2023-2024學年高中數(shù)學人教A版2019課后習題6-2-3　向量的數(shù)乘運算

第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)下面四種說法,其中正確的是()A.對于實數(shù)m和向量a,b,恒有m(ab)=mambB.對于實數(shù)m,n和向量a,恒有(mn)a=manaC.對于實數(shù)m和向量a,b,若ma=mb,則a=bD.對于實數(shù)m,n和向量a,若ma=na,則m=n答案AB解析由向量數(shù)乘的運算律,得A,B均正確.對于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,錯誤.對于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,錯誤.2.已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=3a+b,則()A.A,B,D三點共線 B.A,B,C三點共線C.A,C,D三點共線 D.B,C,D三點共線答案A解析∵向量BD=BC+CD=2a+4b,AB=a∴BD=2AB,即A,B,D三點共線.3.已知在△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),則點P的軌跡經(jīng)過△ABC的A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心答案D解析設(shè)D為BC中點,則AB+AC=2∴AP=2λAD,即點P在中線AD所在直線上,可知點P軌跡必過△ABC的重心.4.若AB=5e,CD=7e,且|AD|=|BC|,則四邊形ABCD的形狀是.

答案等腰梯形解析由已知得AB=57CD,因此AB∥CD,且|AB|≠|(zhì)CD|,所以四邊形ABCD是梯形.又因為|AD|=|BC|,5.已知a與b是兩個不共線的向量,且向量(a+λb)與(b3a)共線,則λ的值為.

答案1解析由向量共線可得a+λb=k(b3a),即a+λb=kb3ka,∴(1+3k)a=(kλ)b.∵a,b不共線,∴1+3k=0,k-6.如圖,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,AE=23AD,AB=a,AC=b(1)用a,b分別表示向量AE,(2)求證:B,E,F三點共線.(1)解∵AD=12(AB+∴AE=23AD∵AF=12AC=12b,(2)證明由(1)知BF=a+12b,BE=BA+AE=a+13(a+b)=23∴BE=∴BE與BF又BE,BF有公共點B,∴B,E,F三點共線.7.(1)已知a=3i+2j,b=2ij,求13a-ba23b+(2(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3xy=b,求x,y.解(1)原式=13aba+23b+2ba=13-1-1a+∵a=3i+2j,b=2ij,∴原式=53(3i+2j)+53(2ij)=-5+103i+-103(2)將3xy=b兩邊同乘2,得6x2y=2b.與5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=111a+211∴y=3xb=3111a+211b關(guān)鍵能力提升練8.已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內(nèi)一點P滿足PA+PB+PC=0,若實數(shù)λ滿足AB+AC=λAP,A.2 B.32 C.3 D.答案C解析AB+AC=又PA+PB+PC=0,即∴AB+AC=3PA=λAP=λ∴λ=3.9.(2020遼寧營口期末)已知D為△ABC所在平面內(nèi)一點,3DC=CB,則AD=(A.13AB+C.43AB-答案A解析因為D為△ABC所在平面內(nèi)一點,3DC=CB,所以AD=AC+CD=10.(2021福建福州期中)如圖,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,動點P在線段BC上運動(包含點C,不包含點B),且AP=mAB+nAD(m,n∈R),則1m+2nA.3 B.3+22C.4 D.4+22答案C解析因為點P在線段BC上運動(包含點C,不包含點B),則BP=λBC(0<λ≤1),則AP=AB+BP=AB+λBC=AB+λ(BA+AD+DC)=AB+λAB+AD+12AB=112則1m+2n=11-12λ+2λ=22-λ+2當且僅當2-λλ=λ2-故1m+2n的最小值為411.(多選題)生于瑞士的數(shù)學巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.”這就是著名的歐拉線定理.在△ABC中,O,H,G分別是外心、垂心和重心,D為BC邊的中點,下列四個選項正確的是()A.GH=2OG B.GA+GBC.AH=2OD D.S△ABG=S△BCG=S△ACG答案ABCD解析在△ABC中,O,H,G分別是外心、垂心和重心,畫出圖形,如圖所示.對于B,根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得GA+GB+GC=0,對于A,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴GHOG=AHOD=AGDG=2,∴GH=2OG,AH=對于D,過點G作GE⊥BC,垂足為E,∴△DEG∽△DNA,則GEAN=DGDA=13,∴△BGC的面積為S△BGC=12×BC×GE=12×BC同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,選項D正確12.在平行四邊形ABCD中,DE=12EC,BF=FC,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,答案7解析由平面向量的加法運算,有AC=因為AC=λAE+μAF=λ(AD+DE)+μ(AB+BF)==λ3所以AB+即1λ3μAB=λ+μ21AD.∵AB,AD∴λ3+μ=1,λ+μ213.已知M是△ABC所在平面內(nèi)的一點,若滿足6AM-AB2AC=0,且S△ABC=λS△ABM,則實數(shù)λ的值是答案3解析記2AM=∵AN-AB+2AN2AC=∴BN=2NC,S△ABC=32S△ABN又S△ABM=12S△ABN∴S△ABC=3S△ABM,從而有λ=3.14.已知在△OBC中,A是線段BC的中點,D是線段OB的一個三等分點(靠近點B),設(shè)AB=a,AO=b.(1)用向量a與b表示向量OC;(2)若OE=35OA,判斷C,D,E解(1)∵AB=a,AO=b,點A是BC的中點,∴AC=a.∴OC=OA+AC(2)C,D,E不共線.理由如下,假設(shè)存在實數(shù)λ,使CE=λCD.∵CE=CO+OE=a+b+35(b)=CD==2a+13(a+b)=53a+1∴a+