專題3.4 二元一次方程組的特殊解法（壓軸題專項講練）（滬科版）（解析版）

專題3.4二元一次方程組的特殊解法【典例1】數(shù)學(xué)方法：解方程組：32x+y-2x-2y=2622x+y+3x-2y=13，若設(shè)2x+y=m，x-2y=n（1）直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=-2y=4，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組am+n（2）知識遷移：請用這種方法解方程組x+y2（3）拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2【思路點撥】（1）設(shè)m+n=x，m-n=y，即可得m+n=-2m-n=4（2）設(shè)x+y2=m，x-y3（3）設(shè)2x5=m，3y5=n，則原方程組可化為，a1m+b1n=【解題過程】解：（1）設(shè)m+n=x，m-n=y，則原方程組可化為ax+by=6bx+ay=3∵ax+by=6bx+ay=3的解為x=-2∴m+n=-2m-n=4解得m=1n=-3故答案為：m=1n=-3（2）設(shè)x+y2=m，x-y3解得m=4n=0即有x+y2解得x=4y=4即：方程組的解為x=4y=4（3）設(shè)2x5=m，3y5化簡，得a1∵關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b∴m=4n=-3，即有2x解得：x=10y=-5故方程組的解為：x=10y=-51．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程組：x【思路點撥】采用先換元，再代入即可作答．【解題過程】解：由①，得x5設(shè)x5=-y6=k將x=5k，y=-6k代入方程②，得35k+6k解這個方程得k=1，即x=5，y=-6，所以原方程組的解是x=5y=-62．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程組：（1）43x-2y（2）3x+my=5x+2y=n（3）2x1+x【思路點撥】（1）設(shè)13x-2y=a，12x-5y=b，方程組變形為關(guān)于a與b的方程組，求出解得到a與b的值，即可求出（2）利用加減消元法求解即可；（3）先求出x1+x2+【解題過程】解：（1）43x-2y解：設(shè)13x-2y=a，12x-5y①×2+②×3得：23a=23，則a=1，把a(bǔ)=1代入①得：b=2，則3x-2y=12x-5y=12①×5-②得：11x=4，即x=4把x=411代入①得：經(jīng)檢驗，方程組的解為x=4（2）3x+my=5①①－②×3，得(m-6)y=5-3n，當(dāng)m≠6時，y=5-3n將y=5-3nm-6代入②，得解得x=mn-10∴當(dāng)m≠6時，原方程組的解為x=mn-10（3）2x①+②+③+④+⑤，得6x則x1+④-⑥，得x4⑤-⑥，得x5∴2x3．（2023·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀材料：善于思考的李同學(xué)在解方程組3m+5-2n解：把m+5，n+3成一個整體，設(shè)m+5=x，解得：x=1y=2．∴m+5=1n（1）若方程組2x-3y=45x-3（2）仿照李同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組3x【思路點撥】（1）根據(jù)題意所給材料可得出a+（2）根據(jù)題意所給材料可令m=x+y，n=x-y，則原方程組可化為3m-解得：m=2815n【解題過程】（1）∵方程組2x-3y∴a+解得：a=-（2）對于3x+y則原方程組可化為3m-解得：m=∴x+解得：x=4．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：

