雙線性變換法

廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院第四章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計4.4雙線性變換法主要內(nèi)容一、雙線性變換法的基本原理二、雙線性變換法的設(shè)計方法重點與難點重點1、雙線性變換法的基本原理2、雙線性變換法的設(shè)計方法難點1、雙線性變換法的基本原理問題的提出如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器?1.脈沖響應(yīng)不變法2.雙線性變換法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設(shè)計模擬濾波器AF到DF的轉(zhuǎn)換問題的提出采用脈沖響應(yīng)不變法DF的頻譜有混疊

解決方法采用雙線性變換法上節(jié)例題利用模擬BW濾波器及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一數(shù)字濾波器，滿足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB

。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-18-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dBAs=14.2dB1、雙線性變換法的基本原理

基本思想：將非帶限的模擬濾波器映射為最高頻率為π/T的帶限模擬濾波器。

模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系為：再線性變換到數(shù)字頻率。

s域到z域的映射關(guān)系

1、雙線性變換法的基本原理雙線性變換1、雙線性變換法的基本原理

穩(wěn)定性分析令s=

+j

，則有：1、雙線性變換法的基本原理

穩(wěn)定性分析1)s<0,|z|<1S域左半平面映射到z域單位圓內(nèi)2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1S域虛軸映射到z域單位圓上S域右半平面映射到z域單位圓外因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)1、雙線性變換法的基本原理數(shù)字頻率W變換到模擬頻率w)2/tan(2W=TwWppWsWpwsw1、雙線性變換法的基本原理

雙線性變換法的優(yōu)缺點

缺點：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真

優(yōu)點：無混疊)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww2、雙線性變換法的設(shè)計方法第一步，將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){Wk}轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo){wk}第二步，由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器的H(s)第三步，利用雙線性變換法，將H(s)轉(zhuǎn)換H(z)。雙線性變換法的設(shè)計步驟：2、雙線性變換法的設(shè)計方法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)設(shè)計模擬濾波器雙線性變換例1:

利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計滿足指標(biāo)Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T(1)

將DF的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為AF的頻率指標(biāo)(2)設(shè)計3dB截頻為wp的一階BW型模擬低通濾波器，即N=1,wc=wp故例1:

利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計滿足指標(biāo)Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。解：(3)用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器

結(jié)論：參數(shù)T的取值和最終的設(shè)計結(jié)果無關(guān)。為簡單起見，一般取T=2

例1:

利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計滿足指標(biāo)Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。解：雙線性變換法設(shè)計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為：脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為：令z=ejW，可分別獲得兩者的幅度響應(yīng)。例1:

利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計滿足指標(biāo)Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法

脈沖響應(yīng)不變法存在頻譜混疊，所設(shè)計的DF不滿足給定指標(biāo)。雙線性變換法不存在頻譜混疊，所設(shè)計的DF滿足給定指標(biāo)。

3dB例1:

利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計滿足指標(biāo)Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。H雙(z)和H脈(z)幅度響應(yīng)比較的MATLAB實現(xiàn)Wp=pi/3;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;例2：利用BW模擬濾波器及雙線性變換法設(shè)計一低通DF，滿足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)將數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，取T=2Ap

2db,As

15db(2)設(shè)計模擬低通濾波器（BW型）=2=0.5851例2：利用BW模擬濾波器及雙線性變換法設(shè)計一低通DF，滿足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(3)用雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器

例2：利用BW模擬濾波器及雙線性變換法設(shè)計一低通DF，滿足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dBcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例2：利用BW模擬濾波器及雙線性變換法設(shè)計一低通DF，滿足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例2：利用BW模擬濾波器及雙線性變換法設(shè)計一低通DF，滿足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dBAp=0.3945dBAs=15.0000dB例2：利用BW模擬濾波器及雙線性變換法設(shè)計一低通DF，滿足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB將雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法所設(shè)計DF的結(jié)果比較。雙線性變換法Ap=0.3945dBAs=15.0000dB脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法Ap=1.1187dBAs=12.3628dB3、非低通IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法H(s)模擬頻率變換設(shè)計原型低通濾波器復(fù)頻率變換

注意：脈沖響應(yīng)不變法不能設(shè)計高通和帶阻數(shù)字濾波器

方法一3、非低通IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計

方法二Wp,WsH(z)w=W/T脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法數(shù)字頻率變換設(shè)計原型低通濾波器z域變換例4：試設(shè)計滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:

脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計數(shù)字帶阻濾波器，因此采用雙線性變換法設(shè)計。

(1)將數(shù)字帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指標(biāo)

取T=2，利用得模擬帶阻指標(biāo)為：wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB例4：試設(shè)計滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(2)將模擬帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo)

Ap

1dB,As

10dBwp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB模擬帶阻指標(biāo)例4：試設(shè)計滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(3)設(shè)計原型BW型模擬低通濾波器Ap

1dB,As

10dB原型模擬低通指標(biāo)原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

例4：試設(shè)計滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(4)由復(fù)頻率變換將原型模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器(5)由雙線性變換模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器

課堂小結(jié)11、雙線性變換法的基本思想