初中數(shù)學幾何輔助線秘籍3

第三章弦圖的構(gòu)造及應用

你知道趙爽嗎？你知道弦圖嗎？趙爽帶你走入弦圖的世界.

一、考情分析

勾股定理的證明，從古至今引起無數(shù)人的關(guān)注，其證法到現(xiàn)在已有五百多種，“弦圖”

就是我國三國時期的數(shù)學家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法，隨著課改的深入，

利用弦圖或其衍生圖來解決數(shù)學問題，己成為北京及全國多個省市中考的熱點題型.預計與

弦圖相關(guān)的中考題型有填空題、選擇題、計算題及探究題，對探究題要多加注意；同時在解

題時，要掌握作輔助線構(gòu)造弦圖的方法.

二、名師講堂

知識點睛

1.勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2

—c1.

2.勾股定理的重要證明

（1）證法-----趙爽的“勾股圓方圖”（又稱為趙爽“弦圖”）

以a、b為直角邊（b>a）,以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積

等于工次,.把這四個直角三角形拼成圖所示形狀.

2

D

B

VRtADAH^RtAABE,

.*.ZHDA=ZEAB.

VZADH+ZHAD=90°,

.,.ZEAB+ZHAD=90",AZDAB=90°.

VAB=AD,

四邊形ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.

：EF=FG=GH=HE=b—a,/HEF=90°,

，四邊形EFGH是一個邊長為(b-a)的正方形，它的面積等于(b-a)2.

；.4xgab+(b-a)2=c2,

/.a2+b2=c2.

(2)證法二一一鄒元治的證明方法

以a、b為直角邊，以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于

-ab.把這四個直角三角形拼成圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三

2

點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.

DbGaC

AEbB

VRtAHAE^RtAEBF,

AZAHE=ZBEF.

VZAEH+ZAHE=90°,

.,.ZAEH+ZBEF=90°.

/.ZHEF=180°-90°=90°.

...四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.

VRtAGDH^RtAHAE,

.*.ZHGD=ZEHA.

VZHGD+ZGHD=90°,

?,.ZEHA+ZGHD=90°.

XVZGHE=90°,

AZDHA=90°+90°=180°.

四邊形ABCD是一個邊長為(a+b)的正方形，它的面積等于(a+b)2.

(a+b)~—4x—ah+c~.

.*.a2+b2=c2.

(3)證法三一一陳杰的證明方法

如圖所示，在直角邊長分別為a、b的四個三角形全等，斜邊長為c,圖中有3個正方形邊

長分別為a、b、c,設(shè)整個圖形面積為S.

VAABH^AHEF.

，NBAH=NEHF,

AZBAH+ZAHB=ZEHF+ZAHB=90°,

：.ZAHF=90°.

四邊形AHFI是正方形.

VS=ci~+b~+2x—cib=礦+b~+ctb,

2

S=c2+2'x.—ab=c2+ab,

2

/.a2+b2+ab=c2+ab.

.,.a2+b2=c2.

(4)證法四——1876年美國總統(tǒng)伽菲爾德(Garfield)證明

以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于‘出?,

2

把這兩個直角三角形拼成圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.

C

AbEB

?.?RtAEAD^RtACBE,

AZADE=ZBEC.

VZAED+ZADE=90°,

AZAED+ZBEC=90°,

???NDEC=180°-90°=90°,

1°

???△DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于一。2.

2

又?.?/DAE=90°,ZEBC=90°,

???AD〃BC.

1,

四邊形ABCD是一個直角梯形，它的面積等于萬(。+與2.

—(?+/?)2=2x—ab+—c2.

222

.*.a2+b2=c2.

(5)證法五一一火柴盒拼圖

一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖所示,

火柴盒的一個側(cè)面ABCD倒下到AB'CD'的位置，連接CC'.設(shè)AB=a,BC=b,AC

=c,利用四邊形BCC'D'的面積證明勾股定理：/+。2=02.具體方法如下.

證明：?.?四邊形BCC'D'為直角梯形，

-S梯形BC”=〈(8C+C'0')?8O'="2?

VRtAABC^RtAAB,C',

AZBAC=ZB/AC'.

/.ZCACZ=NCAB'+/B'AC'=NCAB'+ZBAC=90°.

c2+lab

,?S梯形Hec。’=S&ABC+S叢CAC+S4D，AC=-cibH—c“H—cib=

2222

.(a+〃)2~4-2ah

；?-------=-c-------?