小明同學(xué)遇到下列問題：解方程組2x+3y4+2x-3y3=72x+3y3+2x-3y2=8，他發(fā)現(xiàn)如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯．如果把方程組中的（令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程組可以化為：m4+把m=60n=-24代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得2x+3y=602x-3y=-24∴原方程組的解為x=9請你參考小明同學(xué)的做法，解決下面的問題：（1）解方程組：x+y（2）若方程組a1x+b1y=c1【思路點撥】（1）令m=x+y，n=x-y，將方程組整理后，仿照閱讀材料中的解法求出解即可；（2）令m=5x，n=2y，將方程組整理后，仿照閱讀材料中的解法求出解即可．【解題過程】（1）解：令m=x+y，n=x-y，原方程組可化為m6解得：m=6n=20∴x+y=6x-y=20兩式相加得x=13，將x=13代入x-y=20中，求得y=-7，∴原方程組的解為x=13y=-7（2）解：m=5x，n=2y，原方程組可化為a1m+依題意，得m=5n=2∴56解得x=6y=6故答案為：x=6y=65．（2022·全國·七年級假期作業(yè)）閱讀以下內(nèi)容：已知有理數(shù)m，n滿足m+n＝3，且3m+2n=7k-42m+3n=-2求k三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路：甲同學(xué)：先解關(guān)于m，n的方程組3m+2n=7k-42m+3n=-2，再求k乙同學(xué)：將原方程組中的兩個方程相加，再求k的值；丙同學(xué)：先解方程組m+n=32m+3n=-2，再求k（1）試選擇其中一名同學(xué)的思路，解答此題；（2）在解關(guān)于x，y的方程組a+1x-by=18①b+2x+ay=1②時，可以用①×7﹣②×3消去未知數(shù)x，也可以用①×2+②×5消去未知數(shù)y【思路點撥】（1）分別選擇甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根據(jù)加減消元法的過程確定出a與b的值即可．【解題過程】解：（1）選擇甲，3m+2n=7k-4①①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝21k-85②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝2-14k5代入m+n＝3得：21k-85+2-14k去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移項合并得：7k＝21，解得：k＝3；選擇乙，3m+2n=7k-4①①+②得：5m+5n＝7k﹣6，解得：m+n＝7k-代入m+n＝3得：7k-65去分母得：7k﹣6＝15，解得：k＝3；選擇丙，聯(lián)立得：m+n=3①①×3﹣②得：m＝11，把m＝11代入①得：n＝﹣8，代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，解得：k＝3；（2）根據(jù)題意得：a+1=3b+2=7解得：b=5a=2檢驗符合題意，則a和b的值分別為2，5．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：小強(qiáng)同學(xué)在解方程組2x+5y=3①4x+11y=5②時，采用了一種“解：將方程②變形：4x+10y+y=5，即22x+5y+y=5…③，把方程①代入③得：2×3+y=5即y=-1，把y=-1代入方程①，得x=4，所以方程組的解為請你解決以下問題(1)模仿小強(qiáng)同學(xué)的“整體代換”法解方程組3x+5y=166x+11y=35(2)已知x，y滿足方程組2（i）求xy的值；（ii）求出這個方程組的所有整數(shù)解．【思路點撥】（1）根據(jù)例題的解法代入計算即可；（2）（i）把方程變形后，再把將①代入方程②，即可；（ii）根據(jù)x與y是整數(shù)且xy=-3計算即可．【解題過程】解：（1）3x+5y=16①將方程②變形：6x+10y+y=35，即2(3x+5y)+y=35③，把方程①代入③得：2×16+y=35，解得y=3，把y=3代入方程①，得x=1所以方程組的解為x=1（2）（i）原方程組化為2x將①代入方程②得：72+7xy=51，∴xy=-3；（ii）由（i）得xy=-3，∵x與y是整數(shù)，∴x=-1y=3或x=3y=-1或x=-3y=1由（i）可求得2x∴x=-3y=1和x=3故原方程組的所有整數(shù)解是x=-3y=1或x=37．