第11講 三次數(shù)學危機與悖論欣賞

悖論的歷史源遠流長，它的起源可以一直追溯到古希臘和中國先秦時代?！般Ｕ摠曇辉~源于希臘文，意為“無路可走〞，轉(zhuǎn)義是“四處碰壁，無法解決問題〞。悖論的定義有很多說法，影響較大的有以下幾種，如“悖論是指這樣一個命題A,由A出發(fā)可以找到一語句B，然后，假設(shè)假定B真，就可推出~B真,亦即可推出B假。假設(shè)假定~B真，即B假，又可推導(dǎo)出B真〞。又如“悖論是一種導(dǎo)致邏輯矛盾的命題，這種命題，如果成認它是真的，那么它又是假的；如果成認它是假的，那么它又是真的。〞再如“如果某一理論的公理和推理原那么看上去是合理的，但在這個理論中卻推出了兩個互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個互相矛盾的命題的等價式，那么，我們就說這個理論包含了一個悖論。〞編輯課件上述各種悖論定義，都有其合理的一面，但又都不十分令人滿意。從潛科學的觀點來看，悖論是一種在已有科學標準中無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的科學標準中得到克服，這是悖論的廣義定義。悖論有其存在的客觀性和必然性，它是科學理論演進中的必然產(chǎn)物，在科學開展史上經(jīng)常出現(xiàn)，普遍存在于各門科學之中。不僅在語義學、形式邏輯和數(shù)理邏輯等領(lǐng)域出現(xiàn)悖論，而且在物理學、天文學、系統(tǒng)論和哲學等領(lǐng)域也經(jīng)常出現(xiàn)悖論。編輯課件歷史上，數(shù)學的開展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機。危機也意味著挑戰(zhàn)，危機的解決就意味著進步。所以，危機往往是數(shù)學開展的先導(dǎo)。數(shù)學開展史上有三次數(shù)學危機。每一次數(shù)學危機，都是數(shù)學的根本局部受到質(zhì)疑。實際上，也恰恰是這三次危機，引發(fā)了數(shù)學上的三次思想解放，大大推動了數(shù)學科學的開展。編輯課件一、第一次數(shù)學危機第一次數(shù)學危機是由不能寫成兩個整數(shù)之比引發(fā)的，我們在第一章已專門討論過，現(xiàn)再簡要回憶一下。

編輯課件

這一危機發(fā)生在公元前5世紀，危機來源于：當時認為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比。其實質(zhì)是：是無理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴充，需要添加無理數(shù)。編輯課件當時古希臘的歐多克索斯局部地解決了這一危機。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“兩個量之比〞的新說法，回避了是無理數(shù)的實質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的根底牢靠了，幾何從全部數(shù)學中脫穎而出。歐幾里得的?幾何原本?中也采用了這一說法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴密數(shù)學的根底。但是徹底解決這一危機是在19世紀，依賴實數(shù)理論的建立。編輯課件二、第二次數(shù)學危機第二次數(shù)學危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀。第一次數(shù)學危機是由畢達哥拉斯學派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學危機那么是由牛頓學派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量〞說法的質(zhì)疑引起的。編輯課件1．危機的引發(fā)1〕牛頓的“無窮小〞牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來看一個例子。微積分的一個來源，是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。編輯課件例如，設(shè)自由落體在時間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時速度，先求?！唷?〕編輯課件

當變成無窮小時，右端的也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是，這就是物體在時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴格，遭到責難。編輯課件2〕貝克萊的發(fā)難英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問道：“無窮小〞作為一個量，究竟是不是0？編輯課件

如果是0，上式左端當成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。在推出上式時，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時速度呢？因此，牛頓的這一套運算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒唐?！?〕編輯課件貝克萊的質(zhì)問是擊中要害的數(shù)學家在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“〞語言，才徹底地反駁了貝克萊的責難。編輯課件3〕實踐是檢驗真理的唯一標準應(yīng)當成認，貝克萊的責難是有道理的?！盁o窮小〞的方法在概念上和邏輯上都缺乏根底。牛頓和當時的其它數(shù)學家并不能在邏輯上嚴格說清“無窮小〞的方法。數(shù)學家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責。這說明，在大多數(shù)人的腦海里，“實踐是檢驗真理的唯一標準。〞編輯課件

