線性代數(shù) 2-5線性方程組解的一般理論

§2.5線性方程組解的一般理論一、線性方程組有解的判定定理二、齊次線性方程組解的結構三、非齊次線性方程組解的結構1則線性方程組的向量表達式為令，，….n個未知量，m個方程的線性方程組(1)=0=0:=0(2)(1)(2)2系數(shù)矩陣與增廣矩陣則線性方程組的矩陣表達式為非齊次齊次3（1）當m=n時，克萊姆法則，有解,有唯一解.有無窮多解.，無解,(2)消元法【問】r刻畫了矩陣什么屬性？r=r(A)4【逆否命題】線性方程組(1)無解的充要條件是1、判定定理推論1

線性方程組(1)有唯一解的充要條件是推論2

線性方程組(1)有無窮解的充要條件是推論3

線性方程組(2)僅有零解的充要條件是推論4

線性方程組(2)有非零解的充要條件是(§2.2補充定理)需證

一、線性方程組有解的判定定理需證

52、上述判定方法與以前判定方法的比較①

對齊次線性方程組(2),若m<n，則存在非零解。②推論1保證了克萊姆法則的正確性:【說明】當m<n時,一定有

,則齊次線性方程組一定有非零解.

n個未知量，n個方程的線性方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式D≠0.【說明】

D≠0,一定有

=r(ā),則線性方程組有唯一解.6例1線性方程組有解，證明:行列式71、齊次線性方程組解的性質n個未知量的線性方程組，每個解是一個n維向量，性質

若

1與

2是齊次線性方程組(2)的解，則

c1與

1+

2都是方程組(2)的解,c為任意常數(shù).稱為解向量，記做，代表二、齊次線性方程組解的結構82、齊次線性方程組解的結構定義－－基礎解系：齊次線性方程組(2)的解向量組的一個極大無關組，稱為齊次線性方程組(2)的一個基礎解系。(只有齊次線性方程組才有基礎解系)【注】基礎解系中的向量應滿足三點：①是齊次線性方程組(2)的解；②線性無關；③可線性表示齊次線性方程組(2)的任一解。推廣

若

1,

2,…,

t是齊次線性方程組(2)的解，則

c1

1+c2

2+

…+ct

t

是方程組(2)的解，

ci為任意常數(shù)。9【注】①基礎解系不唯一，若r(A)=r,則任意n-r個線性無關的解向量都是一個基礎解系，n-r即自由未知量的個數(shù)；②若

1,

2,…

n-r是齊次線性方程組(2)的一個基礎解系，則稱

＝c1

1+c2

2+…+cn-r

n-r

(其中c1,c2,…cn-r為任意常數(shù))是方程組(2)的一般解或全部解，。定理2：若齊次線性方程組(2)系數(shù)矩陣A的秩r(A)=r<n,則該方程組有基礎解系，并且基礎解系中解向量的個數(shù)是n-r。10例2

求齊次線性方程組的一般解解A11令得到基礎解系一般解(c1,c2,c3為任意常數(shù).)121、非齊次線性方程組解的性質(1)定義－－導出組：非齊次線性方程組(1)中的常數(shù)項全換為0，得到齊次線性方程組(2)，(2)稱為(1)的導出組。(2)性質1

若

是(1)的解，

是其導出組(2)的解，則

+

是方程組(1)的解。性質2

若

1與

2是方程組(1)的解，則

1

－

2

是其導出組(2)的解。三、非齊次線性方程組解的結構13方程組(1)的一個特解定理3若

0是方程組(1)的一個解，

是其導出組(2)的全部解，即

＝c1

1+c2

2+…+cn-r

n-r

其中

1,

2,…

n-r是齊次線性方程組(2)的一個基礎解系，則方程組(1)的全部解或一般解為＝0+＝

0+

c1

1+c2

2+…+cn-r

n-r

，其中

ci為任意常數(shù)，i=1,2,…,n-r，

0稱為方程組(1)的一個特解。2、非齊次線性方程組解的結構14【注】方程組(1)與其導出組(2)解的關系非齊次線性方程組(1)有唯一解其導出組(2)僅有零解.非齊次線性方程組(1)有無窮多解其導出組(2)有非零解.①導出組(2)有解(1)有解.②當非齊次線性方程組(1)有解時(前提條件)15例3

求解線性方程組，若是無窮解，求其全部解。解16因為，所以方程組有無窮解，取x2,x4,x5,為自由未知量，繼續(xù)進行初等行變換等價的方程組為17令令則方程組的全部解為＝0+

c1

1+c2

2+c3

3

，

c1,c2,c3為任意常數(shù)。18需寫明判斷解的理由【注】求方程組(1)的解的基本步驟①對(1)的增廣矩陣化階梯形，判斷解的狀況；②若r(A)≠r(ā)，則(1)無解，若r(A)＝r(ā)＝n(未知量個數(shù))，則

(1)有唯一解，若r(A)＝r(ā)=r<n，則(1)有無窮解，此時求全部解，先求出(1)的一個特解

0，

再求導出組的一個基礎解系

1,

2,…

n-r，

則(1)的全部解為

＝0+＝

0+

c1

1+c2

2+…+cn-r

n-r

其中

ci，i=1,2,…n-r

為任意常數(shù).19例4

線性方程組(重要題型)【注】①矩陣方法適用于任何線性方程組的討論；②當方程個數(shù)=未知量個數(shù)時，如果增廣矩陣不容易化階梯形，可以先用行列式進行討論。20例5

設方程組21解，方程組有唯一解；方程組無解；

①當即，r(A)＝r(ā)=1<4，方程組有無窮多解，此時令②③22得導出組的基礎解系

令得方程組特解方程組一般解為（為任意常數(shù)）23【注】由于例4、5恰好方程的個數(shù)和未知量的個數(shù)相同,則也可利用cramer法則:系數(shù)行列式不為零等價于有唯一解，即先求出λ取何值時有唯一解.然后再用增廣矩陣討論無解和無窮多解的情況.(該方法只適用于方程個數(shù)=未知量個數(shù)的線性方程組,過程略)24課后習題二

28(3),29(3),3