（2023春·浙江·七年級階段練習(xí)）已知方程組x+2y+3z=104x+3y+2z=15，求-2x+y+4z小明湊出“-2x+y+4z=2×x+2y+3z+-1×4x+3y+2z=20-15=5（1）根據(jù)丁老師的提示，已知方程組x+2y+3z=34x+3y+2z=7，求2x+5y+8z（2）已知2a-b+kc=4，且a+3b+2c=-2，當(dāng)k為時，8a+3b-2c為定值，此定值是．（直接寫出結(jié)果）【思路點撥】（1）仿照樣例進(jìn)行解答便可；（2）仿照樣例進(jìn)行解答．【解題過程】（1）解：假設(shè)2x+5y+8z＝m?（x+2y+3z）+n?（4x+3y+2z），對照方程兩邊各項的系數(shù)可列出方程組m+4n=2解得m=14∴2x+5y+8z=14∴2x+5y+8z=14（2）設(shè)8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c），2m+n=83n-m=3∴m=3n=2∴8a+3b﹣2＝3×4+2×（﹣2）＝8．故答案為：﹣2；8．8．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組32x+35y=38①30x+33y=36②時，由于x，y①﹣②得2x+2y=2，所以x+y=1③．③×35﹣①得3x=﹣3．解得x=﹣1，從而y=2．所以原方程組的解是x=-1（1）請你運用上述方法解方程組：2016x+2018y=2020①2019x+2021y=2023②（2）猜測關(guān)于x、y的方程組ax+(a+n)y=a+2n①bx+(b+n)y=b+2n②（a≠b（3）請你用類似方法解方程組：1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②【思路點撥】（1）仿照例子，利用加減消元法可解方程組求解；（2）將方程組的解代入方程計算方程左右兩邊相等即可檢驗；（3）仿照例子，利用加減消元法可解方程組求解．【解題過程】解：（1）2016x+2018y=2020①2019x+2021y=2023②②﹣①得3x+3y=3，即x+y=1③，③×2018﹣①得2x=﹣2，解得x=﹣1，將x=﹣1代入③得y=2，∴原方程組的解為x=-1y=2（2）方程組ax+(a+n)y=a+2n①bx+(b+n)y=b+2n②的解為x=-1檢驗：把x=-1y=2代入①得，左邊=﹣a+2a+2n=a+2n=把x=-1y=2代入②得，左邊=﹣b+2b+2n=b+2n=∴x=-1y=2（3）1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②①+②得2020x+2020y=4040，即x+y=2③，③×1007﹣①得﹣2x=﹣5，解得x=2.5，將x=2.5代入③得y=﹣0.5，∴原方程組的解為x=2.5y=-0.59．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組2x+3y4+2x-3y3=7令m=2x+3y，n=2x-3y．原方程組化為m4解得m=60n=-24把m=60n=-24代入m=2x+3y，n=2x-3y得2x+3y=602x-3y=-24解得x=9y=14∴原方程組的解為x=9y=14請你參考小明同學(xué)的做法解方程組：（1）2(x+1)+3(y-2)=1（2）x+y【思路點撥】（1）令m=x+1，n=y-2，原方程組變形為2m+3n=1m-2n=4，解得m=2n=-1，還原方程組得（2）令p=x+y，【解題過程】解：（1）令m=x+1，n=y-2，方程組2(x+1)+3(y-2)=1x+1-2(y-2)=4變形為解得m=2n=-1所以x+1=2y-2=-1解得x=1∴原方程組的解為x=1y=1（2）令p=x+y原方程組化為p解得p=-2q=-10把p=-2q=-10代入得x+y=-2x-y=-10解得x=-6y=410．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）先閱讀，再解方程組．解方程組x+y解：設(shè)m＝x+y，n＝x﹣y，則原方程組化為m2+n3=7m3這種解方程組的方法叫做“換元法”．