2．危機的實質(zhì)第一次數(shù)學危機的實質(zhì)是“不是有理數(shù)，而是無理數(shù)〞。那么第二次數(shù)學危機的實質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚，極限的理論根底不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯根底。編輯課件3．危機的解決1〕必要性微積分雖然在開展，但微積分邏輯根底上存在的問題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學家的一塊心病。編輯課件而且，隨著時間的推移，研究范圍的擴大，類似的悖論日益增多。數(shù)學家在研究無窮級數(shù)的時候，做出許多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的結(jié)論。由于沒有嚴格的極限理論作為根底。數(shù)學家們在有限與無限之間任意通行〔不考慮無窮級數(shù)收斂的問題〕。

編輯課件因此，進入19世紀時，一方面微積分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面，大量的數(shù)學理論沒有正確、牢固的邏輯根底，因此不能保證數(shù)學結(jié)論是正確無誤的。歷史要求為微積分學說奠基。編輯課件2〕嚴格的極限理論的建立到19世紀，一批杰出數(shù)學家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限理論，并把它作為微積分的根底。應(yīng)該指出，嚴格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。編輯課件①在18世紀時，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀初，捷克數(shù)學家波爾查諾開始將嚴格的論證引入數(shù)學分析，他寫的?無窮的悖論?一書中包含許多真知灼見。編輯課件④而做出決定性工作、可稱為分析學的奠基人的是法國數(shù)學家柯西〔A.L.Cauchy,1789—1857〕。他在1821—1823年間出版的?分析教程?和?無窮小計算講義?是數(shù)學史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。編輯課件3〕嚴格的實數(shù)理論的建立①對以往理論的再認識后來的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認識到，極限理論的進一步嚴格化，需要實數(shù)理論的嚴格化。微積分或者說數(shù)學分析，是在實數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，說明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。編輯課件一件事是，1874年德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯〔K.T.W.Weirstrass，1815—1897〕構(gòu)造了一個“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)〞。“連續(xù)函數(shù)〞在直觀上是“函數(shù)曲線沒有間斷，連在一起〞，而“函數(shù)在一點可導(dǎo)〞直觀上是“函數(shù)曲線在該點有切線〞。所以，在直觀上“連續(xù)〞與“可導(dǎo)〞有密切的聯(lián)系。這之前甚至有人還證明過：函數(shù)在連續(xù)點上都可導(dǎo)〔當然是錯誤的〕。因此根本不可想象，還會有“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)〞。編輯課件另一件事是德國數(shù)學家黎曼〔B.Riemann，1826—1866〕發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。黎曼還造出一個函數(shù)，當自變量取無理數(shù)時它是連續(xù)的，當自變量取有理數(shù)時它是不連續(xù)的。編輯課件②“貝克萊悖論〞的消除回到牛頓的〔*〕式上：〔*〕這是在〔即〕條件下，得到的等式；它說明時間內(nèi)物體的平均速度為?！?〕式等號兩邊都是的函數(shù)。然后，我們把物體在時刻的瞬時速度定義為：上述平均速度當趨于0時的極限，即物體在時刻的瞬時速度=。編輯課件總之，第二次數(shù)學危機的核心是微積分的根底不穩(wěn)固?？挛鞯姆瞰I在于，將微積分建立在極限論的根底。魏爾斯特拉斯的奉獻在于，邏輯地構(gòu)造了實數(shù)系，建立了嚴格的實數(shù)理論，使之成為極限理論的根底。所以，建立數(shù)學分析〔或者說微積分〕根底的“邏輯順序〞是：實數(shù)理論—極限理論—微積分。而“歷史順序〞那么正好相反。編輯課件知識的邏輯順序與歷史順序