22

/.a2+b2=c2.

說明：上面的“火柴盒拼圖法”曾以證明題的形式出現(xiàn)在中考卷中，其驗證過程的實質(zhì)就是

伽菲爾德總統(tǒng)證法.

(6)證法六一一梅文鼎證明

如圖所示，作四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.把

它們拼成一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.延長AC交DF于點P.

：D、E、F在一條直線上，且RtZXGFF絲RtZ\EBD,

；./EGF=NBED,

VZEGF+ZGEF=90°,

.../BED+NGEF=90°,

.,.ZBEG=180°-90°=90°.

又：AB=BE=EG=GA=c,

，四邊形ABEG是一個邊長為c的正方形，

/.ZABC+ZCBE=90°.

VRtAABC^RtAEBD,

，/ABC=NEBD.

.,.ZEBD+ZCBE=90°.

即NCBD=90°.

又,.?NBDE=90°,ZBCP=90°,

BC=BD=a.

...四邊形BDPC是一個邊長為a的正方形.

同理，四邊形HPFG是一個邊長為b的正方形.

設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,則/+人2=S+2x,a8,

2

,1

c~=S+2x—(ib,

2

.,.a2+b2=c2.

勾股定理的證明方法有很多種，我們選取了其中常見的六種，以供讀者參考.

技巧提煉

勾股定理的證明方法是多樣的，而其中的多種方法是具有共性的.

請觀察上面的證明方法，你會發(fā)現(xiàn)：每個圖形中都可以提煉出一個相同的圖形一一三垂直全

等模型，如圖所示.

三垂直全等模型其實是從弦圖中衍生出來的一個模型，當我們解直角三角形或者正方形的試

題時，在很多情況下我們可以考慮構(gòu)造弦圖來解決，有時候是完整的弦圖，有時只需一半弦

圖一一三垂直全等模型.

圖1及圖2是三垂直全等模型經(jīng)過直角三角形位置的變化之后所得到的另外兩個有三垂直和

全等三角形的圖形，僅供做題時參考.

圖1圖2

例題精講

例1

r110000411（1）圖（a）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直

角三角形圍成的.若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長

一倍，得到圖（b）所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是.

（2）如圖（c）所示，直線1上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積是5和11,則b的面

積為.

【思路點撥】（1）題目中出現(xiàn)直角三角形，想到勾股定理的應用，設(shè)CA延長至點D,則在

RtZXBCD中，已知BC,CD,由勾股定理計算BD的長，從而求出風車的外圍長.

（2）題目中出現(xiàn)“三垂直”模型，想到證全等，應用勾股定理，先證AABC會4CED.得

BC=DE,利用勾股定理即可求出b的面積.

例2

[110000421已知，兩個正方形按圖（a）?（c）并列排列，要求剪兩刀（剪的為直線哦）,

使之拼成一個新的正方形.

（1）如圖（a）所示，若正方形邊長分別為1、2,請在圖中畫出剪切線.

（2）如圖（b）所示，若正方形邊長分別為a、b（a>b）,請畫出剪切線并標出各邊的長度.

（3）若要求剪三刀拼成一個正方形，請在圖（c）中畫出剪切線.

（a）（b）（c）

【思路點撥】本題考查圖形剪拼，題目中兩個小正方形面積的和等于拼成的新的正方形的面

積，可求出新正方形的邊長，再由勾股定理可求出截線的長度，即可確定剪切線.

例3

【11000043]如圖所示，已知AD〃BC,4ABE和4CDF是等腰直角三角形，ZEAB=Z

FDC=90°,AD=2,BC=5,求四邊形AEDF的面積.

E

【思路點撥】求不規(guī)則四邊形的面積，通?？紤]割補法，題目中四邊形AEDF由4ADE和

△ADF組成，且有公共邊AD,所以用分割的方法.

①以AD為底邊，分別作出兩個三角形AD邊上的高，②有兩個等腰直角三角形想到構(gòu)造弦

圖（分別過點B,C作AD邊上的高），與已知線段AD,BC建立聯(lián)系，從而通過證明兩組

三角形全等，進而解決問題.

例4

[11000044]如圖所示，在RtAABC中，NACB=90°,BC=a,AC=b,以其各邊為邊

向外作正方形，得到一個凸六邊形DEFGHI.

（1）求這個六邊形的面積.

