光信息處理技術(shù)及應用二維不變線性系統(tǒng)

二維不變線性系統(tǒng)1二維不變線性系統(tǒng)的定義一個二維脈沖函數(shù)在輸入平面上位移時，線性系統(tǒng)的呼應函數(shù)方式一直與在原點處輸入的二維脈沖函數(shù)的呼應函數(shù)方式一樣，僅呵斥呼應函數(shù)相應的位移，即

這樣的系統(tǒng)稱為二維不變線性系統(tǒng)。其脈沖呼應函數(shù)可表示為脈沖呼應函數(shù)僅僅依賴于察看點與脈沖輸入點坐標的相對間距二維線性不變系統(tǒng)還經(jīng)常叫做空間不變〔線性〕系統(tǒng)2空間不變線性系統(tǒng)的輸入輸出關系表示圖3不變線性系統(tǒng)的“卷積積分〞物理的空間不變線性系統(tǒng)，輸入平面和輸出平面經(jīng)常是不同的兩個平面，需求建立兩個坐標從研討輸入和輸出之間關系的角度來看，輸入和輸出兩種信號放在同一坐標系中是方便的，因此對輸入平面和輸出平面的坐標做歸一化〔不論兩者能否表示同一種物理量〕，使得從數(shù)值上有

和脈沖呼應函數(shù)變?yōu)榀B加積分變?yōu)椤熬矸e積分〞光學成象系統(tǒng)可以把物平面劃分為假設干個等暈區(qū)，把每個等暈區(qū)當作空間不變線性系統(tǒng)處置4二維不變線性系統(tǒng)的傳送函數(shù)假設不變線性系統(tǒng)的輸入是空域函數(shù)，其傅里葉變換為

同時輸出函數(shù)和脈沖呼應函數(shù)的傅里葉變換分別為

根據(jù)卷積定理有即稱做不變線性系統(tǒng)的的傳送函數(shù)5傳送函數(shù)的物理意義空間頻譜是基元函數(shù)的線性組合中對應的權(quán)重因子