（1）已知方程組ax+by=73x-2by=5的解是x=6y=-3，求方程組（2）用換元法解方程組2x+y-1x-y=33x+y【思路點撥】（1）先把方程組2a(x+y)+b(x-y)=76(x+y)-2b(x-y)=5變形為a(2x+2y)+b(x-y)=73(2x+2y)-2b(x-y)=5，根據(jù)題意得到（2）設(shè)m=1x+y，n=1x-y，則原方程組化為2m-n=33m+4n=10【解題過程】解：（1）把方程組2a(x+y)+b(x-y)=76(x+y)-2b(x-y)=5變形為a(2x+2y)+b(x-y)=7∵方程組ax+by=73x-2by=5的解是x=6∴2x+2y=6x-y=-3，解得x=0∴方程組2a(x+y)+b(x-y)=76(x+y)-2b(x-y)=5的解為x=0（2）設(shè)m=1x+y，n=1x-y，則原方程組化為即x+y=12，解方程組x+y=12x-y=1所以原方程組的解為x=311．（2022春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）【情境呈現(xiàn)】在解方程組2x+3y3+4x-3y2=72x+3y4+4x-3y3=5時，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3y、4x-3y分別看作一個整體，通過換元：令m=2x+3y、n=4x-3y，可以將原方程組化為m3+n2（1）【靈活運用】若方程組3x+by=1ax+y=6的解為x=1y=1，則方程組3(x-2)+b(y+2)=1a(x-2)+(y+2)=6（2）【靈活運用】若方程組a1x+b1y=①求方程組13②是否存在負(fù)整數(shù)k，使得①中方程組的解滿足x>y，若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)3x+by=1ax+y=6的解為x=1y=1，得出3m+bn=1am+n=6的解為m=1n=1，令x-2=m，y+2=n，將方程組3x-2（2）①令13x+1=m，12y-2=n，則13a1x+1+12②根據(jù)x>y，列出關(guān)于k的不等式，解關(guān)于k的不等式即可．【解題過程】（1）解：∵3x+by=1ax+y=6的解為x=1∴3m+bn=1am+n=6的解為m=1令x-2=m，y+2=n，則方程組3x-2+by+2∴x-2=1y+2=1，解得：x=3（2）①令13x+1=m，12y-2∵a1x+b∴a1m+b即13x+1=k②不存在；由①得：x=3k-1y=2k-2∵x>y，∴3k-1>2k-2，∴k>-1，又∵k為負(fù)整數(shù)，∴不存在．12．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組{14x+15y=16①17x+18y=19②時，由于②－①得3x+3y=3，∴x+y=1③．③×14得14x+14y=14④．①－④得y=2，從而得x=-1．∴原方程組的解是{（1）請運用上述方法解方程組{2015x+2016y=2017（2）請直接寫出方程組{998x+999y=10009998x+9999y=10000（3）猜測關(guān)于x，y的方程組{mx+(m+1)y=m+2【思路點撥】（1）先把兩個方程相減得到x+y=1,再利用加減法解方程即可；（2）先把兩個方程相減得到x+y=1,再利用加減法解方程即可；（3）先把兩個方程相減得到x+y=1,再利用加減法解方程即可；再把方程的解代入方程組中的兩個方程進(jìn)行檢驗即可．【解題過程】（1）解：{②-①得：3x+3y=3,即x+y=1,所以：2015x+2015y=2015③①-③得：y=2,∴x=-1,∴方程組的解為：{（2）{②-①得：9000x+9000y=9000,即x+y=1,∴998x+998y=998③，①-③得：y=2,∴x=-1,∴方程組的解為：{（3）{①-②得：(m-n)x+(m-n)y=m-n,∵m≠n,∴x+y=1,∴mx+my=m③，①-③得：y=2,∴x=-1,∴方程組的解為：{x=-1把{x=-1y=2代入①，左邊把{x=-1y=2代入②，左邊所以{x=-113．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x&y＝ax+by，x?y＝ax﹣by，其中a，b是常數(shù)．已知1&1＝1，3?2＝8．