（2）試判斷線段EF、GH、DI能否構(gòu)成三角形.若能，探求該三角形的面積與AABC面積

的關(guān)系；若不能，請說明理由.

E

【思路點撥】（i）題目中出現(xiàn)正方形和直角三角形，涉及面積問題，可想到構(gòu)造弦圖，分別

過點B,E作FA的延長線的垂線段，進而構(gòu)造正方形ABDE的弦圖，證明四個直角三角形

全等及八個三角形面積相等即可.

（2）題目中判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，可以考慮將分散的線段EF,GH,DI集中，過

F點作FP〃GH交AC于點P,連接EP,IP,構(gòu)造平行四邊形，證明三角形全等即可.

例5

【11000045】情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到AABC和AA'CD,

如圖（a）所示.將AA'C'D的頂點A'與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使

點D、A（A'）、B在同一條直線上，如圖（b）所示，觀察圖（b）可知：與BC相等的線

段是,ZCACZ=°.

問題探究：如圖（c）所示，^ABC中，AGLBC于點G,以A為直角頂點，分別以AB、

AC為直角邊，向AABC外作等腰RtZ\ABE和等腰RlZ\ACF,過點E、F作射線GA的垂

線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【思路點撥】問題探究：題目中出現(xiàn)“半弦圖”（三垂直模型），證明4ABG絲Z\EAP,△

AGC^AFQA,即可得EP=FQ.

變式

[11000046]如圖所示，梯形ABCD"AD〃BC,分別以兩腰AB、CD為邊向兩邊作正

方形ABGE和正方形DCHF.設(shè)線段AD的垂直平分線/交線段EF于點M,EP，/于點P,

FQJJ于點Q.求證：EP=FQ.

【思路點撥】過點N分別作AE,AB,DF,DC的平行線即可轉(zhuǎn)化成【例5】的圖形.

例6

【11000047］如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,/ADC=90°,/是AD的垂直

平分線，交AD于點M,以腰AB為邊作正方形ABFE,EP，/于點P.

求證：2EP+AD=2CD.

【思路點撥】題目要證明2EP+AD=2CD,可以考慮證明EP+，AQ=C。.已知直線I

2

和正方形ABFE,所以作AHLBC于點H,延長EP交AH于點G,構(gòu)造“半弦圖”證明△

ABH^AEAG,由四邊形AHCD和AGPM是矩形得證.

例7

［11000048］已知：如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD/7BC,AB1BC,AD=2,BC

=3,設(shè)NBCD=a,以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE.

(1)當a=45°時，求aEAD的面積；

(2)當a=30°時，求4EAD的面積；

(3)當0°<a<90°,猜想4EAD的面積與a大小有無關(guān)系？

若有關(guān)，寫出4EAD的面積S與a的關(guān)系式；若無關(guān)，請證明結(jié)論.

【思路點撥】(3)題目要求4EAD的面積，已知AD=2,只需求出AD邊上的高即可，所

以分別過點E,C作AD的垂線，構(gòu)造“半弦圖”，再根據(jù)三角形全等和四邊形ABCG是矩

形即可求出AD邊上的高，進而求出面積.

三、牛刀小試

小試1

【11000049］如圖所示，點C為線段AB上一點，正方形ADEF和正方形BCDG的面積分

別為lOcm?和5cm工則AEDG的面積為cm2.

小試2

［11000050］如圖所示，四邊形ABCD是正方形，直線八、枳&分別通過A、B、C三點,

且l\//h//h，若h與b的距離為5,12與h的距離為7,則正方形ABCD的面積為.

小試3

【11000051】我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙

爽弦圖”，圖（a）、圖（b）由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖

中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為吊、S2.S3.若S1+S2+S3

=10,則S2的值是.

小試4

【11000052］如圖所示，在正方形ABCD中，點G為BC上任意一點，連接AG,過B、D

兩點分別作BE_LAG,DF1AG,垂足分別為E、F兩點.

探究線段EF、DF、BE三者之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

小試5

【11000053］已知：如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為A(4,0),

B(0,-4),P為y軸上B點下方一點，PB=m(m>0),以AP為邊作等腰直角三角形

APM,其中PM=PA,點M落在第四象限.

(1)求直線AB的解析式；

(2)用含m的代數(shù)式表示點M的坐標；

(3)若直線MB與x軸交于點Q,判斷點Q的坐標是否隨m的變化而變化？寫出你的結(jié)論,

并說明理由.

小試6

【11000054]如圖所示，RtZX