專題40 三等角相似問題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題40三等角相似問題【規(guī)律總結(jié)】如圖所示,在△ABC中,,且,則△ABD∽△DCE.像這種類型的相似三角形稱為一線三等角型.【典例分析】例1．（2020·四川遂寧市·射洪中學(xué)九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置邊長分別為3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性質(zhì)把它們的直角邊用含x的表達(dá)式表示出來，列方程，解方程即可得到x的值．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個(gè)正方形，由正方形可得：同理：∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）：4=3：（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合題意，舍去）或x=7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找到相似三角形，用x的表達(dá)式表示出對應(yīng)邊．例2．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如圖，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長是______．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明得到，即可求出答案.【詳解】解：四邊形是正方形，，，OA=OB=OC=OD，∵,∴，，，，即，，，，，解得故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中熟練掌握并運(yùn)用各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.例3．（2019·浙江杭州市·九年級期中）已知正方形的邊長為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊、的延長線交于點(diǎn)E、F，連接．設(shè)．（1）如圖1，當(dāng)被對角線平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，的面積是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；（3）的面積不變，證明見解析【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可得，由被對角線平分可得，從而可證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角度關(guān)系可得，即可得到a、b的值；（2）由題意可知，分兩種情況計(jì)算，①當(dāng)時(shí)，首先根據(jù)題意得到是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理得到,根據(jù)已知條件可得∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，兩式聯(lián)立解方程組即可；②當(dāng)時(shí)，方法和上面的方法一致，即可解答；（3）先利用平行線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得到,再利用三角形的內(nèi)角和得到,從而求出，而，得到∽，然后再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求出的值，進(jìn)而可知的面積是否變化．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，∵是正方形的對角線，∴，∴,∵被對角線平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，，∴，∵,∴，∵，,∴，∵，∴,∴，即；（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴①∵，,∴，∴∽，∴，∴，∴②，聯(lián)立①②得，，，∴，；②當(dāng)時(shí)，同①的方法得，，，∴，；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∽∴，∴，∴，∵，∴，∴的面積不變．【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷∽，也是本題的難點(diǎn)．【好題演練】一、單選題1．（2020·石家莊外國語教育集團(tuán)九年級開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，是的中點(diǎn)，連接，，是邊上一動點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線將矩形折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根據(jù)勾股定理得到AE=，設(shè)PD′=PD=x，則AP=6-x，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD′P=90°時(shí)，②當(dāng)∠APD′=90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解之即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，

∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE=3，

∴AE=，

∵沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，

∴PD′=PD，

設(shè)PD′=PD=x，則AP=6-x，

當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，

①當(dāng)∠AD′P=90°時(shí)，

∴∠AD′P=∠B=90°，

∵AD∥BC，

∴∠PAD′=∠AEB，

∴△ABE∽△PD′A，

∴，

∴，

∴x=，

∴PD=；

②當(dāng)∠APD′=90°時(shí)，

∴∠APD′=∠B=90°，

∵∠PAE=∠AEB，

∴△APD′∽△EBA，

∴，

∴，

∴x=，

∴PD=，

綜上所述，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，PD=或，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇蘇州市·八年級期末）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動點(diǎn)，連接并延長交圖象的另一支于點(diǎn)，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)始終在函數(shù)的圖象上運(yùn)動，若，則的值為（）A．－6 B．－12 C．－18 D．－24【答案】B【分析】連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，通過角的計(jì)算找出∠AOE＝∠COF，結(jié)合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再由，得出，可得出CF?OF的值，進(jìn)而得到k的值．【詳解】如圖，連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，∵由直線AB與反比例函數(shù)的對稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對稱，∴AO＝BO，又∵AC＝BC，∴CO⊥AB，∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴，∵，∴，∴CF＝2AE，OF＝2OE，又∵AE?OE＝3，∴CF?OF＝|k|＝4×3＝12，∴k＝±12，∵點(diǎn)C在第二象限，∴k＝?12，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?OF＝12．解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出結(jié)論．二、填空題3．（2020·福建省南安市僑光中學(xué)九年級月考）如圖，是直角三角形，，，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上．若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為______【答案】?8【分析】求函數(shù)的解析式只要求出B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以，過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系數(shù)法即可．【詳解】過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m，n），則AC＝n，OC＝m，

