重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年（上）期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測高二數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．下列直線中，傾斜角最大的是（

）A． B．C． D．3．已知圓的圓心為，且圓與軸的交點分別為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．4．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則直線CQ與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．已知直線：和圓：交于A，B兩點，則弦AB所對的圓心角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起游于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時的中國，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支.如圖，現(xiàn)有一半徑為4的圓紙片(A為圓心，B為圓內(nèi)的一定點)，且，如圖將圓折起一角，使圓周正好過點B，把紙片展開，并留下一條折痕，折痕上到A，B兩點距離之和最小的點為P，如此往復(fù)，就能得到越來越多的折痕，設(shè)P點的軌跡為曲線C.在C上任取一點M，則△MAB面積的最大值是（

）A．2 B．3 C． D．7．已知橢圓的方程為，上頂點為，左頂點為，設(shè)為橢圓上一點，則面積的最大值為.若已知，點為橢圓上任意一點，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．8．設(shè)雙曲線的左、右焦點為，漸近線方程為，過直線交雙曲線左支于兩點，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．14 D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。9．已知點,在z軸上求一點B，使|AB|＝7，則點B的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．10．下列四個命題中真命題有（

）A．直線在軸上的截距為B．經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示C．直線必過定點D．已知直線與直線平行，則平行線間的距離是11．設(shè)．若，則（

）A． B．C． D．12．已知雙曲線C:（，），過左焦點作一條漸近線的垂線，垂足為P，過右焦點作一條直線交C的右支于A，B兩點，的內(nèi)切圓與相切于點Q，則（

）A．線段AB的最小值為B．的內(nèi)切圓與直線AB相切于點C．當(dāng)時，C的離心率為2D．當(dāng)點關(guān)于點P的對稱點在另一條漸近線上時，C的漸近線方程為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線方程為，則該直線的傾斜角為.14．橢圓上有且僅有4個不同的點滿足，其中，則橢圓C的離心率的取值范圍為．15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga，約公元前262~190年）發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點A，B，則滿足的動點M的軌跡是一個圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知，動點M滿足，則面積的最大值為.16．如圖拋物線的頂點為A，焦點為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為B，焦點也為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于P、Q兩點，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過F的直線與封閉曲線APBQ交于C、D兩點，則下列說法正確的是①；②四邊形MNST的面積為；③；④的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，為直角，AB∥CD，，，，請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo)．18．圓截直線所得的弦長為，求的值19．已知拋物線的焦點為是拋物線上一點且三角形MOF的面積為（其中O為坐標(biāo)原點），不過點M的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過點M，過點M作交PQ于點N.（1）求拋物線C的方程；（2）求證直線PQ恒過定點，并求出點N的軌跡方程.20．如圖，在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，M為的中點．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點D到平面的距離．21．圖1是由正三角形和正方形組成的一個平面圖形，將其沿折起使得平面底面，連結(jié)、，如圖2．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．22．已知中心在坐標(biāo)原點，一個焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為.(1)求此橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點，且以為對角線的菱形的一個頂點為，求面積的最大值及此時直線的方程.2023-2024學(xué)年（上）期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測高二數(shù)學(xué)答案（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）1．D 2．B 3．B 4．B 5．C 6．D7．D【分析】當(dāng)面積的最大值時，直線與橢圓相切，設(shè)與直線平行的橢圓的切線方程為，與橢圓聯(lián)立得到，由面積的最大值為，求得，，由均值不等式即得解.8．A【分析】根據(jù)漸近線方程求得，利用雙曲線的定義，通過求的最小值來求得的最小值.9．AC 10．CD11．BCD【分析】根據(jù)方程表示的曲線或函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項。12．BD【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理及弦長公式可判斷A，根據(jù)雙曲線的定義和內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B，由題可得進而可判斷C，根據(jù)條件可得漸近線與x軸的夾角為可判斷D.13．//45°14．15．1316．①②③④17．【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，．18．【詳解】因此圓心到直線距離為因為圓截直線所得的弦長為，所以19．（1）由題意得，故，解得，故拋物線C的方程為.（2）易得，由題意可設(shè)直線PQ的方程為，，由，消去x，得，故，因為，所以，即，整理得，即，∴，所以，所以或，當(dāng)，即時，直線PQ的方程為，此時直線過點，不合題意舍去；當(dāng)，即時，直線PQ的方程為，此時直線PQ恒過定點.設(shè)，則由，即，得，即點N的軌跡方程為.20．【詳解】（1）以點D為原點，分別以直線為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得，即,∴.（2）設(shè)為平面的法向量，則即取得,.（3）設(shè)點到平面的距離為,由(2)可知為平面的一個法向量，即點到平面的距離為.21．【詳解】（1）由題可知：在正方形中，有又平而平面，平而平面平面，所以平面又平面，所以（2）根據(jù)（1）可知：過點作軸垂直平面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，所以所以設(shè)平面的一個法向量為所以，令，所以所以平面的一個法向量為所以二面角的余弦值為22．【詳解】（1）設(shè)所求橢圓方程為，由題意知，①設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，弦的中點為，由，兩式相減得：，兩邊同除以，得，即.

因為橢