輸入和輸出空間頻譜之比表達了系統(tǒng)對于輸入函數(shù)中不同頻率的基元函數(shù)的作用，也就是系統(tǒng)在把輸入“傳送〞為輸出過程中的作用，因此稱為傳送函數(shù)傳送函數(shù)普通是復函數(shù)，其模的作用是改動輸入函數(shù)各種頻率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改動這些基元成分的初位相傳送函數(shù)的模稱作振幅傳送函數(shù)，傳送函數(shù)的幅角稱作位相傳送函數(shù)6空間頻率的兩種意義空間頻率類似于時域函數(shù)的時間頻率，時間倒數(shù)稱作頻率，長度倒數(shù)稱作空間頻率，即在單位長度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)〔單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等〕信息光學中有兩種空間頻率，一種是對二維圖象進展頻譜分析得到的圖象頻譜對應的空間頻率，這是一種空間強度分布，單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等，其大小是沒有限制的，可以是無窮大另一種是對電磁波場進展頻譜分析得到的平面波對應的空間頻率，由于電磁波在均勻介質(zhì)中波長是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因此其對應在三維空間坐標上的每個方向的空間頻率〔單位為：光波數(shù)/mm〕表示出的意義實踐上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標軸的夾角，而且大小遭到光波長的限制，最大是波長的倒數(shù)。下章再詳細講這兩者區(qū)別7不變線性系統(tǒng)的本征函數(shù)假設函數(shù)滿足以下條件〔式中a為一復常數(shù)〕那么稱為算符所表征的系統(tǒng)的本征函數(shù)。這就是說，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個特定的輸入函數(shù)，它相應的輸出函數(shù)與它之間的差別僅僅是一個復常系數(shù)。前面講的基元函數(shù)——復指數(shù)函數(shù)就是不變線性系統(tǒng)的本征函數(shù)即<工程光學>中曾經(jīng)闡明光波可以用復指數(shù)函數(shù)表示，光學系統(tǒng)傳播光波的數(shù)學模型，就是這樣一個用復指數(shù)函數(shù)表示的光輸入變?yōu)閺椭笖?shù)函數(shù)表示的光輸出的不變線性系統(tǒng)8非相關成像系統(tǒng)的本征函數(shù)〔1〕下面再討論其脈沖呼應是實函數(shù)的一類特殊的空間不變線性系統(tǒng)，它把一個實值輸入變換為一個實值輸出。這種系統(tǒng)也是一種常見的線性系統(tǒng)，如普通的非相關成像系統(tǒng)。實函數(shù)的傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即其傳送函數(shù)有由于因此由此可見，這種系統(tǒng)振幅傳送函數(shù)是偶函數(shù)，位相傳送函數(shù)是奇函數(shù)9非相關成像系統(tǒng)的本征函數(shù)〔2〕余弦函數(shù)或正弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù)，輸入函數(shù)為余弦函數(shù)對應的頻譜為該不變線性系統(tǒng)輸出函數(shù)頻譜那么為系統(tǒng)輸出函數(shù)相應為10非相關成像系統(tǒng)的本征函數(shù)〔3〕因此有：這闡明，對于脈沖呼應是實函數(shù)的空間不變線性系統(tǒng)，余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出。同時產(chǎn)生與頻率有關的振幅衰減和相位挪動，其大小決議于傳送函數(shù)的模和幅角。非相關光學成象系統(tǒng)的脈沖呼應是實函數(shù)，對這一類空間不變線性系統(tǒng)的分析是建立光學傳送函數(shù)實際的根底。11不變線性系統(tǒng)圖解法〔1〕給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)是有限延伸的三角波對以下傳送函數(shù)用圖解法確定系統(tǒng)的輸出?！?〕〔2〕計算計算方法，首先求出輸入函數(shù)的頻譜，再用圖解找出輸出函數(shù)的頻譜，最后用反變換計算出系統(tǒng)的輸出。12不變線性系統(tǒng)圖解法〔2〕輸入函數(shù)的頻譜為13不變線性系統(tǒng)圖解法〔3〕輸入函數(shù)的頻譜分以下幾個步驟來完成：1、畫出、和2、畫出卷積3、得到乘積畫出傳送函數(shù)畫出輸出函數(shù)版的頻譜〔近似〕經(jīng)過簡單計算把剩下來的幾個sinc函數(shù)的反變換化簡，最后畫出輸出函數(shù)圖象14級聯(lián)絡統(tǒng)以下圖表示的是兩個級聯(lián)在一同的空間不變線性系統(tǒng)，前一系統(tǒng)的輸出恰是后一系統(tǒng)的輸入15兩個系統(tǒng)級聯(lián)的傳送函數(shù)對于總的系統(tǒng)和分別是其輸入和輸出，由于前式代入后式，并利用卷積的結(jié)合律，有總的脈沖呼應為總的傳送函數(shù)為16n個空間不變線性系統(tǒng)的級聯(lián)n個空間不變線性系統(tǒng)級聯(lián)的情況，總的等效系統(tǒng)的脈沖呼應和傳送函數(shù)分別為用模和幅角表示傳送函數(shù)時還可以進一步得到振幅傳送函數(shù)和位相傳送函數(shù)的如下關系級聯(lián)絡統(tǒng)總的傳送函數(shù)滿足相乘律，簡單地是各子系統(tǒng)傳送函數(shù)的乘積，這為我們分析復雜系統(tǒng)提供了很大的方便。復雜光學系統(tǒng)或者說光學鏈就是這種情況。17課堂練習給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)是有限延伸的三角波對以下傳送函數(shù)，確定系統(tǒng)輸入函數(shù)的頻譜，傳送函數(shù)、輸出函數(shù)的頻譜，以及系統(tǒng)的輸出的輸出。18