（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x，y的方程組x&y=4-mx?y=5m的解也滿足方程x+y＝5，求m（3）若關(guān)于x，y的方程組a1x&b1y=c1a2【思路點撥】（1）根據(jù)題目所給的新定義得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可；（2）先根據(jù)題意得到關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組用m表示出x、y，再根據(jù)x+y=5進(jìn)行求解即可；（3）可令3x+y5=m45x-y=n再根據(jù)同解題意可知關(guān)于m、n【解題過程】（1）解：由題意得：a+b=13a-2b=8解得a=2b=-1（2）解：∵x&y=4-mx?y=5m∴2x-y=4-m2x+y=5m∴x=m+1y=3m-2又∵關(guān)于x，y的方程組x&y=4-mx?y=5m的解也滿足方程x+y＝5∴m+1+3m-2=5，∴m=1.5（3）解：∵3a∴可令3x+y∴a1∵關(guān)于x，y的方程組a1x&b∴關(guān)于m、n的方程組a1m&b∴3x+y解得x=15514．（2023春·七年級課時練習(xí)）【閱讀材料】解二元一次方程組：10x+23y=119思路分析：解這個方程組直接用加減法或代入法運算都比較復(fù)雜，但觀察方程組的未知數(shù)的系數(shù)，可以看出，若先把兩個方程相加可得到：33x＋33y＝264，化簡得x＋y＝8，所以x＝8－y

③把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5，∴原方程組的解是x=5y=3.這樣運算顯得比較簡單解答過程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8，∴x＝8－y

③，把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5.∴原方程組的解是x=5y=3【學(xué)以致用】（1）填空：由二元一次方程組x+3y=53x+y=3，可得x＋y＝__________（2）解方程組：2021x-2022y=【拓展提升】（3）當(dāng)m≠－12時，解關(guān)于x，y的方程組(m-1)x+(m+2)y=-5m-【思路點撥】（1）根據(jù)材料中介紹的方法，解二元一次方程組x+3y=5①3x+y=3②，通過①+②（2）觀察原方程組，發(fā)現(xiàn)兩式相加不能簡化，所以將兩式相減．解二元一次方程組2021x-2022y=2023①2020x-2021y=2022②，通過①-②，化簡可得：x-y=1，所以x=y+1③．將③代入①中，即可（3）觀察原方程組，選擇兩式相減．解二元一次方程組(m-1)x+(m+2)y=-5m-1①(m+3)x-(2-m)y=-5m-5②，通過①-②，化簡可得：-x+y=1，所以y=x+1③．將③代入①中，整理可得：(2m+1)x=-6m-3=-3(2m+1)．當(dāng)m≠-【解題過程】（1）解：x+3y=5由①+②得：4x+4y=8，即x+y=2故答案為：2．（2）解：2021x-2022y=由①-②得：x-y=1∴x=y+1把③代入①得：2021y+2021-2022y=2023解得：y=-2把y=-2代入③得：x=y+1=-2+1∴原方程組的解為x=-1（3）解：(m-1)x+(m+2)y=-5m-由①-②得：-4x+4y=4，即：-x+y=1∴y=x+1把③代入①中得：(m-1)x+(m+2)x+m+2=-5m-1即(2m+1)x=-6m-3=-3(2m+1)當(dāng)m≠-12把x=-3代入③得：y=x+1=-3+1∴原方程組的解為x=-315．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)樂園：解二元一次方程組{a1x+b1當(dāng)a1b2-a符號|abc設(shè)D=|a1b1a2（1）求二階行列式|3（2）解不等式：|x（3）用二階行列式解方程組{3x-2y=6（4）若關(guān)于x、y的二元一次方程組{3x-my=62x+3y=17無解，求【思路點撥】（1）根據(jù)|abc（2）根據(jù)|abcd|=ad-bc（3）根據(jù)D=|a1b1a2b2|（4）根據(jù){3x-my=62x+3y=17無解，得D=0，即可求出【解題過程】解：（1）∵|∴|∴|345（2）∵|∴|∴|∴-4x-2x+4≥-2∴-6x≥-6∴x≤1∴|xx-22（3）∵方程組{∴方程組{3x-2y=62x+3y=17中，a1=3，a2=2，b∴D=|DDx=Dx∴方程組的解為：{x=4（4）∵{∴方程組{3x-my=62x+3y=17中，a1=3，a2=2，b∴D=|∵{3x-my=6∴D=0∴9+2m=0解得m=-916．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）我們把關(guān)于x，y的兩個二元一次方程x＋ky＝b與kx＋y＝b（k≠1）叫做互為