數(shù)學線代線性代數(shù)課件

3.5矩陣的秩1)矩陣的行秩與列秩本節(jié)中將通過向量組的秩進一步研究矩陣的秩,論矩陣的秩與向量組的秩之間的關系.并討設A為矩陣,量組成.矩陣A的行向量組由m個n維行向矩陣A的列向量組由n個m維列向量組成.

矩陣A的行向量組的秩矩陣A的列向量組的秩矩陣A的秩?定義3.28矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩,矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.例3.33求矩陣A的行秩與列秩,其中解A的行向量組為由于線性無關,所以向量組的秩為2,即矩陣A的行秩為2.A的列向量組為顯然線性無關,從而向量組的秩為2,即矩陣A的列秩為2.該例說明矩陣A的行秩和列秩相等.求矩陣A的行秩,其中解例3.34矩陣A是行簡化階梯陣,r(A)=3.選取非零行及非零行首元所在列的元素所構成的向量組則該向量組線性無關,向量相應位置上,添加三個分量,在每一個可得向量組(I):則向量組(I)仍線性無關,而矩陣A的最后一行是零向量.所以矩陣A的行秩為3,等于矩陣A的秩r(A).簡化階梯陣A的行秩矩陣A的秩?定理3.17行簡化階梯陣A的行秩等于矩陣的秩r(A).證明(略).定理3.18矩陣A的行秩等于矩陣的秩r(A).設矩陣A經(jīng)初等行變換變?yōu)樾泻喕A梯陣B,證明則r(A)=r(B).由于A的行向量組與B的行向量組等價,所以A的行秩等于B的行秩.又行簡化階梯陣B的秩等于矩陣B的行秩.所以A的行秩等于A的秩r(A).推論矩陣A的列秩等于矩陣A的行秩,等于矩陣A的秩.證明矩陣A的列秩=矩陣AT的行秩=矩陣AT的秩=矩陣A的秩.于是可以通過矩陣的秩求向量組的秩.求向量組秩的方法:B(行階梯陣).B的非零行行數(shù)就是向量組的秩.結(jié)論設A為矩陣,則證明由推論得例3.35求下列向量組的秩.解對矩陣初等行變換行階梯陣

的秩為3.故從而定理3.19矩陣A經(jīng)初等行變換化為矩陣B,則矩陣A列向量組與矩陣B列向量組對應的向量有相同的線證明設矩陣A經(jīng)初等行變換化為矩陣B,則存在可逆矩陣P,使得PA=B.設則即性關系.首先證明:若線性無關,則對應的線性無關.設有左乘P,即因線性無關,所以即線性無關.再證明:若線性表示,則對應的線性表示.設有左乘P-1,可由可由即線性表示,可由且表示的系數(shù)相同.即求向量組中向量之間的線性關系方法:B(行簡化階梯陣).從行簡化階梯陣中可以確定向量組的極大無關組和秩,并可將其余向量用極大線性無關組線性表示.行簡化階梯陣的非零行的第一個非零元對應的列向量選為極大線性無關組.注:例3.36設向量組為求向量組的一個極大線性無關組和秩,用這個極大線性無關組線性表示.并將其余向量解對矩陣初等行變換B(行簡化階梯陣)

由于是向量組的極大線性根據(jù)定理3.19知,向量組的秩為3,是其一個極大線性無關組,且有無關組,且有求矩陣列向量組的秩求矩陣列向量組極大線性無關組(1)初等行變換(2)初等列變換初等行變換注:例3.37已知向量組(1)p為何值時,線性無關,此時將線性表示.用(2)p為何值時,線性相關,此時求出向量組的秩和極大線性無關組.解設行變換B(行階梯陣)A行變換C(行簡化階梯陣)行變換于是矩陣A與B對應的列具有相同的線性關系,當p≠2時,向量組的秩為4,線性無關,當p=2時,向量組線性相關,且是其極大線性無關組.所以(1)當p≠2時,線性無關,行變換行變換p≠2于是(2)當p=2時,行變換線性相關,其秩為其極大無關組為3,注意:行變換BAA與B對應的列向量組具有相同的線性關系;(1)(2)A的行向量組與B的行向量組等價.列變換BAA與B對應的行向量組具有相同的線性關系;(1)(2)A的列向量組與B的列向量組等價.重點定理3.20

(行)向量組線性無關．n階矩陣A可逆的充分必要條件是其列n階矩陣A可逆證明矩陣A的秩r(A)=n,矩陣A的的列(行)向量組的秩等于n,定理1.16定理3.18推論矩陣A的列(行)向量組線性無關.推論設均為n維列向量,則向量組線性無關的充要條件是|A|≠0.證明線性無關n階矩陣可逆定理2.5例3.38

為3維列向量,已知線性無關,且求|A|.由于解從而因為線性無關,所以從而設A為3階矩陣,定義3.29

例3.39在m×n矩陣A中，任取k行與k列位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.2)矩陣的子式矩陣A的2,3列必線性無關.定理3.21矩陣的秩與子式的關系:設A=(aij)為矩陣,則r(A)=r的充要條件是A中有一個r階子式不為零,所有r+1階子式均為零.證明必要性由于r(A)=r,矩陣A的行秩為r,有r個行線性無關,不妨設前r行線性無關.令矩陣A的k階子式共有則矩陣B的列秩為r,矩陣B有r個列線性無關.不妨設矩陣B的前r列線性無關.令則矩陣C的秩為r,于是即矩陣A有r階非零子式.若矩陣A有一個r+1階子式非零,在列線性無關,則這r+1階子式所這與列向量組的秩為r相矛盾.故矩陣A的所有r+1階子式均為零.充分性設A中有一個r階子式不為零,不妨設左上角的r階子式非零,則矩陣A的前r列線性無關.對于矩陣A的任一列向量若不能由線性表示,則線性無關.矩陣的列秩為r+1.

由必要性的證明知:矩陣D有r+1階非零子式,于是A有一個r+1階非零子式.與假設矛盾.能由線性表示.所以于是是A的列向量組的極大線性無關組.所以r(A)=r.若矩陣所有的r+1階子式均為零,

則由行列式的展開矩陣的所有r+2階子式均為零,

定理知:若存在的話也均為零.更高階子式矩陣的秩是矩陣最高階非零子式的階數(shù).所以結(jié)論:1)若Dr是矩陣A的一個最高階非零子式,則r是列(行)向量組的秩.2)

Dr所在的r列是列向量組的一個極大無關組;3)

Dr所在的r行是行向量組的一個極大無關組.例3.40證明則又有可知：設矩陣C和A用其列向量表示為矩陣C的列向量組能由A的列向量組線性表示,由設例3.41設均為非零列向量,矩陣求矩陣A的秩.解由于均為非零列向量,所