有時是不同的.編輯課件三、第三次數(shù)學危機1．“數(shù)學根底〞的曙光——集合論到19世紀，數(shù)學從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論〔和極限理論〕的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的根底；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯根底更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數(shù)學的根底在哪里？正在這時，19世紀末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學的根底。編輯課件其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分數(shù)等為對象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。同時，用集合論的語言，算術(shù)的對象可說成是“以整數(shù)、分數(shù)等組成的集合〞；微積分的對象可說成是“以函數(shù)等組成的集合〞；幾何的對象可說成是“以點、線、面等組成的集合〞。這樣一來，都是以集合為對象了。集合成了更根本的概念。編輯課件于是，集合論似乎給數(shù)學家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財[脫“數(shù)學根底〞的危機。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認為這只是時間問題。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數(shù)學家大會上宣稱：“現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴格性已經(jīng)到達了！〞編輯課件3．羅素的“集合論悖論〞引發(fā)危機1〕悖論引起震憾和危機正當弗雷格即將出版他的?算術(shù)基礎(chǔ)?一書的時候，羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布“完全嚴格的數(shù)學已經(jīng)建立起來！〞之后剛剛兩年，即1902年。編輯課件集合論中居然有邏輯上的矛盾！傾刻之間，算術(shù)的根底動搖了，整個數(shù)學的根底似乎也動搖了。這一動搖所帶來的震憾是空前的。許多原先為集合論興高采烈的數(shù)學家發(fā)出哀嘆：我們的數(shù)學就是建立在這樣的根底上的嗎？羅素悖論引發(fā)的危機，就稱為第三次數(shù)學危機。編輯課件羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫信告訴弗雷格。弗雷格在他的?算術(shù)根底?一書的末尾無可奈何地寫道：“一個科學家遇到的最不愉快的事莫過于，當他的工作完成時，根底崩塌了。當本書即將印刷時，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的為難境地。〞編輯課件2〕羅素悖論在表達羅素悖論之前,我們先注意到下邊的事實：一個集合或者是它本身的成員(元素),或者不是它本身的成員(元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集合〞，把后者稱為“正常集合〞。編輯課件羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合〞〔所有異常集合的集合〕，而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合〞〔所有正常集合的集合〕，于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問：集合是否是它本身的成員？〔集合是否是異常集合？〕編輯課件羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論〞：某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原那么，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原那么，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。編輯課件4．危機的消除危機出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學家作了巨大的努力來消除悖論。當時消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論根底，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時，盡量把原有理論中有價值的東西保存下來。編輯課件這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理根底之上的，這就留下了解決問題的余地。羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征〔悖論的實質(zhì)〕是“自我指謂〞。即，一個待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。例如，悖論中定義“不屬于自身的集合〞時，涉及到“自身〞這個待定義的對象。編輯課件為了消除悖論，數(shù)學家們要將康托“樸素的集合論〞加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原那么，例如，不允許出現(xiàn)“所有集合的集合〞、“一切屬于自身的集合〞這樣的集合。編輯課件1908年，策梅洛〔E.F.F.Zermelo,1871—1953〕提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。1922年，弗蘭克〔A.A.Fraenkel〕又加進一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進的ZFC-系統(tǒng)。這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論的開展過程，悖論消除了。編輯課件但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼〞。這就是說，第三次數(shù)學危機的解決，并不是完全令人滿意的。編輯課件四、三次數(shù)學危機與“無窮〞的聯(lián)系我們過去就說過，無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別?，F(xiàn)在我們可以總結(jié)說，三次數(shù)學危機都與無窮有關(guān)，也與人們對無窮的認識有關(guān)。編輯課件第一次數(shù)學危機的要害是不認識無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無窮個有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。由于當時尚未真正認識無窮，所以那時對第一次數(shù)學危機的解決并不徹底；第一次數(shù)學危機的徹底解決，是在危機產(chǎn)生二千年后的19世紀，建立了極限理論和實數(shù)理論之后。實際上，它差不多是與第二次數(shù)學危機同時，才被徹底解決的。編輯課件第二次數(shù)學危機的要害，是極限理論的邏輯根底不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮〞的重要手段。貝克萊的責難，也集中在“無窮小量〞上。由于無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別，所以，極限的嚴格定義，極限的存在性，無窮級數(shù)的收斂性，這樣一些理論問題就顯得特別重要。編輯課件第三次數(shù)學危機的要害，是“所有不屬于自身的集合〞這樣界定集合的說法有毛病。而且這里可能涉及到無窮多個集合，人們犯了“自我指謂〞、惡性循環(huán)的錯誤。以上事實告訴我們，由于人們習慣于有窮，習慣于有窮情況下的思維，所以一旦遇到無窮時，要格外地小心；而高等數(shù)學那么是經(jīng)常與無窮打交道的。編輯課件五、著名悖論欣賞1.無窮級數(shù)的力量令x=1+2+4+8+16+…