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOC＋∠BOD＝90°，

∵∠DBO＋∠BOD＝90°，

∴∠DBO＝∠AOC，

∵∠BDO＝∠ACO＝90°，

∴△BDO∽△OCA，

∴，

∵OB＝2OA，

∴BD＝2m，OD＝2n，

因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則mn＝2，

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（?2n，2m），

∴k＝?2n?2m＝?4mn＝?8．

故答案為：?8．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，求出圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式．4．（2020·浙江金華市·九年級其他模擬）圖2、圖3是起重機(jī)平移物體示意圖．在固定機(jī)架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM＝．吊桿BCE由伸縮桿BC與6m長的直桿CE組成，在機(jī)架BAM與直桿CE間有一根9m長的支撐桿AD，且CD＝2m．假設(shè)起重機(jī)吊起物體準(zhǔn)備平移時(shí)，點(diǎn)E、C、B恰好在同一水平線上（圖2），在物體平移過程中始終保持EB∥AM（AM處在水平位置）．（1）如圖2，當(dāng)準(zhǔn)備平移物體時(shí)，伸縮桿BC＝_____m．（2）在物體沿EB方向平移過程中，當(dāng)∠ADE＝60°時(shí)，物體被平移的距離為_____m．【答案】（+1）；（+4﹣3）．【分析】（1）過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，解Rt△ABG求得BG，由勾股定理求得GD，進(jìn)而根據(jù)線段和差求得BC；（2）連接BE，過A作AF⊥BE于F，過E作EG⊥AD于G，如圖2，解直角三角形求得EG，再證明△AFH∽△EGH，求得AH：EH，進(jìn)而由AD＝9列出方程求得AH，EH，GH，F(xiàn)H，進(jìn)而便可求得平移的距離．【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，如圖1，在Rt△ABG，∠ABG＝∠BAM，AB＝5，∴，設(shè)AG＝4xm，則BG＝3xm，∴，∴5x＝5，∴x＝1，∴AG＝4m，BG＝3m，∴GD＝＝（m），∴BC＝BG+GD﹣CD＝3+﹣2＝+1（m），故答案為：（+1）；（2）連接BE，過A作AF⊥BE于F，過E作EG⊥AD于G，如圖2，∵BE∥AM，∴∠ABF＝∠BAM，∴tan∠ABF＝tan∠BAM＝，設(shè)AF＝4xm，則BF＝3xm，∴AB＝5x＝5，∴x＝1，∴AF＝4m，BF＝3m，在Rt△DEG中，DE＝4m，∠EDG＝60°，∴DG＝＝2m，EG＝m，∴AG＝AD﹣DG＝9﹣2＝7m，∵∠AFH＝∠EGH＝90°，∠AHF＝∠EHG，∴△AFH∽△EGH，∴，即，設(shè)AH＝2y，則EH＝y(tǒng)，∴HG＝，∴AG＝AH+GH＝2y+＝7，解得，y＝14﹣3，或y＝14+3＞7（舍），∴EH＝y(tǒng)＝14﹣9（m），AH＝2y＝28﹣6（m），∴GH＝AG﹣AH＝6﹣21，∵△AFH∽△EGH，∴，∴FH＝GH＝12﹣14，∴BE＝BF+FH+EH＝3+12﹣1414＝3+3，∴物體平移的距離為：（）﹣（3+3）＝+4﹣3．故答案為：（+4﹣3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．三、解答題5．（2020·山東濟(jì)南市·九年級月考）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）在下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交與點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，線段的長度最大？最大是多少？（3）在對稱軸上有一點(diǎn)，在拋物線上有一點(diǎn)，若使，，，為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出，點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）在軸上是否存在一點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2），；（3），，或，或，；（4）存在；，，，．【分析】（1）求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入求出b，c的值即可；（2）求出再求出最大值即可；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分三種情況求解即可；（4）分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）∵∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）把點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，解得，所以，此函數(shù)關(guān)系式為：（2）如圖，設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為：，將，代入，得，解得，，∴直線AC的解析式為∵點(diǎn)N在直線AC下方的拋物線上，軸∴為了使MN最大，就要使取最大值，∴取最小值∵∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值，最大值為，將代入中，得y=，∴N的坐標(biāo)為（3）拋物線對稱軸為令y=0得，，解得，，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）①當(dāng)AB和KL是平行四邊形的對角線時(shí)，點(diǎn)和都在對稱軸上時(shí)，∴，②當(dāng)AB和KL是平行四邊形的兩條對邊，且KL在y軸右側(cè)時(shí)，∵∴∴的橫坐標(biāo)為3，∴，③當(dāng)AB和KL是平行四邊形的兩條對邊，且KL在y軸左側(cè)時(shí)，∵∴的橫坐標(biāo)為-5∴，綜上所述，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或，或，；（4）如圖，設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為將，代入得，解得∴①當(dāng)，A為垂足時(shí)，∵,∴∴∴∵AO=3，AP=2，PD=4∴∴∴②當(dāng)，D為垂足時(shí)，同理可證∴，即,∴∴∴③當(dāng)AE⊥DE,E為垂足時(shí)，設(shè)OE=x，則QE=4-x∴，，∴解得：，∴，∴，．綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、勾股定理運(yùn)用等，其中（3），（4）要主要分類求解，避免遺漏．6．（2020·渠縣第三中學(xué)九年級月考）如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時(shí)，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2），，（3），，（4），，【分析】（1）利用三垂直模型或K字型相似.（2）首先由勾股定理求得線段的長，然后利用求得線段、的長，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分時(shí)和時(shí)，利用，根據(jù)相似比表示出點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用面積為6求得值即可；（4）分、、、，根據(jù)和兩種情況得到比例式即可求得值．【詳解】解：（1）證明：由題意得：∠MAB=90°∴∠CAO+∠BAE=90°又∵∠CAO+∠ACO=90°∴∠BAE=∠ACO又∵∠COA=∠AEB=90°∴△AOC∽△BEA（2）的坐標(biāo)為，或，由勾股定理得：，且相似比為，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，，故