呈陽(yáng)性,則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn),這樣,該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.(1)設(shè)方案②中,某組個(gè)人的每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為,求的分布列;(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時(shí),各需化驗(yàn)的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))20.(12分)已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.(12分)已知三棱柱中,,是的中點(diǎn),,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)設(shè)橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)D在橢圓C上,的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn),確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即時(shí)取得最小值.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式求最值,意在考查轉(zhuǎn)化與變形,基本計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解析】試題分析:利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.解:根據(jù)題意,由于α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,由于“α∥β,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面,條件可以推出結(jié)論,反之不成立,∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件.故選A.考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷;平面與平面平行的判定.4、B【解析】
根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)椋?dāng)時(shí),,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】,當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,考查模長(zhǎng)公式,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于容易題.9、D【解析】
求出展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng),問(wèn)題得解?!驹斀狻空归_(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為:,,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】
先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,所以,所以為奇函?shù),當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?,所以,所以,化?jiǎn)得,所以,即令,因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn),所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,由選項(xiàng)知,,又因?yàn)?,所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題,難度較大.11、A【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線,設(shè)出點(diǎn),通過(guò),找出與的關(guān)系.通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí),求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn),BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點(diǎn),所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.12、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
數(shù)列滿足知,數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列,再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】,數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,又,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列定義,考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,是中檔題.14、【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將不等式去掉對(duì)數(shù)符號(hào),再依據(jù)分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問(wèn)題,進(jìn)而求得的取值范圍。【詳解】由得,兩邊同除以,得到,,,設(shè),,由函數(shù)在上遞減,所以,故實(shí)數(shù)的取值范圍是?!军c(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問(wèn)題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。15、【解析】
求出雙曲線的漸近線方程,右準(zhǔn)線方程,得到交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求解即可.【詳解】解:雙曲線的右準(zhǔn)線,漸近線,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn),交點(diǎn)在拋物線上,可得:,解得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,是基本知識(shí)的考查,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),然后取的指數(shù)為求得的值,則項(xiàng)的系數(shù)可求得.【詳解】,由,可得.含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式、需熟記二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)參數(shù)討論,得函數(shù)單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極值;(2)是方程的兩根,代入方程,化簡(jiǎn)換元,構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】(1)依題意,;若,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)既無(wú)極大值,也無(wú)極小值;若,則,令,解得,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)有極大值,無(wú)極小值;若,則,令,解得,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)有極大值,無(wú)極小值;(2)依題意,,則,,故,;要證:,即證,即證:,即證,設(shè),只需證:,設(shè),則,故在上單調(diào)遞增,故,即,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法:(1)若與的最值易求出,可直接轉(zhuǎn)化為證明;(2)若與的最值不易求出,可構(gòu)造函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值,證明.18、(1)(2)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)大于或等于0(2)先判斷為一個(gè)零點(diǎn),然后再求導(dǎo),根據(jù),化簡(jiǎn)求得另一個(gè)零點(diǎn)。解析:(1)當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),恒成立.[來(lái)源:Z&X&X&K]函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為.①,即時(shí),,即,解之得,解集為空集;②,即時(shí),即,解之得,所以③,即時(shí),即,解之得,所以綜上所述,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)∵有兩個(gè)極值點(diǎn),∴是方程的兩個(gè)根,且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∵∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減∵,∴是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).由題意知:∵,∴,∴∴,∴又=∵是方程的兩個(gè)根,∴,,∴∵函數(shù)圖像連續(xù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.19、(1)分布列見(jiàn)解析;(2)406.【解析】
(1)計(jì)算個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率為,得到分布列.(2)計(jì)算,代入數(shù)據(jù)計(jì)算比較大小得到答案.【詳解】(1)設(shè)每個(gè)人的血呈陰性反應(yīng)的概率為,則.所以個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率為.依題意可知,,所以的分布列為:(2)方案②中.結(jié)合(1)知每個(gè)人的平均化驗(yàn)次數(shù)為:時(shí),,此時(shí)1000人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為690次,時(shí),,此時(shí)1000人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為604次,時(shí),,此時(shí)1000人需要化驗(yàn)的次數(shù)總為594次,即時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多,時(shí)次數(shù)居中,時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少,而采用方案①則需化驗(yàn)1000次,故在這三種分組情況下,相比方案①,當(dāng)時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少次.【點(diǎn)睛】本題考查了分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解;(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,分類(lèi)討論進(jìn)行求解【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),令,解得或,當(dāng)或時(shí),,則單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(Ⅰ)當(dāng)時(shí),所以在上無(wú)零點(diǎn);(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,①若,即,則是的一個(gè)零點(diǎn);②若,即,則不是的零點(diǎn)(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的情況,因?yàn)?所以①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增。又,所以(?。┊?dāng)時(shí),在上無(wú)零點(diǎn);(ⅱ)當(dāng)時(shí),,又,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),令,得,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)
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