那么有：

2x=2+4+8+16+…

于是：

2x-x=x=(2+4+8+16+…)-(1+2+4+8+16+…)=-1

也就是說：

1+2+4+8+16+…=-1

編輯課件2.復(fù)數(shù)才是王道

考慮方程

x^2+x+1=0

移項有

x^2=-x-1

等式兩邊同時除以x，有

x=-1-1/x

把上式代入原式中，有

x^2+(-1-1/x)+1=0

即

x^2-1/x=0

即

x^3=1

也就是說x=1。

把x=1代回原式，得到1^2+1+1=0。也就是說，3=0，嘿嘿！

編輯課件其實，x=1并不是方程x^2+x+1=0的解。在實數(shù)范圍內(nèi)，方程x^2+x+1=0是沒有解的，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個解。

另一方面，x=1只是x^3=1的其中一個解。x^3=1其實一共有三個解，只不過另外兩個解是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的。考慮方程x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0，容易看出x^3=1的兩個復(fù)數(shù)解正好就是x^2+x+1的兩個解。因此，x^2+x+1=0與x^3=1同時成立并無矛盾。

注意，一旦引入復(fù)數(shù)后，這個謬論才有了一個完整而漂亮的解釋?；蛟S這也說明了引入復(fù)數(shù)概念的必要性吧。

編輯課件3.頗具喜劇色彩的錯誤

1+2+3+…+n=n(n+1)/2

讓我們用n-1去替換n，可得

1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n/2

等式兩邊同時加1，得：

1+2+3+…+n=(n-1)n/2+1

也就是

n(n+1)/2=(n-1)n/2+1

展開后有

n^2/2+n/2=n^2/2-n/2+1

可以看到n=1是這個方程的唯一解。

也就是說??1+2+3+…+n=n(n+1)/2僅在n=1時才成立！

編輯課件這個推理過程中出現(xiàn)了一個非常隱蔽而搞笑的錯誤。等式兩邊同時加1后，等式左邊得到的應(yīng)該是

1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+1

編輯課件1塊錢等于1分錢？

我要用數(shù)學的力量掏空你的錢包！請看：

1元=100分=(10分)^2=(0.1元)^2=0.01元=1分

編輯課件用這個來騙小孩子們簡直是屢試不爽，因為小學〔甚至中學〕教育無視了一個很重要的思想：單位也是要參與運算的。事實上，“100分=(10分)^2〞是不成立的，“10分〞的平方應(yīng)該是“100平方分〞，正如“10米〞的平方是“100平方米〞一樣。編輯課件5.一個可怕的邏輯錯誤

下面這個勾股定理的“證明〞曾經(jīng)發(fā)表在1896年的TheAmericanMathematicalMonthly雜志上：

假設(shè)勾股定理是正確的，于是我們可以得到

AB^2=AC^2+BC^2

BC^2=CD^2+BD^2

AC^2=AD^2+CD^2

把后兩式代入第一個式子，有

編輯課件AB^2=AD^2+2·CD^2+BD^2

但CD^2=AD·BD，因此

AB^2=AD^2+2·AD·BD+BD^2

即

AB^2=(AD+BD)^2

即

AB=AD+BD

而這顯然成立。因此，我們的假設(shè)也是成立的。

編輯課件這個證明是錯誤的。假設(shè)結(jié)論正確，推出一個矛盾，確實能說明這個假設(shè)是錯誤的〔這就是反證法〕；但假設(shè)結(jié)論正確，推出它與條件吻合，這卻并不能說明假設(shè)真的就是正確的。錯誤的假設(shè)也有可能推出正確的結(jié)果來。最經(jīng)典的例子就是，不妨假設(shè)1